關注學生思維過程 落實數學核心素養

許家釗

［摘? 要］ 為了發揮數學的學科特點，落實學生的數學核心素養，教師要引導學生經歷信息提取、分析、處理、整合、推斷等過程，以此提升學生數學分析和數學運算的能力；要放手讓學生進行解題探究和解題拓展，讓學生在探究和拓展中抽象出共性，促進數學抽象和數學建模能力的提升；要平衡直覺想象和邏輯推理的關系，使其相互促進，協調發展. 教師只有將“教”與“學”有機地結合在一起，才能實現自身的教學水平和學生的學習能力全面提升.

［關鍵詞］ 思維過程；核心素養；教學水平；學習能力

高三第一輪復習后，學生的“雙基”得到了穩固提升，二輪復習正是由知識向能力轉化的黃金期. 在本輪例題教學中，教師應關注學生的思維過程，關注解答思維的自然生成，通過有的放矢的引導有效提升學生的數學核心素養. 不過，在現實課堂教學中，為了實現“多講”“多練”，部分教師常常忽略學生的思維過程，例題講解以自身經驗和標準答案為主，這樣的例題教學顯然難以激發學生的學習興趣，實現解題能力的提升. 為了改變這一現狀，提升二輪復習的教學品質和學習質量，落實數學核心素養，筆者提出了幾點教學策略，僅供參考.

注重數據分析，優化數學運算

數據分析和數學運算是學生應具備的基本能力，它的強弱直接關系著解題效率. 眾所周知，高考試題綜合性強，信息量大，內涵豐富，若想成功解決問題就要先從大量數據中提取出有價值的信息，繼而通過信息分析、處理、整合、推斷，形成解題思路. 但學生的數據分析和數學運算能力并不是一朝一夕養成的，也不是靠灌輸就能提升的，它往往需要一個漫長過程. 在教學中，教師應引導學生親身經歷信息甄別、篩選、重組等過程，呈現學生的思維過程，從而通過巧妙的引導幫助學生沖破表層所設置的“迷霧”，厘清問題的來龍去脈，形成準確的解題思路.

（1）求橢圓C的方程；

（2）設點P是E上的動點，且位于第一象限，E在點P處的切線l與C相交于不同的兩點A，B，線段AB的中點為D，直線OD與過點P且垂直于x軸的直線相交于點M，求證：點M在定直線上.

從學生的解答反饋來看，學生都能順利地求得橢圓C的方程為x2+4y2=1. 對于第（2）問，大多數學生感覺題設信息復雜，不知該從何下手. 為了幫助學生重拾解題信心，教師沒有直接給出解題過程，而是與學生共同分析，引導他們自主發現解題的突破口.

師：第（2）問涉及哪些幾何條件？

生1：動點P在拋物線E上，直線l是E在點P處的切線.

生2：直線l交C所得的線段AB的中點為D.

師：接下來思考一下，這些條件與哪些知識相關？

生4：用導數的幾何意義來研究過動點P的切線l.

生5：由切線l與橢圓C相交，應用方程組、韋達定理求直線OD的方程.

師：很好. 不過除了應用方程的思路外，是否還有其他思路？（學生陷入沉思）

生6：若能求出切線方程，應該還可以運用垂徑定理求解.

師：大家分析得非常有道理，誰來簡述一下求解思路及過程呢？（教師預留充足的時間讓學生思考求解）

以上解法自然，思路清晰，既展現了數據分析的“成果”，又體現了學生的運算素養.

師：思考一下，若適當組合條件，能否找到其他的解答方案呢？（讓學生獨自思考）

生8：已知點D為弦AB的中點，是否可以應用“點差法”計算呢？

解后反思 數據分析與數學運算密不可分，前者重在指引，后者重在落實，是實現由“理解”到“實踐”的嘗試與發現的過程. 通過數據分析所提取的信息可能有不同的組合方式，因此會形成不同的解題思路，產生不同的運算過程. 為了優化運算過程，學生要綜合考量，對比利用不同思路解答問題的難易程度，并預判解題過程中需要突破的難點及算法的優劣，從而合理布局，找到解題的最優途徑，以此達到優化運算過程，提升運算效率的效果. 例1是解析幾何運算的典范，雖然從代數角度分析更易于形成解答思路，但是運算過程煩瑣；若結合幾何特征，通過點差優化，則更易實現目標. 在二輪復習中，教師應嘗試引導學生從不同角度重組數據，這樣不僅可以優化運算過程，而且能夠培養學生思維的深刻性，有助于提升學生的數學素養.

