基于“直觀想象素養”培養的高中數學教學研究

郭培華

［摘? 要］ 數與形是數學研究的基本對象，也是發展學生直觀想象素養的關鍵. 文章從直觀想象素養的內涵與構成出發，以“直線與平面平行的判定”的教學為例，認為課堂教學中培養學生的直觀想象素養可以滲透在情境創設、實踐操作、驗證猜想、質疑辨析、例題應用、提煉總結等教學環節.

［關鍵詞］ 直觀想象；圖形；操作

發展學生的數學核心素養是數學教學的主要目標. 何為核心素養？核心素養并非具體的知識與技能，亦非一般意義上的能力，而是一種具有特定意義的綜合能力. 它以知識與技能為基礎，又高于具體的知識與技能，反映了數學思想與本質，具有綜合性、整體性與持久性特征. 直觀想象素養是數學核心素養的六大要素之一，是指利用幾何直觀與空間想象來感知數學事物的變化與形態，借助圖形解決實際問題的過程.

直觀想象素養的內涵與構成

直觀想象素養主要包含幾何直觀與空間想象，兩者雖有關系，但有著質的區別，從某種程度而言，空間想象依賴幾何直觀. 克萊因提出：數學依靠的是直觀，而非邏輯［１］. 這里提到的數學直觀是指學習者對概念、定義或證明等直接把握的程度. 幾何直觀能從圖形出發，整體把握與理解知識，借助圖形描述與分析問題，體現感性認識到理性認識的發展過程［2］. 空間想象是指學習者對數學事物的空間形式觀察與分析的過程.

《普通高中數學課程標準（2017年版）》從問題與情境、知識與技能、思維與表達以及交流與反思幾方面對直觀想象素養進行了三個水平的規定，揭示了其在四個構成部分的不同要求. 經梳理，直觀想象素養的構成情況見圖1.

直觀想象素養的構成圖不僅呈現出了不同層次的不同要求，還強調了數形結合的重要性，厘清了幾何直觀與空間想象之間的關系與作用，對發展學生的數學核心素養具有一定的指導意義.

直觀想象素養的培養措施

1. 情境創設，直觀感知

高中數學知識相對抽象，若想讓學生對數學學科保持持久的學習興趣，教師可通過創設豐富的教學情境引發學生對知識的直觀感知，體驗數學學習樂趣.

情境創設時，應注意以下幾點：①遵循目的性原則. 根據核心知識創設情境，讓學生明確探索方向，使得情境富有教學價值.②與學生認知相匹配. 高中生的心智與思維發展迅速，針對學生身心特征創設的情境，能有效引發學生的直觀感知，為建構新知奠定基礎.③遵循現實性原則. 情境素材的選擇對學生的直觀感知有著直接影響，越真實的情境，帶給學生的體驗越豐富，教學效果越好.④遵循趣味性原則. 情境的創設關鍵在于吸引學生對所學知識的興趣，新穎、生動、風趣的情境能從較大程度上調動學生的積極性，讓學生對知識產生更多的直觀感受.

課堂伊始，教師帶領學生回顧直線與平面存在的三種位置關系，并以圖2展示如何利用圖形與符號表示這三種位置關系，讓學生在直觀的視覺中鞏固舊知，為引出直線與平面的平行關系奠定基礎.

如圖3所示，用多媒體展示飛龍湖烏江大橋，要求學生說說橋與湖面有怎樣的位置關系. 當學生提出橋與湖面為平行關系時，教師追問如何確定它們為平行關系，學生從公共點的角度進行分析，最終一致認為直線和平面都具有無限的延展性特征，想要探尋它們是否存在公共點實在太難了，因此需要探尋出一種更加簡單實用的判定方法來確定它們是否為平行關系.

學生用文字語言、圖形語言與符號語言表達直線與平面的位置關系，起到鞏固舊知并揭示本節課教學主題的作用. 利用多媒體展示橋與湖面的位置關系，讓學生從直觀視覺中初步判斷直線與平面的位置關系，成功地激發了學生的探索欲，使學生帶著明確的問題（核心問題）進入新的教學環節.

