數學建模意識略談

李學育

［摘? 要］ 數學建模是發展學生數學應用意識，提高學生數學應用能力的重要途徑. 文章以具體問題情境為切入點，帶領學生經歷知識形成和應用的過程，切身體驗不同增長的函數模型的差異，感悟函數模型的應用價值，從而通過經歷、體驗、應用、感悟提高學生學習的有效性，提升學生的數學應用能力.

［關鍵詞］ 數學建模；函數模型；應用意識

眾所周知，數學與現實生活相互溝通、相互聯系. 為了能夠讓數學更好地服務于生活，在數學教學中，教師要引導學生經歷知識形成和應用的過程，讓學生在應用的過程中通過抽象、簡化，逐漸建立起數學模型，以便學生更好地運用數學知識解決現實問題. 因此，在高中數學教學中，教師應加強模型訓練，重視學生數學建模能力的培養. 不過，在日常教學中，因受傳統“灌輸式”教學的影響，部分教師習慣將現成的數學模型講授給學生，讓學生利用這些數學模型去解決現實問題. 從解題的角度來看，直接套用數學模型在一定程度上可以節省時間，但是缺失建模過程，難以讓學生對數學模型形成深刻的認識，這將影響學生的長遠發展. 教師應以學生的認知結構為基礎，鼓勵學生經歷知識形成、發展和應用的過程，以此理解數學本源，建立和應用數學模型，提高教學有效性.

筆者教學“幾類不同增長的函數模型”時，以學生已有的認知結構為出發點，通過對比分析帶領學生理解不同增長的函數模型的意義，在培養學生建模能力、提高學生應用意識等方面取得了較好的效果，現將教學過程呈現給大家，僅供參考.

教學分析

函數模型在解決現實問題中有重要作用，本課以指數函數、對數函數、冪函數這三類不同增長的函數模型為例，帶領學生切身體驗增長函數模型在解決實際生活問題中的現實價值，有效培養和發展學生的數學應用意識.

1. 教學目標

（1）借助函數圖象、表格數據等，體會不同函數的增長差異；

（2）結合實例體會函數模型的意義；

（3）靈活運用不同的函數模型解決一些現實問題，體驗函數模型的應用價值.

2. 教學重難點

（1）將實際問題轉化為函數模型；

（2）比較不同函數模型的增長差異；

（3）如何選擇適合的函數模型.

教學過程

1. 創設情境，引入主題

師：大家應該都聽說過，澳大利亞的兔子泛濫成災，為什么兔子會由原來的幾只變成現在的百億只呢？

生1：它反映的是一種自然界的增長現象. 兔子的增長速度極快，呈爆炸式增長，加之沒有得到有效控制，因此泛濫成災.

師：說得很好. 如果這一實例用函數模型來表達，你們認為用哪個函數模型最適合呢？

生齊聲答：指數函數.

師：是的，我們生活中有許多這樣關于增長的例子，你能列舉幾個嗎？

學生積極思考，列舉了許多關于增長的例子. 在此基礎上，筆者引導學生運用與之相對應的函數類型進行表征，以此引出本課的主題“幾類不同增長的函數模型”.

師：指數函數、對數函數、冪函數等都是增長函數模型，它們增長的幅度和態勢是否相同呢？

生齊聲答：不同.

接下來筆者利用幾何畫板展示了它們的圖象，以便學生獲得更加直觀的感受，為后繼更深層次地探究做鋪墊.

2. 合作探究，感性體驗

師：相信大家都有一個屬于自己的“小金庫”，為了更好地管理“小金庫”，可以用它來做投資，現為大家提供三個投資方案. （用PPT展示方案）

方案1：每天的收益均為40元；

方案2：第一天的收益為10元，以后每天的收益較前一天增加10元；

方案3：第一天的收益為0.4元，以后每天的收益是前一天的2倍.

師：如果是你，你會如何選擇呢？

問題給出后，筆者先讓學生認真閱讀，理清題意后互動交流，以便通過不同思維的碰撞找到問題解決的突破口.

