一道奧賽不等式試題再探究

江蘇省姜堰中等專業學校 (225500) 陳 宇

題目(2021年塞浦路斯奧賽不等式試題)設x,y,z>0且滿足x2+y2+z2=3,求證:xyz(x+y+z)+2021≥2024xyz①.

筆者發現,該不等式還可進一步推廣,同時存在上界.

推廣1 設x,y,z>0且滿足x2+y2+z2=3,當k>0,求證:(`k+3)xyz≤xyz(x+y+z)+k≤k+3 ③.

由(1),(2)可知,當k>0時,不等式④成立.進而不等式③,即推廣1成立(當且僅當x=y=z=1時,兩邊同取“=”).

當k=2021時,不等式③即為原賽題,故不等式①,同樣存在上界,即

2024xyz≤xyz(x+y+z)+2021≤2024.

由(3),(4)可知,k>0時,不等式⑥成立.進而不等式⑤左邊成立.

即推廣2成立.(當且僅當xi=xi+1=1時,兩邊同取“=”,xn+1=x1.下同).

當m=n,λi=1時,不等式⑦即為不等式⑤.

上述推廣(推論)由特殊到一般逐層推進,符合認知一般規律.其證明主要運用分析法,適當放縮,分類及排除等數學方法;依據柯西不等式,均值不等式,指數函數單調性,及求解一元二次不等式等知識,從整體入手,進行證明.