2. 實踐操作，思維辯證

數學實踐操作指通過手腦并用的方式“做中學”，即學生借助剪刀、紙張、尺子、計算機等工具進行數學探究與驗證活動，力圖讓學生通過實操主動探究知識形成與發展的過程，為形成良好的辯證思維與創新意識積累經驗. 隨著時代的發展，如今的實踐操作除了在傳統意義上動手，還涵蓋多媒體操作，如常見的幾何畫板的應用，可以給學生帶來手動操作無法企及的視覺效果，讓學生在直觀中對知識本質形成客觀、辯證的認識.

實操設計：要求學生取兩支鉛筆，將它們視為兩條直線，讓它們處于平行狀態，保持其中一支鉛筆不動，另一支鉛筆沿著與靜止的那支鉛筆異面的直線進行平移，獲得一個平面. 邊操作邊觀察：靜止不動的鉛筆與另一支移動的鉛筆所形成的平面具有怎樣的位置關系？

學生實操與觀察后總結出：靜止不動的鉛筆所在的直線與移動的鉛筆所形成的平面是平行的關系，同時移動的那支鉛筆所在的直線一直位于形成的平面內.

師：請大家根據以上操作過程與獲得的結論來分析，一個平面外的直線與其平行應該具備怎樣的條件？

借助多媒體的動畫功能，學生經探索得出如下猜想：要使平面外的某一條直線與該平面平行，需讓這條直線與平面內的一條直線為平行的關系.

借助鉛筆、多媒體等進行實踐操作，不僅讓學生對直線與平面平行的位置關系有了直觀認識，還對判定方法形成了初步猜想. 在教師適當的引導與動手操作中，學生積極主動地進行思考、探索，為直觀想象素養的形成奠定了基礎.

3. 驗證猜想，建構新知

數學學習講究嚴謹性，猜想的形成只是對知識的初步認識. 至于猜想是否科學合理，還需進一步驗證. 隨著科技的發展，多媒體的普及，一些原本需要耗費大量人力、物力與時間的操作活動，可用先進的多媒體技術代替，學生從它們的演示功能中能直觀發現知識形成與變化的過程.

在驗證猜想的過程中，學生經歷嘗試、觀察、預設與檢驗等環節，從中體驗知識與研究方法的關系，而多媒體的應用則是一種先進的“做中學”，為教學帶來了更強的視覺沖突，提高了學習效率. 因此，多媒體是驗證數學猜想的工具，大家應利用好它的教學功能.

待驗證的猜想為：要使平面外的某一條直線與該平面平行，需讓這條直線與平面內的一條直線為平行的關系. 用符號表達為：如圖4所示，a？埭α，b？奐α，a∥b，那么a∥α. （用PPT展示）

為了明晰學生的思路，要求學生將驗證互動分成以下兩步進行分析：①直線a，b共面嗎？②直線a和平面α是否平行呢？

學生借助幾何畫板通過反證法的應用，很快就驗證了以上猜想是成立的，并提煉出了相應的定理（教師用PPT展示相應的文字與符號）. 簡而言之，即“線線平行，則線面平行”. 這是將空間問題（直線與平面）轉化成平面問題（直線與直線）的過程.

借助幾何畫板，應用反證法對猜想進行驗證是發展學生數學空間想象力的過程，也是促進學生數學邏輯推理能力發展的過程，學生在此過程中容易形成科學、嚴謹、周密的學習態度. 因此，利用好多媒體的教學輔助功能，發展數學思維的嚴謹性，對驗證猜想具有重要作用，亦是促進核心素養發展的關鍵.

4. 質疑辨析，深化理解

疑者覺悟之機也. 當學生對教學內容有了明確的認識后，并不代表學生已經深刻理解并掌握了知識本質. 想讓學生全方位、無死角地認識知識本質，還須教師提出一些與原命題相近的問題引發學生產生疑惑并自主辨析. 當學生對直線與平面的平行關系有了明確認識后，教師可以設計如下幾個問題，以激發學生思考.

問題1：判斷以下命題是否正確.

（1）如果a？埭α，a∥b，那么a∥α；

（2）如果b？奐α，a∥b，那么a∥α；

（3）如果a？埭α，b？奐α，那么a∥α.

