基于學情的數學起始課教學微探

董玉武

［摘? 要］ 教學是以學生為主體，以教師為主導進行知識探究的過程. 教師要基于學情，依據課標和教學內容進行合理的教學設計，引導學生主動探究，使其體會知識的發生過程，在探究中感受數學的魅力. 數學單元起始課是知識模塊的開端，對于激發學生的興趣和對新的模塊知識的探究欲望具有重要作用.在教學中，教師要注意聯系實際，以學生已有知識和經驗為出發點，幫助學生建構知識體系，提高教學實效性.

［關鍵詞］ 學情；起始課；知識；經驗

課堂教學中常常會出現一些預設以外的情況，如一位教師講授平面向量的單元起始課時，向學生提問應該如何用符號表示向量，學生的答案是平面直角坐標系；又如一位教師讓學生在黑板上書寫向量“ ”的相反向量，學生的答案是“? ”，基于學生的理解這個答案是合理的. 這樣的教學過程引起了筆者思考：為什么在教學過程中會出現這種現象？學生為什么會有這種答案呢？是學生認知的問題還是教學設計的問題？向量這一知識究竟是怎樣發展而來的？作為平面向量的單元起始課教師應該如何引入？這些問題都是教學設計的線索，筆者收集了相關資料后，結合教學內容設計教學方案，現與各位同行交流.

認識教學中的“三個理解”

教師要基于“三個理解”進行教學設計，即在理解數學、學生和教學的基礎上，深入研究教學內容，合理建構教學過程，推進教學目標的落實.

首先，教師要理解數學的內涵：究竟什么是數學？數學活動始終圍繞著數學思維而展開，數學研究的范圍可以擴大或縮小，但是研究的內容從不同角度能形成對數學不同的認識. 從微觀角度來看，數學是指知識中蘊含的思想方法，其圍繞的核心始終是問題. 教師需要通過創設情境并以問題為載體，帶領學生去發現知識，感受知識的生成過程，構建數學認知體系［1］. 對于平面向量單元起始課的內容，教師需要明晰平面向量的生成過程、發展作用和探究意義，在創設的情境中通過環環相扣的問題帶領學生撥云見日，逐層探究，了解平面向量的學習價值和目標.在學生理解向量性質的基礎上，建構本章的知識體系，掌握研究平面向量的思想方法，培養學生的數學想象能力和數學運算能力.

其次，基于學情理解學生，從教師的專業角度厘清學科內和學科間的主要內容，了解學生已有的知識和經驗，明晰學生發展的要求和知識的生長點，從學生的成長需要和認知特點出發，在教學中做到有的放矢、目標明確. 平面向量的知識內容有兩個方面可以延伸：一是跨學科的有關矢量的知識，二是學科內有關實數的運算內容. 學生在學習過程中可能出現三個方面的困難：一是關于矢量的知識已經出現在物理學科中，為什么數學學科還要研究向量？二是兩者的區別是什么？三是如何理解向量的“二重性”？通過對以上問題的思考，筆者立足在史料中尋找相關素材，通過向量定義的生成，結合教材及章節引言創設情境：將抽象的向量概念輔以豐富的歷史和現實情境，創設螺旋上升的教學場景，為枯燥的數學概念增添趣味性和生動性，使教學內容既有思想又有生命，從而最大限度地調動學生的學習積極性.

最后，明確教學的意義.教師的主要作用在于對學生的學習方向、學習過程、學習思路進行引導，當學生遇到學習障礙時能及時予以關注，因勢利導，幫助學生克服困難、突破障礙，繼續前行. 學生在學習過程中要充分發揮主觀能動性，主動發展、主動學習，從而學會學習. 教學過程中的關鍵是處理好教師與學生之間的關系，教師要把握好引導程度，學生則要充分發揮積極性. 為此教學設計要高屋建瓴，注重教學目標、教學過程和教學評價的統一. 在平面向量單元起始課的教學設計中，教師要以引導學生樂于學習為目標，整合素材創設情境；以問題設計為載體，注重思想性和層次性；以育人目標的落實為己任，構建和諧民主的課堂，促進師生共同成長.

