基于GeoGebra的數學可視化教學研究

張弛 孫瀟瀟

摘 要：以“總體分布估計”一課為教學案例，創設統計數學實驗任務；依托GeoGebra平臺，通過構建動態統計模型，將探究問題可視化呈現，促進學生合作學習及動手能力，發展了學生數據分析、數學建模及邏輯推理等數學核心素養.

關鍵詞：教學案例；GeoGebra；可視化；頻率分布直方圖

繪制頻率分布直方圖是用樣本頻率分布估計總體頻率分布的重要統計方法.頻率分布表與頻率分布直方圖都能反映出總體分布的狀況，前者較為精確，而后者則比較直觀，兩者能較好地相互補充.

1 教材解讀

本次選用的教學內容來自于江蘇教育出版社出版的職業學校文化課教材《數學》第二冊第十章《概率統計》第6節《總體分布估計》.根據2020年教育部最新頒布的《中職數學課程標準》，本節內容是中職數學基礎模塊中“概率統計”部分的重要內容，本節內容在本章中具有承上啟下的重要作用.

2 傳統教學設計分析

教材選用例題為：一位植物學家想要研究某植物生長一年之后的高度，他隨機抽取了60棵此種植物，測得它們生長一年后的高度如下：（單位：cm）

教材中規范了制作頻率分布直方圖的實施程序，具體分為六步：

步驟一：確認最大值與最小值，并計算極差；

步驟二：根據問題情境，確定合理的組距和組數；

步驟三：計算各分組頻數，以“分組”“頻數”列出“頻數分布表”；

步驟四：計算各分組頻率，并以“頻率”增列入“頻數分布表”，形成“頻率分布表”；

聚焦統計知識的講授、統計方法的示范是傳統教學設計流程的主線，但忽視了對學生主動探索意識的挖掘和培育，具體分析原因有如下三個方面：

其一，統計模型的素材選用針對性不強.筆者結合實際教學和問卷調查發現，學生對所選情境的興趣不高，主要由于生活經驗的不足或是與所學專業關聯度不高，同時學生對例題所研究問題缺少基本的認知，造成學生主動學習的興趣不濃.

其二，直方圖的繪制原理缺乏必要解析.盡管傳統教學設計明確了繪制頻率直方圖的具體步驟及相關公式，也闡述了合理分組的重要性，但是對選擇頻率直方圖作為總體分布估計的合理性與必要性，特別是將“頻率組距”作為縱軸，傳統教學設計中并未給出必要的解釋.

其三，直方圖繪制的教學生成應對不足.傳統教學設計中，教者囿于信息化手段運用的不足，教師既無法將根據多種分組方式制作的直方圖一一呈現，讓學生在直觀比較中感受合理分組的必要性，也不能借助實際情境引導學生理解將“頻率組距”作為縱軸的統計意義.故而課堂氛圍枯燥，學生疲于應付，探索的趣味消失殆盡.

3 基于GeoGebra平臺的教學實施過程

筆者發現依托GeoGebra平臺優化教學實施程序，可以聚焦教學目標，將頻率直方圖中蘊含的統計意義動態直觀地呈現給學生.這樣做突破了傳統教學手段的設計桎梏，將靜態的圖表變成了動態的演示，課堂教學實效也得到切實提升.

3.1 挖掘生活素材，引入統計實驗項目

學生活動：從我校2022級新生中收集9月份月度零花錢數目作為總體，并按照系統抽樣的方法，從總體中抽取一個容量為60的9月份零花錢數據樣本（數據見表2），思考如何根據表2中的樣本數據，了解我校新生群體月度零花錢數據的分布狀況.

學生實驗：在GeoGebra主界面的指令輸入欄中，使用“列填充”指令將表2中的數據分作10列，依次錄入GeoGebra平臺表格區.

操作指令：L1：FillColumn（1，{73，48，80，63，55，72}），其他各列L2、L3…L10以此類推.

3.2 遷移知識方法，創建動態分組模型

探究問題1：根據表2數據，如何了解這60名學生月度零花錢數目的分布狀況？

學生實驗：列出樣本數據的頻數分布表.

學生操作步驟及指令：

3.2.1 創建分組變量n

點擊工具欄滑動條按鈕，在繪圖區創建滑動條.將參數變量命名為n，調整變量n的最小值為5，最大值為12，增量為1.

3.2.2 確定分組界限點

操作指令：L11：Classes（A1：J6，n）.

3.2.3 確定各分組頻數

操作指令：L12：Frequency（L11，A1：J6）.

3.2.4 確定各分組區間

操作指令：L13：Sequence（if（i＜n，″［″+L11（i）+″，″+L11（i+1）+″）″，″［″+L11（i）+″，″+L11（i+1）+″）″），i，1，n）.

3.2.5 列頻數分布表

操作指令：L14：Append（″分組區間″，L13）. L15：Append（″頻數″，L12）.

L16：Append（L14，″合計″）.L17：Append（L15，Sum（L12））.TableText（L16，L17，″v_|c″）.

3.2.6 繪制頻數分布圖

操作指令：Histogram（L11，L12）.

學生拖動滑動按鈕，改變n的取值，觀察頻數分布表及頻數分布圖中不同分組數情況下頻數的分布狀態，能直觀地了解新生月度零花錢的分布情況.