這三個命題是學生在后續應用中容易出現的錯誤，教師將這些問題羅列到新知教學課堂中“試錯”，能夠讓學生避免在后續應用中發生這些錯誤，而且可以深化學生對線面平行的認識：①線必須位于面外；②一條位于面內的直線與面外的直線平行. 兩者缺一不可.

問題2：如圖5所示，在長方體ABCD－A′B′C′D′中，與棱AB平行的平面有______；與平面ABB′A′平行的棱有______.

這是用定理來處理實際問題的過程，為接下來的定理應用奠定基礎. 學生的思維在以上幾個問題的探索中，由淺入深，由具體上升到抽象，再由感性逐漸轉化到理性，這是從真正意義上激發學生思考的過程. 學生在每個問題的探索中，親歷動手操作、直觀感知、思辨與推理等過程，嘗試從不同維度審視線面平行的判定定理，進一步深化對該定理的認識.

5. 例題應用，發展思維

發展學生的直觀想象素養與例題教學有著密不可分的聯系，一個好的例題往往蘊含著豐富的數學思想，尤其是數形結合思想、化歸思想等，能讓學生在直觀的圖形或問題中獲得“解一題通一片”的能力［3］. 由淺入深、知識聯系、透徹理解與總結反思四個環節是應用例題發展數學思維的關鍵，亦是讓學生達到境界“俯瞰眾題都會解”的保障.

例1 如圖6所示，在四棱錐A－DBCE中，已知底面正方形BCED的對角線交點為O，AE邊的中點為F. 求證：AB邊與平面CFD平行.

解析 連接FO，證得FO為△ABE的中位線，則AB∥FO，結合線面平行定理可知AB邊與平面CFD平行.

變式：與圖6中的FO平行的平面有哪些？

例2 如圖7所示，四棱錐P－ABCD中的底面ABCD為矩形，AB，PC邊的中點分別為點M，N. 求證：NM與平面ADP平行.

解析 取PD邊的中點Q，連接QA，QN，證得四邊形QNMA為平行四邊形，可得NM∥QA，結合線面平行定理可得NM與平面ADP平行.

從發展學生直觀想象素養的角度來剖析以上兩個例題，學生從題設條件與結論出發，通過對圖形的加工，探尋出符合判定定理的相關條件，從而順利獲得問題的答案. 在此過程中，為圖形添加輔助線起到了重要作用，這對學生的直觀想象能力與邏輯思維能力有著較高要求，兩者缺一不可.

通過例題的探索，學生不僅掌握了本節課的教學主題——線面平行定理，擁有了解決實際問題的能力，還從中體悟到了重要的數學轉化思想，對促進個人思維的發展有著深遠影響.

6. 提煉總結，反思升華

當學生面臨一個問題時，第一反應就是有沒有更簡單、更便捷、更通性的方法來解決這個問題. 這就需要學生在日常學習中學會提煉與總結，盡可能地將一些解決方法提煉成相應的小模型，再將這些小模型織成一張大網絡根植于腦海中，形成直觀形象的解題圖譜，為提升解題效率奠定基礎.

例如本節課從教學內容的處理來看，學生經歷了直觀感知到操作確認再到思辨論證的過程. 學生自主猜想出線面平行定理后借助先進的信息技術手段進行了驗證，因親歷了知識發生發展的全部過程，從而形成了深刻理解與長時記憶.

總之，立體幾何教學本就以培養學生的空間想象能力與邏輯思維能力為“方向標”，因此課堂上必然少不了實踐操作、多媒體演示等過程，學生從這些直觀感知中不僅能全方位地認識基本空間圖形，還能形成良好的幾何直覺，為形成空間想象能力與邏輯推理能力夯實了基礎.

參考文獻：

［1］ M·克萊因. 古今數學思想（第1冊）［M］. 張理京，譯. 上海：上海科學技術出版社，1979.

［2］ 孔凡哲，史寧中. 關于幾何直觀的含義與表現形式——對《義務教育數學課程標準（2011年版）》的一點認識［J］. 課程·教材·教法，2012，32 （07）：92-97.

［3］ 王衛東，潘淑芬. 借助幾何直觀教學 積累數學活動經驗［J］. 教學與管理，2014（05）：41-43.