讓問題留白式呈現(xiàn),培養(yǎng)學生概括能力

葛小麗

摘 要：人教版八年級教材在分式方程學習的最后，安排了一類“特殊”的分式方程的應用問題，這類應用問題中除了要設出的未知數(shù)x之外，還含有其它的字母表示一些已知數(shù).這類問題在探究規(guī)律或其它學科（如物理）的公式探究與運用中也比較常見，將問題與變式“留白式”呈現(xiàn)，能夠培養(yǎng)學生的概括能力，促進學生深刻理解并掌握這類問題的解題策略.

關鍵詞：分式方程應用題；留白式呈現(xiàn)；概括能力

教師在備課時需要先深刻理解教學內容，隨后才是設計教學過程與教學活動，包括選編或改編必要的練習進行鞏固、反饋.那么，對于習題課教學，我們在備課時應該如何理解教材上的例題呢？怎樣提升例題的教學效益？在最近一次南通市初中數(shù)學教研活動中，筆者有機會執(zhí)教“分式方程的應用問題”習題課，對一道教材例題的教學有了更加深入的思考，本文筆談對這道例題的深刻理解，并給出教學設計，提供案例研討.

1 對教學內容的深刻理解

例1 某次列車平均提速vkm/h.用相同的時間，列車提速前行駛skm，提速后比提速前多行駛50km，提速前列車平均速度是多少？

深刻理解：這道例題以列車提速為背景，速度、時間、路程之間的基本關系并不是學生的理解難點，等量關系可由問題中“相同的時間”獲得.當設提速前速度為xkm/h，可列出方程sx＝s+50x+v，這里得到分式方程，其真正難點在于例題中使用字母v，s表示已確定的值，需要將其視為已知數(shù)，最終的求解結果用含這些字母的式子來表示.在之前的分式方程及解法學習中，學生并沒有遇到過這類分式方程.所以，教學時引導學生初步感受并學會“主元意識”非常關鍵.事實上，在七年級學習一元一次方程的解法時，也曾遇到形如“nx＝l2，其中n，l為已知數(shù)”的一元一次方程，在開展含字母作為已知數(shù)的分式方程解法教學時，可以將七年級曾遇到過的含有字母作為已知數(shù)的一元一次方程作為舊知引導學生復習回顧，讓學生感受到數(shù)學內容在七、八年級的前后一致.此外，在研究很多規(guī)律（公式）問題（包括其它學科，如物理）時，學生也接觸過不少用字母表示已知數(shù)的等式或方程，可見提高這類問題的解題教學質量是很重要的.

2 解題教學設計

2.1 復習舊知

解下列方程：

（1） nx-l2＝0（其中n，l為已知數(shù)）；

（2） 300x＝300+50x+30.

2.2 例題練評

例2 某次列車平均提速30km/h.用相同的時間，列車提速前行駛300km，提速后比提速前多行駛50km，提速前列車平均速度是多少？

【設計意圖】這是基于上文提到的“教材例題”而改編的鋪墊式問題，呈現(xiàn)例題時可以使用PPT的“漸次呈現(xiàn)”動畫功能，即例題中的“30，300，50”先“留白”，在學生發(fā)現(xiàn)“數(shù)據(jù)不全”時，教師再漸次給出3個數(shù)據(jù)，而這些數(shù)據(jù)對應著“復習舊知”中的方程（2），讓學生分析題意、設出未知數(shù)、列出“方程（2） ”，可以節(jié)約出“重復”解方程的時間.

【變式1】某次列車平均提速vkm/h.用相同的時間，列車提速前行駛skm，提速后比提速前多行駛50km，提速前列車平均速度是多少？

【設計意圖】“變式1”對應著“教材例題”，將“例題”的“留白”再換成字母v，s，保留數(shù)據(jù)“50”，圍繞“變式1”進行解題過程的講評，包括結合實際意義，強調一些表示已知數(shù)的字母的取值范圍；還有，因為列出的是分式方程，要強調學生有檢驗的意識.

【變式2】某次列車平均提速vkm/h.用相同的時間，列車提速前行駛skm，提速后比提速前多行駛akm，提速后列車平均速度是多少？

【設計意圖】“變式2”再次“一般化”，將“例題”的“留白”再換成字母v，s，a，“變式2”可以直接看出答案，不需要再給出完整過程.從例題、變式1再到變式2，體現(xiàn)了由特殊到一般，讓學生體會到表達問題時，用字母不僅可以表示未知的（數(shù)）量，還可以表示已知數(shù)（量）.并且讓學生知道在今后在其它學科也會經(jīng)常遇到這種含有字母表示已知數(shù)的方程或公式，如果學生已具有其它學科中的相關經(jīng)歷，可以安排學生交流他們在其它學科中遇到的類似問題.