探究問題2：你能估計樣本中零花錢數目不少于85元的學生所占比例嗎？

學生發現利用頻數分布表無法直接解決問題，如果將頻數分布圖的縱軸由“頻數”轉化為各分組的“頻率”，則問題可以快速解決.

學生實驗：列出樣本數據的頻率分布表.

學生操作步驟及指令：

（1） 確定各分組頻率

操作指令：L18=L12/60.

（2） 列出頻率分布表

操作指令：L19：Append（″頻率″，L18）. L20：Append（L19，Sum（L18））.

TableText（L16，L17，L20，″v_|c″）.

（3） 繪制頻率分布圖

操作指令：Histogram（L11，L18）.

學生拖動滑動按鈕，考查代數區列出的頻率分布表，繪圖區顯示的頻率分布圖，不難回答探究問題：月度零花錢數目不少于85元的學生所占比例為8%+5%=13%.

3.3 反思實驗成果，優化數據分組方式

探究問題3：同學們發現當n=5時，“71”處于第3與第4分組的分組點.如何優化分組方式，確保每一個樣本數據都落在某一個分組區間之中.

學生實驗：合理調整分組方式，確定分組點.

學生操作步驟及指令：

3.3.1 計算極差

操作指令：c_1=Max（A1：J6）.c_2=Min（A1：J6）.c=c_1-c_2.

3.3.2 決定組距

操作指令：d=Div（c，n）+1. 當n=10時，代數區返回“d=8”.

3.3.3 確定各分組點

操作指令：L21：Sequence（29-0.5+（i-1）d，i，1，n+1）.

3.3.4 確定各組頻數及頻率

操作指令：L22：Frequency（L21，A1：J6）. L23=L22/60.

3.3.5 確定分組區間

操作指令：L24：Sequence（if（i＜n，″［″+L21（i）+″，″+L21（i+1）+″）″，″［″+L21（i）+″，″+L21（i+1）+″）″），i，1，n）.

3.3.6 列頻率分布表

操作指令：

L25：Append（“分組區間”，L24）.L26：Append（″頻數″，L22）.L27：Append（“頻率”，L23）.

L28：Append（L25，″合計″）.L29：Append（L26，Sum（L22））.L30：Append（L27，Sum（L23））.

TableText（L28，L29，L30，″v_|c″）.

3.3.7 制作頻率分布圖

操作指令：Histogram（L21，L23）.

學生發現當n=11時，頻率分布呈現中間高兩邊低的特點，分布形態最佳.當n取其他值時，總體上也能呈現出上述特點，但會出現某一組無數據或數據在某幾組過于集中等影響統計分析的現象.因此，師生一致決定采用n=11作為最終分組數進行繪制.

3.4 關注實際問題，促進核心素養生成

探究問題4：若要了解零花錢數目不少于80元且不多于90元的學生所占比例，我們該如何調整頻率直方圖的縱軸？

學生實驗：修改頻率分布圖的縱軸坐標為“頻率/組距”.

學生操作步驟及指令：

3.4.1 確定各組相應的“頻率/組距”

操作指令：L31=L23/（element（L21，2）-element（L21，1））.

3.4.2 列出頻率分布表

操作指令：L32：Append″頻率組距″，L31.TableText（L28，L29，L30，L32″v_|c″）.

3.4.3 繪制頻率分布直方圖

操作指令：Histogram（L21，L31）.

學生發現頻率分布直方圖中所有小矩形的面積之和為1，任意區間的頻率均可以直接估計.所以，問題4中零花錢數目不少于80元且不多于90元的學生所占比例可表示為：0.019×（84.5-80）+0.012×（90-84.5）=0.1515，即此部分學生所占比例為15.15%.

3.5 回歸實驗任務，培育統計方法意識

探究問題5：總結頻率分布直方圖的作圖步驟，并對新生月度個人消費提出合理建議.

步驟一：確定最大值與最小值，計算極差；

步驟二：計算組距、組數，確定分組點；

步驟三：計算各分組頻數、頻率及相應的“頻率/組距”；

步驟四：以“頻率組距”為縱軸、“分組區間”為橫軸，繪制頻率分布直方圖.

基于GeoGebra平臺的教學設計，給學生搭建了一個自主探索、合作交流、大膽試錯，貼近實際的情境和氛圍.^［5］學生在可視化與探索性的環境中，自主地、積極地學習探究.具體來說，

其一，改進后的教學設計，利用GeoGebra平臺指令制表及繪圖，節約了課堂教學中手工制表與繪圖時間，教師也可以深入指導組內學習，交流討論及練習時間明顯增多，課堂教學環節的時間使用效率顯著提高.

其二，GeoGebra平臺中，基于分組數n的動態統計模型具有可視化的特性，學生可以直觀考察教材之外的多種統計模型.這也成為知識結構內化的重要素材，幫助學生理解合理分組的統計意義，了解統計性思維與絕對性思維的區別.

第三，基于GeoGebra平臺的教學設計沒有照搬教材的制圖步驟，而是靈活運用不同的制圖指令，引導學生經歷從“頻數”到“頻率”再到“頻率/組距”的探究過程，促進了直觀感知到理性認識的過渡，依次開拓學生的數學視野，促進了數學核心素養的生成.