一道全國高中聯賽題的解法賞析及溯源

安徽省合肥市肥東縣城關中學 (231600) 王東海

1 真題呈現

(2022年全國數學聯賽第10題) 給定正實數m(m≥3).設正項等差數列{an}與正項等比數列{bn}滿足:{an}的首項等于{bn}的公比,{bn}的首項等于{an}的公差,且am=bm,求am的最小值,并確定當am取最小值時a1與b1的比值.

分析：觀察此題,應首先用盡量少的變量表示am,得到am的函數式,然后考慮使用導數法或均值不等式來求解am最值.

2 解法探究

探求思路一設出{an}和{bn}的公差和公比,用這兩個變量去表示am.

探求思路2 使用上述解法在求導數時較為復雜,運算量較大,若換元后求導可簡化運算.

探求思路3 除了使用導數法求最小值外,我們還可使用多元均值不等式加以求解.

解析3:設{an}的公差是d,d>0,{bn}的公比為q,am=q+(m-1)d,bm=dqm-1,

探求思路四解析3使用了換元法,將所求設為λ往往不易想到,也可直接使用均值不等式.

探求思路六從另一個角度也可直接使用均值不等式,對培養學生的發散思維大有裨益.

解析5 設{an}的公差是d,d>0,{bn}的公比為q,am=q+(m-1)d,bm=dqm-1,

探求思路六解法5對函數采取分子分母同除以分子的技巧,我們還可考慮下面的處理策略.

3 追本溯源

題1 (2016年高考Ⅰ卷16題)函數y=2sinx+sin2x的最小值為.

解析：

4 結語

本題題目新穎,將數列與導數、均值不等式相結合,在知識的交匯處命題.處理時切入點較多,本文呈現了幾種常見的解法,事實上還有其它解法,囿于篇幅,不一一介紹,希望能拋轉引玉,同廣大讀者共同探討解法.