平面向量單元起始課的教學設計

1. 創設情境——信中交流引新量

1672年身為外交官的萊布尼茨出訪巴黎時受到當時數學家惠更斯的啟發決心放棄政治轉而研究數學，他常與惠更斯在信中討論數學問題. 他提到對于代數和幾何不滿意的在于代數還沒有建立簡潔的方法，幾何還沒有最優美的結構［2］. 萊布尼茨提出這一說法的理由是幾何是否可以像代數一樣進行數量的表達，而不只是線性的表達. 可以像用代數表達數和量一樣，幾何也可以用來表示圖形或運動.

師：萊布尼茨提出的對于幾何設想的特點是什么？體現了幾何的什么功能？

總結：這種設想強調的是簡潔的方法和優美的結構，幾何的功能是更加直接地表達它的位置.

師：幾何的這種應用方式就是我們今天將要學習的平面向量. （進入新課）

設計意圖 通過數學故事創設情境，以著名數學家萊布尼茨的探究經歷使學生感受數學家們刻苦鉆研的精神以及開拓創新的品質，點燃學生的學習熱情. 這樣的設計可以豐富課堂的內涵，使學生不僅了解數學文化，也對將要學習的新知產生濃厚的興趣. 以問題揭示平面向量的本質和功能就是用簡潔的方法表達圖形運動和處理幾何問題.

2. 情境再現——逐步探索現概念

情境1-1：一艘小船從A地向東南方向航行15海里到達B地，小船航行的速度為每小時10海里. 請問如果改變條件，僅僅指出小船從A地航行15海里到達B地，不說明小船航行的方向，小船還能到達B地嗎？若將“從A地”這一條件去掉，改為“小船向東南方向航行15海里”，那么小船還能到達B地嗎？

總結：引導學生理解小船在行駛中若缺少航行方向，只有航行起點和行駛距離，是不能到達指定地點的；同樣，若小船缺少航行起點，只有行駛距離和航行方向，也不能到達指定地點.

情境1-2：在投擲標槍時，某運動員其中一次出手角度為θ等于43.242°，出手的速率v為每秒28.35米，思考一下該運動員每次投擲標槍的出手速度和哪些因素有關.

總結：引導學生理解標槍投擲時的出手速率大小與出手時的角度有關系.

情境1-3：一輛汽車沿斜坡上行，斜坡的傾斜角為θ，汽車的牽引力為F，從物理的角度來看，力的作用效果的要素有哪些？

總結：回顧物理學科中有關力的知識，知道力的作用點、力的大小和方向與力的作用效果有關.

師：根據以上三個場景思考，這些場景中的位移、速度和力等量具有哪些共同點？

總結：這幾個量都是矢量，他們都是具有大小、方向和位置的量，亞里士多德最早提出力可以稱為向量，這是向量定義的起源.

設計意圖 通過收集教材和生活中的素材，充分利用史料內容，結合數學文化史，創設情境，在學生的最近發展區內進行開發，使學生不僅能了解向量產生的跨學科背景，還能提升學生的抽象數學素養［3］.

情境2：學習幾何中的線段時，我們往往只關注線段的長度，而忽視了線段端點的秩序性，如線段AB和線段BA表示的是同一線段，但如果用線段表示運動的軌跡，那么表示從A點向B點運動和從B點向A點運動的軌跡時，線段AB和線段BA的意義一樣嗎？

總結：理解線段在表示方向時端點順序代表的方向是不一樣的，這里的線段與三角函數中的有向線段一致.

師：請問哪些要素構成了有向線段.

總結：有向線段包括大小、起點、方向和終點四個要素.

設計意圖 帶領學生了解有向線段的起源，從而知道有向線段的幾何意義，為接下來學習向量的表示做好鋪墊.

師：以上情境中的矢量和有向線段具有哪些共同點？

總結：矢量和有向線段既有大小又有方向，那么在數學中我們將既有大小又有方向的量稱為向量.

設計意圖 在豐富的生活情境中，學生理解向量的定義水到渠成，并能夠初步區分矢量、向量以及有向線段之間的區別與聯系.

3. 問題推導——研究符號表示法

師：現在新的量已經出現了，面對這個新的知識，我們應該先研究什么呢？

生1：需要先研究如何表示向量.