關注數學抽象，深化數學建模

數學抽象是一個棄異求同的過程，即舍棄那些非本質屬性和非本質特征，抽取共同的本質屬性和本質特征，既體現了化特殊到一般的思維過程，又呈現了透過現象發現本質的思維品質. 在數學學習過程中，學生普遍感覺數學概念、定理、公式等內容是抽象的，是難以理解和記憶的，究其原因是數學概念、定理等大多是從大量信息中獲取、概括、抽象出的一般性結論，其所呈現的都是問題的本質屬性. 在解題過程中，學生只有抓住問題的本質，才能以不變應萬變，找到普適性的數學思想和方法，以此提升自身的解題能力. 仔細分析數學抽象過程不難發現，其中含有數學建模的過程. 數學建模是重要的數學思想方法，它舍棄了對象除空間形式和數量關系外的各種性質，保留了數學的本質內容，是對實際問題的高度抽象. 想要發展學生的數學建模能力，教學中教師就要培養學生的數學抽象能力.

師：思考一下，例2的實質是一個什么問題呢？

生9：是一個極值點偏移問題.

師：此類問題也是高考的一個重要考點. 這里的“偏移”是相對什么而言的？（學生深思）

生10：相對函數的極值點而言.

師：很好，因函數極值點左右小范圍內的“增速”不同，使得函數圖象的對稱性被打破，是一種特殊的非對稱圖象. 如何用代數語言來表述呢？

師：很好，這樣從數與形兩個方面揭示了極植點偏移問題的特點，接下來我們如何求解呢？

師：很好，經過以上分析，相信大家的解答思路已經基本形成，請大家嘗試用不同的方法完成證明.

師：分析以上求解過程，你能總結歸納出解決此類問題的策略嗎？

師：很好，其最終目的都是通過變形構造函數，將雙變量函數換元轉化為單變量函數，建構出齊次式.

解后反思 以上教學中，教師鼓勵學生從不同角度去分析，應用不同策略求解，其目的不是簡單地呈現多種解法，而是盡可能地呈現學生的思維過程，展現不同解法的自然生成過程，將不同的解法內化至原有的認知結構，以此幫助學生積累解題經驗，優化認知結構. 同時，在解題過程中，通過對比分析、總結歸納，讓學生抽象問題共性，發現解題通法，如上述的極值點偏移問題，利用“消參—減元—構造”這一共性通法求解. 借助這一數學模型，學生可以快速形成解題策略，提升解題效率.

利用直觀想象，強化邏輯推理

直觀想象、邏輯推理是數學核心素養的重要組成部分，兩者既有獨立性，又相互交融，解題時缺一不可. 直觀想象是以知識、經驗為依托的一種創新思維，其表現著“熟能生巧”的學習理念，是知識遷移的重要體現，是對所研究的數學對象的直接感知和認識. 不過，直觀想象所獲得的猜想并不能成為最終的結論，必須有嚴謹的推理和論證過程. 若在解題過程中僅有直觀想象而沒有嚴謹論證，則這樣的解題過程是不完整的，難以體現直觀想象的價值. 在解題過程中，學生不應停留在簡單的感性認知階段，應追求理性論證，做到每步都有理有據.

例3 若函數f（x）=x2（x－2）2－ax－1+a有4個零點，則a的取值范圍為________.

師：研究函數零點問題涉及很多思路，如函數方程、等價轉化、數形結合等. 對于例3，你認為用哪種思路求解更方便呢？

生14：本題若直接用解方程的思路求解，運算可能會比較復雜，不妨將其轉化為兩個函數圖象交點個數的問題. 我認為此題用數形結合的方法求解更合適.

師：分析得很有道理，大家思考一下，具體如何求解呢？（題目較復雜，教師預留充足的時間讓學生思考）

解后反思 對于同一問題，思考的方向不同，選擇的解題方法也有所不同，至于用哪種方法才會使解題過程最簡，需要直觀想象的指引. 如例3是關于函數零點個數的問題，解決此類問題往往有不同的思路，對于“如何選”需要學生借助已有經驗先科學判斷，再通過邏輯推理進一步驗證. 此類問題涉及轉化與化歸思想、數形結合思想，包含構圖能力、識圖能力、用圖能力，對思維的嚴謹性、靈活性有較高的要求，只有當學生具備一定的綜合素養，才能“突破重圍”，順利解題.

核心素養的六大組成要素既獨立，又相互交融、相互影響，教學中教師切勿顧此失彼. 在高中數學復習中，例題教學是必不可少的，因此如何應用典型例題來培養和落實學生的核心素養是值得教師深思的問題. “以師為主”的數學課堂是在教師的精心預設下進行的，很多看似自然生成的過程，實則是教師“灌輸”的結果，雖然實現了教師所追求的“大容量、高速度”，卻沒有讓學生的學習能力得到明顯的提升，其教學是低效的. 因此，教師要變“以師為主”的教學方式為“以生為本”，要學會放手，讓學生自主探尋解題之道. 但只會解題肯定是不夠的，更重要的是能讓學生理解問題的本質，挖掘出解決問題的通法，即學生不僅知其然，還知其所以然.

總之，在高三二輪復習中，教師要將解題主動權交給學生，充分調動學生的主觀能動性，關注數學課堂的自然生成. 同時，教師要為學生營造一個自由的、開放的學習空間，鼓勵學生多互動交流，展現解題過程，以此助力學生積累經驗，完善認知體系，提升學習效率.