應用題的綜合性強，為了便于學生進行有效的互動交流，筆者給予了一定的提示.

師：為了找到最優投資方案，你認為我們現在最需要做的是什么呢？

生2：將這個問題轉化為數學問題.

接下來，筆者鼓勵學生將生活問題逐漸向數學問題轉化，根據數量關系寫出各個方案的函數表達式，并結合圖象、列表等方法進行對比分析，比較不同的增長.

師：對于以上問題，從解決問題的角度來看，我們需要比較哪些呢？

生2：比較每天的收益.

師：每天的收益是如何變化的？

生2：方案1每天的收益是相同的，每天都是40元；方案2第一天的收益是10元，第二天是20元，第三天是30元，以此類推，呈直線增長；方案3第一天的收益雖然少，但是后面增長很快，呈爆炸式增長.

師：分析得很透徹，那么我們選擇方案時，只比較每天的收益客觀嗎？

生3：不客觀，應該比較若干天累積的收益.

師：很好. 從解決問題的方法來看，我們可以如何處理呢？

生4：根據已知中的數量關系列出函數解析式，再用函數解析式對比分析.

師：還有其他方法嗎？

生5：列出函數解析式這個思路沒有問題，但是直接用函數解析式對比分析不夠直觀，可以畫圖分析.

生6：也可以用列表的方式比較.

這樣借助不同形式的對比分析，讓學生進一步體驗不同增長函數的增長變化存在較大差異，獲得更加直觀的感性認識. 例如，利用圖象分析，讓學生對“直線增長”和“爆炸式增長”有了更加清晰的感性認識；利用列表的方式比較，讓學生體會到不同增長函數的增長趨勢.

師：根據以上分析，你認為如何設計投資方案更合理呢？

生7：根據以上分析可知，投資收益與投資天數有關，若僅投資1～4天，方案1為最優方案；若投資5～8天，方案2為最優方案；若投資9天及以上，方案3為最優方案.

師：你們認為生7設計的投資方案合理嗎？

生8：我認為這個方案不合理，我們計算收益時應該算累積收益. 例如，在第5天時，若使用方案1，其累積收益為200元；而使用方案2，其累積收益為150元. 由此可知，生7設計的投資方案不合理.

經歷以上過程，學生知道，若想設計最優投資方案，除了要考慮每天的收益外，還要考慮累積收益，這對影響方案選擇的因素有了更深層次的認識. 接下來，在原有表格的基礎上，學生又設計了累積收益表，通過觀察可知，若投資7天以內，應選擇方案1；若剛好投資7天，方案1和方案2的累積收益均為280元，所以兩個方案均可；若投資8～10天，應選擇方案2；若投資11天及以上，應選擇方案3.

以上教學過程，從學生的認知結構出發，通過對比分析讓學生對增長函數的增長趨勢有了更深入的理解，不僅培養了他們數學分析和數據處理能力，還提升了他們應用數學的能力.

3. 深入探究，理性分析

師：剛才大家的表現都很棒，現在大家看看這個問題該如何解決. （用PPT給出問題）

問題：某公司為了激勵銷售人員的銷售熱情，實現1000萬元的利潤目標，按照銷售利潤對員工進行獎勵.獎勵方案如下：當銷售利潤達到10萬元時，獎金y（單位：萬元）隨著銷售利潤x（單位：萬元）的增加而增加，但獎金y不得超過5萬元，且獎金y不超過利潤的25%. 現提供三個獎勵模型：①y=0.25x；②y=logx+1；③y=1.002x. 你認為哪個模型比較適合該獎勵方案？

問題給出后，筆者預留2分鐘的時間讓學生審題，然后通過師生互動的方式共同審題，并板書.

師：閱讀題目，你們有什么發現？

生9：利潤x∈［10，1000］.

生10：獎金y不超過5萬元，即y≤5.

生11：獎金y不超過利潤的25%，即y≤0.25x.