師：很好. 我們是如何表示力的？能不能用這種方式來表示向量呢？

總結：在研究中滲透知識的遷移思想，通過有向線段表示力大家已經知道，那么向量能否采用同樣的方法來表示呢？英國科學家牛頓最早提出了用有向線段表示向量的方法，這就告訴大家研究向量首先需要搞清楚有關有向線段的知識.

情境3：如果從A點向B點延伸的有向線段記為“↑（AB）”，那么請同學們思考以下問題.

問題1：有向線段“↑（AB）”的平移需要具備哪些條件？有哪幾種平移的方法？

總結：平移有不同的距離和方向，因此有無數種可能.

問題2：在平移有向線段“↑（AB）”的過程中，線段上每一點平移后的距離都相等嗎？

總結：理解線段是由點構成的，線段平移也是由點的平移引起的，所以每一點平移后的距離都是相等的，而平移只和移動的方向和距離有關.

問題3：請大家閱讀教材思考，在課本上你能否找出有向線段其他的符號表示形式？

總結：數學家哈密頓和吉布斯等人提出用小寫的希臘字母來表示向量，后來在小寫字母的上方加上箭頭表示方向，印刷流行以后，又采用黑體小寫字母來表示向量.

設計意圖 情境3通過一系列問題引出向量的符號表示形式，激發學生創新向量的符號表示，培養學生的創新意識；再借助教材進一步了解數學文化史，感受數學家們在發現知識過程中的艱辛，體會用符號表示向量的重要性.

4. 深度辨析——區分矢量和向量

師：我們在物理學科中學習過矢量的定義，你覺得矢量和向量有什么不同點呢？

總結：物理中的矢量都是有單位的，不僅有大小、方向，還有位置. 矢量都有實際意義，但是向量只有大小和方向.

設計意圖 在比較辨析中理解向量的本質，逐漸掌握向量的“二重性”.

5. 構建體系——類比中系統歸納

師：0和1是實數中特殊的元素，那么向量中有嗎？

總結：了解向量中的特殊向量——長度為0的零向量和長度為1的單位向量.

師：向量能夠平移嗎？平移后向量改變了嗎？

總結：向量是自由的，平移后不會發生改變，所以今天將向量定義為既有大小又有方向的量.

設計意圖 這一環節進一步研究向量的定義，從向量的發生發展的角度，揭示向量的特性——任意平移不會改變，為接下來研究向量的運算埋下伏筆.

情境4：大型生產車間或工地都有一種起重作業的重要設備（天車），天車可以將物體上下和左右位移. 請問這里的上下位移、左右位移以及實際位移之間是什么關系？

設計意圖 借助實際生活中的事例進行分析，引出向量的運算，為學習平面向量的基本定理打下基礎.

師：我們知道物理中的力可以合成也可以分解，請問向量也能合成和分解嗎？

總結：向量的合成相當于加減，向量的分解就是向量的線性運算，后面還要學習平面向量的基本定理.

設計意圖 通過力的合成和分解的類比，引出將要學習的向量的線性運算.

師：向量既然有加減運算，那么有沒有乘除運算呢？

學生有些猶豫不定.

設計意圖 為后續的拓展研究做好鋪墊.

情境5：暴風驟雨、雷電交加的夜晚，我們都是先看到閃電，后聽到雷聲，這是為什么呢？

設計意圖 選用學生熟悉的生活場景，引出向量的乘除計算.

學生討論交流，教師總結升華. 通過學生概括、教師總結的方式，使學生在數學文化的熏陶中再一次升華對知識的感受，體會數學的魅力.

本課程通過情境的創設、問題串的設計，引導學生一步步探究平面向量的概念、運算和應用，使學生在潛移默化中掌握向量知識，并且從數學史的角度了解向量產生的背景，更加深刻地理解研究向量知識的意義，為核心素養的落實奠定基礎.

參考文獻：

［1］ 曹廣福，張蜀青. 問題驅動的中學數學課堂教學：理論與實踐卷［M］. 北京：清華大學出版社，2018.

［2］ 孫慶華. 向量理論歷史研究［D］. 西北大學，2006.

［3］ 陳志江. 基于“三個理解”的平面向量單元教學構想［J］. 數學通報，2019，58（02）：30-33.