2.3 同類練習

同類練習：兩個小組同時開始攀登一座hm高的山，第一組攀登速度是第二組的a倍，并比第二組早tmin到達頂峰，則兩組的攀登速度各是多少？

【設計意圖】這道同類練習的情境由上面的列車提速問題，改為兩個小組登山；等量關系由之前的“相同的時間”也變成了兩組到達頂峰用時相差“tmin”.這些都是學生在審題時需要辨明的.列出的分式方程中仍然含有一些表示已知數(shù)的字母.在求解這類分式方程之后還需要結合實際意義進行必要的檢驗.

2.4 小結回顧

小結問題1：本課中哪種類型的分式方程給你留下了較深的印象？解這類分式方程，你積累了怎樣的經(jīng)驗？

小結問題2：列分式方程解應用題有哪些關鍵步驟？在小組內結合具體例子說說你們的理解.

【設計意圖】讓學生在以上兩個“小結問題”的引導下更加精準、高效地進行回顧小結，避免使用一些“空泛”的小結問題（如這節(jié)課你學到了什么？這節(jié)課你感悟到了什么思想方法？）.

布置作業(yè)：一輛汽車以akm/h的速度由A地駛往B地，然后再以bkm/h的速度返回，求汽車往返A，B兩地的平均速度.

【設計意圖】可設汽車往返兩地的平均速度為xkm/h，A，B兩地之間的路程為Skm，列出方程2Sx＝Sa+Sb，解出x＝2aba+b.解題的關鍵在于不但要設出未知數(shù)x，還需要設出兩地之間的距離S，但這里的S“設而不求”（當然，也有學生將A，B兩地之間的路程視為“單位1”），在解關于x的分式方程時，可以“約掉”S，從而用含a，b的式子表示未知數(shù)x.學生的練習情況可有效反饋本課教學目標是否達成.

3 教學立意的進一步闡釋

3.1 “留白式”出示學習內容，激發(fā)學生探索未知的興趣

教師在備課時應根據(jù)課型、教學內容、學生情況等因素對課堂留白進行預設.^［1］上文課例中，并沒有提前印發(fā)“導學案”，而是將一些題組與變式以PPT動畫留白的方式漸次呈現(xiàn)，讓學生對本課將要學習的內容充滿期待，激發(fā)他們探索未知的興趣.事實上，如果提前將本課所學內容（主要是習題）全部印制在“導學案”上，學生在拿到“導學案”后，就會出現(xiàn)不少優(yōu)秀學生在這節(jié)課中常常“埋頭做題”，如果教師不安排他們講解或上臺板演，他們往往只是“自我練習”，偶爾抬頭核對一下自己的答案與教師講評結果是否一致.而“留白式”出示教學內容，使得全體學生都在研究結束一個問題之后，對后續(xù)問題充滿想象和期待.

3.2 從特殊到一般呈現(xiàn)題組，促進學生概括出解題策略

涂榮豹指出，解題學習中某些解題策略可以通過經(jīng)驗式概括而獲得，共同特征是解決這類問題的具有一般意義的規(guī)律.^［2］上文課例聚焦主題，關注一類含有字母表示已知數(shù)的分式方程，這類分式方程的模型可以出現(xiàn)在很多現(xiàn)實生活中，為了提供解法鋪墊，教學設計的邏輯是“從特殊到一般”呈現(xiàn)題組.從教學效果來看，學生對研究本課內容充滿興趣，所學內容掌握得也很好.順便指出，我們并沒有在教學設計或PPT課件中標明“從特殊到一般”之類標簽式備注，因為追求體現(xiàn)或滲透數(shù)學思想與方法的解題教學，并不都需要以“貼標簽”的方式出示，而是在整節(jié)課的學程推進中體現(xiàn)《紅樓夢》的藝術特色——草蛇灰線、伏脈千里.本質上說，數(shù)學思想方法是一種“隱性知識”，也應該以“潤物無聲”的“暗線”進行布局或預設.

參考文獻：

［1］ 蔡甜甜，劉國祥，寧連華.數(shù)學課堂留白藝術的理論探析與實踐反思［J］.數(shù)學教育學報.2018，12（6）：29-32.

［2］ 涂榮豹.數(shù)學學習中的概括［J］.數(shù)學教育學報，2004，13（1）：17-22.