隱圓定義在圓錐曲線問題中的應用探究

楊來

［摘? 要］ 利用隱圓定義可以解決圓錐曲線相關問題，即根據隱圓定義確定動點軌跡，提取圓的方程，進而結合圓的方程來運算推導. 隱圓定義較多，常用的有定長、距離平方和、張角、距離比值四大定義，文章結合實例開展隱圓定義的解題探究及教學思考.

［關鍵詞］ 隱圓；定義；圓錐曲線；方程

“圓的方程”是高中數學重要的知識考點，實際考查的問題中可能不會直接給出圓方程相關信息，但挖掘、轉化、分析題目條件，可以獲得需要的信息，然后推導求解. 對于一些圓錐曲線問題，可以借助隱圓定義，提取問題中的圓方程求解，下面開展實例探究及解題思考.

隱圓定義，解題探究

1. 隱圓定義——定長定義

隱圓的第一定義：到定點的距離等于定長，該定義是基于圓上各點到圓心的距離均相等來構建的. 解題時要關注題目中的定點位置和動點軌跡以及定長，根據隱圓的第一定義來提取圓的方程.

評析 在上述問題中，點A為定點，點P為動點，兩點滿足定長條件AP=1，根據隱圓的第一定義可以推導出圓的方程，后續借助圓的參數方程完成最值求解. 對于隱圓第一方程的應用，要關注三大要素，即定點坐標、動點運動、定長條件，在此基礎上推導方程.

2. 隱圓定義——距離平方和定義

隱圓的第二定義：到兩定點距離的平方和為定值，即圓上動點到兩定點距離的平方和為一定值. 該定義可視為關于圓標準方程的抽象. 實際求解時要關注問題中的動點和定點，根據距離平方和的條件來構建代數方程，確定隱圓情形.

評析 上述解析利用的是隱圓的第二定義，即根據動點到兩定點距離的平方和為定值這個條件來構建代數方程，進而確定點D的軌跡為圓. 利用該定義推導隱圓，一般分兩步：第一步，建立坐標系，推導關鍵點的坐標；第二步，根據距離的平方和構建方程，并轉化為圓的標準方程，進而確定隱圓.

3. 隱圓定義——張角定義

隱圓的第三定義：動點到兩定點的夾角為90°，即動點到兩定點連線的夾角為90°，則該動點的軌跡為圓. 該定義是基于圓的特性“直徑對直角”所構建的. 實際求解時注意開展角度分析，確定其中90°角，進而提取圓的方程.

評析 上述解析借用的是隱圓的90°角定義，即通過幾何分析確定其中的垂直關系，進而確定動點軌跡為圓，推導出圓的方程. 對于隱圓的90°角定義的運用，有兩種思路：一是開展幾何特性分析，推導張角為90°；二是逆用勾股定理，推導垂直關系.

4. 隱圓定義——距離比值定義

隱圓的第四定義：到兩定點的距離之比為定值，即構建動點到兩個定點的距離，若比值為定值，則該動點軌跡為圓. 實際解題時同樣要重點關注動點和定點，合理構建平面直角坐標系，將比值條件轉化為代數方程，進而確定隱圓.

例4 被譽為古希臘“數學三巨匠”之一的數學家阿波羅尼斯發現：平面內一動點P到兩個不同定點A，B的距離之比為常數k（k>0且k≠1），則P點的軌跡是一個圓心在AB直線上的圓，簡稱“阿氏圓”. 據此請回答如下問題：

解析 可以點B為坐標原點，BC所在直線為x軸，建立平面直角坐標系，如圖4所示.

評析 上述解析利用的是隱圓的距離比值定義，即建立平面直角坐標系，算出關鍵點的坐標，結合比值條件構建代數方程，進而推導出圓的方程. 此類問題解析時需要注意兩點：一是合理建立平面直角坐標系；二是關注特殊點，準確確定動點的運動范圍.

解題思考，教學建議

隱圓定義在圓錐曲線問題中有著廣泛的應用，利用定義可直接確定動點的軌跡，確定圓的方程，充分簡化解題過程. 上述結合實例探究了隱圓的四大定義，其解題思路及構建過程有一定的參考價值. 下面進一步開展教學思考，提出幾點建議.

1. 關注定理定義，挖掘知識內涵

定理定義是高中數學的教學重點，也是后續探究的基礎，探究學習圓錐曲線時要關注教學中的定理定義，結合圖象深刻理解其內涵，如上述隱圓的張角定義，本質上是圓周角定理的衍生. 在實際教學中，教師要重視指導學生關注圓錐曲線的定理定義，挖掘定理定義的內涵，可以采用數形結合的方式，即結合具體圖象，指導學生完成“定理定義解讀→圖象詮釋→內涵挖掘→應用探究”的系統學習.

2. 總結隱圓定義，探究總結應用

上述是利用隱圓的四大定義破解圓錐曲線問題的具體過程，涉及定長定義、距離平方和定義、張角定義、距離比值定義，不同定義適用于不同的問題情形，解題時要注意解析題設條件，確定問題類型，再結合隱圓定義來確定方法. 在探究教學中，教師要從三點進行引導：一是引導學生總結隱圓定義，分析對比不同定義的異同點，掌握不同定義適用的問題情形；二是引導學生掌握不同隱圓定義的解題思路，包括分析過程、解題構建、注意事項等；三是引導學生應用探究，結合實例具體講解，讓學生內化吸收，形成自我的解題策略.

3. 挖掘解題思想，提升綜合素養

使用隱圓定義解題涉及眾多思想方法，如化歸轉化、模型構造、數形結合等，實則是在數學思想的指導下完成思路構建、運算解析等. 因此，教學中教師要合理滲透數學思想方法，引導學生掌握思想內涵，掌握利用數學思想進行解題構建的技巧. 關于思想方法的教學滲透，教師可以從以下兩個方面進行：一是開展定義講解，闡述思想方法的本質內涵，以及解題的重點，如利用數形結合法解題時圖形與運算的分析緊密配合，由“數”構“形”，以“形”釋“數”；二是解題過程中詳細講解思想方法，可結合具體問題進行過程拆解，讓學生思考重點步驟所使用的數學思想方法，從而具體感知思想方法的應用.

寫在最后

利用隱圓的四大定義可高效破解圓錐曲線相關問題，通常解題過程可以分為兩個階段：一是解析條件，利用定義構建隱圓，推導圓的方程；二是結合圓的方程開展分析推算，求解問題. 在探究教學中，教師要引導學生深刻理解隱圓定義，歸納總結定義，講解使用技巧，結合實例強化解題應用，同時關注學生的思維培養，提升學生的數學素養.