師：那么獎金隨著利潤增加而增加，這說明了什么呢？

生12：獎金在定義域內是增函數.

設計意圖 解決現實問題，審題至關重要，除了厘清題意外，教師還要引導學生將現實問題轉化為數學問題.

師：根據已知可得y≤5，對于以上三個獎勵模型，可以如何驗證y≤5呢？

設計意圖 引導學生用不同手段對三個獎勵模型進行對比分析. 有的學生采用解不等式的思路精準運算，有的學生借助圖象直觀觀察，這樣通過不同方法比較不同的函數模型，初步確定對數函數模型是最適合的模型，為進一步研究確定了思考方向.

生13：好像在［10，1000］內的x都滿足.

師：為什么是好像呢？看不清嗎？放大后呢？

生13：這次看清了，確實滿足.

生14：其實只要將x=10代入計算就可以了. （其他學生感到疑惑）

師：為什么呢？（筆者追問）

生14：兩個函數都是增函數，但其增速不同，直線的增速大于對數函數的增速，所以隨著自變量不斷增大，其差距也越來越大.

師：對于對數函數的增速，誰來準確描述一下？

生15：開始時增長較快，后來越來越慢.

師：很好，那么F（x）在x∈［10，1000］上具有單調性嗎？

生16：F（x）應該是一個單調遞減函數.

師：為什么？

生17：根據圖1可知，兩個函數的增長速度不同.

師：很好，我們來驗證一下. （用幾何畫板作圖驗證，如圖2所示）

師：函數在x∈［10，1000］上的最大值是什么？

生齊聲答：F（10）.

4. 反思總結，歸納提升

師：通過本課的學習，你有哪些收獲？

生18：通過對比分析，對對數函數、指數函數等不同增長的函數模型有了更加系統的認識，體會到了它們的增長差異.

生19：在解決實際問題時，可以將其轉化為對應的數學模型，這樣可使問題變得更加清晰、直觀，更易于解決.

……

學生通過反思回顧，有助于知識的系統化建構，有助于問題解決能力的提升.

教學反思

1. 學以致用，凸顯價值

“學以致用”是數學教學的真正價值所在，教學中教師應重視學生數學應用意識的發展. 培養學生的應用意識最直接的方式是引導學生運用數學知識去解決實際問題，繼而讓學生通過切身經歷感悟數學的應用價值，以此激發學生的數學學習熱情，提高學生的數學應用能力. 在本課教學中，筆者引入不同的生活實例，引導學生用數學眼光分析問題，用數學模型解決問題，體驗知識形成和應用的過程，以此激發學生的數學學習熱情，提高學生的自主學習能力，讓學生在實踐中提高解決實際問題的能力.

2. 設疑提問，激發潛能

在數學教學中，若想讓學生對數學知識有更加深入的理解，教師應在關鍵節點設置疑問，以此引發數學思考. 同時，在問題解決的過程中，要鼓勵學生互動交流，從而通過不同思維的碰撞點燃學生思維的火花，讓學生獲得更為廣泛、更為全面的理解，以此提升學生解決實際問題的能力. 當然，這里的“設問”不是簡單的幾個“為什么”，而是那些具有啟發性的、目的性的問題，只有這樣的問題才能引發學生積極的思維活動，激發學生的潛能. 在本課教學中，筆者以生為本，通過有效的問題情境誘發學生思考，讓學生對問題的理解由感性逐漸上升至理性，通過對比分析發現數學本質，提升數學素養.

3. 經歷過程，建構模型

建構模型往往是一個長期的過程，因此模型建構時教師不要急于求成，應帶領學生經歷知識形成、發展和應用的過程，在過程中通過示范引導，耐心鼓勵，逐漸建構模型. 同時，教師要讓學生體驗到數學模型在解決實際問題中的價值，以此激發學生建模的熱情，提升教學的有效性.

總之，教學中教師切勿急于求成，應為學生提供一些機會和平臺去經歷、去體驗、去探索，以此激發學生的數學學習熱情，提升學生的數學應用能力.