老教材背景下,課標新要求如何落實
——以二次函數的最值要求為例*

印冬建 (江蘇省如皋市教師發展中心 226500)

2022年4月21日,教育部印發了義務教育課程方案和16個學科的課程標準(2022年版)．2022年下半年,各地教育主管部門陸續提出了落實國家新版課程方案和各科課程標準的要求.由于與新版課程方案和課程標準配套的教材尚未上市,各地不可避免地出現了用老教材的教學來落實課標新要求的局面,這給不少一線教師實際教學帶來了困難．那么,在新教材正式投入使用前的這段時間內,我們究竟該如何依托于老教材的教學來落實課標的新要求呢?本文擬結合《義務教育數學課程標準(2022年版)》(下稱《課標2022》)對二次函數教學提出的新要求“會求二次函數的最大值或最小值,并能確定相應自變量的值,能解決相應的實際問題”(說明:為使行文簡潔,下文部分語句中的“最大值或最小值”簡稱為“最值”,該要求稱為二次函數的“最值要求”)的“落地”為例談談筆者的做法,供大家參考．

1 兩版課標中關于二次函數的教學要求對比分析

為了更好地說明筆者落實“最值要求”的合理性,現呈現《義務教育數學課程標準(2011年版)》(下稱《課標2011》)和《課標2022》中關于二次函數的教學內容及要求,并作對比分析．

1.1 課標要求呈現

表1 兩版課標“二次函數”教學要求對照表

1.2 對比分析

與《課標2011》相比,《課標2022》關于二次函數的教學要求發生了不少變化,具體如下．

(1)突出了教學要求的整體性

《課標2022》從二次函數的意義、二次函數的圖象和性質、二次函數的應用、二次函數與一元二次方程的關系等四個方面給出了具體詳實的教學要求．四個方面的要求自成體系又彼此關聯,形成了完整的二次函數教學目標體系,力求通過二次函數局部知能的有效建構達成對二次函數的整體把握和深度理解．例如,“能畫二次函數的圖象”,不像《課標2011》那樣強調“描點法”,“能畫”即可,“描點法”自然是“能畫”的畫法中的一種,但畫法不局限于“描點法”．再如,二次函數的“最值要求”與二次函數圖象的頂點坐標是一定有關聯的,但該要求并不完全依賴于頂點坐標,更沒有像《課標2011》教學要求(3)那樣唯一指向“頂點式”y=a(x-h)2+k,如此表述有助于引導學生深入探究“一般式”y=ax2+bx+c(a≠0)、“交點式”y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)、“頂點式”三種不同形式下的二次函數最值及求法,整體把握二次函數的圖象、性質及其應用路徑．

(2)強化了核心知能的工具性

《課標2022》所列的四條教學要求,進一步強化了二次函數核心知能的工具性．這主要體現在兩個方面:一是二次函數的實際應用．二次函數的“最值要求”明確了二次函數與實際問題的關系,要求學生在“會求”二次函數最值的同時,還要能用它來解決相應的實際問題,其對二次函數的學習經歷了“實際問題→二次函數→實際問題”的認知回路,二次函數自然是學生認識世界和解決現實世界中真實問題的工具．二是二次函數圖象的應用．二次函數的圖象是人們認識二次函數并運用二次函數解決問題的重要工具,《課標2022》提出了“能畫二次函數的圖象”的要求,目標動詞由原來的“會”(即理解)調整為“能”(即掌握),要求提高了一級,這一核心知能的應用自然會擴大范圍,教學難度必然會再攀新高．加之新增的“知道二次函數系數與圖象形狀和對稱軸的關系”,必然會進一步強化數與形的結合,讓二次函數的圖象真正成為解決問題的工具．

(3)重視了學科知能的關聯性

《課標2022》十分重視學科知能的內部關聯．如上文所述的新增要求“知道二次函數系數與圖象形狀和對稱軸的關系”強化了二次函數(“數”)與其圖象形狀、對稱軸(“形”)的關聯．再如,新增要求“知道二次函數和一元二次方程之間的關系”強化了二次函數與一元二次方程的關聯,“最值要求”中的“會求二次函數的最大值或最小值,并能確定相應自變量的值”強化了函數關系中變量之間的關聯．

(4)明確了函數最值的一般性

(5)確保了降低難度的延續性

《課標2022》延續了前面課標修訂中“通過刪減低關聯知識,降低學習難度”的一貫做法,刪去了《課標2011》中提出的“知道給定不共線三點的坐標可以確定一個二次函數”的選學要求,降低了非“學段主線知識”的待定系數法、三元一次方程組等在初中階段的教學要求,讓學段“數與代數”板塊的整體難度隨之下降．

2 老教材的教學現狀分析

2.1 課標新要求分析

在《課標2022》關于二次函數的多個新要求中,“最值要求”最需要關注．細細分析不難發現,相較于《課標2011》而言,該要求并沒有指定二次函數表達式的形式,也沒有說一定要借助于二次函數的圖象.此外,《課標2022》“關于有關行為動詞的分類”中明確,“會”是結果行為動詞“理解”的同義詞,即要達到“描述對象的由來、內涵和特征,闡述此對象與相關對象之間的區別和聯系”．該要求的達成,我們要從四個方面作出努力:一要引導學生理解二次函數的最值的內涵,知道何為二次函數的最值;二要引導學生從數和形兩個角度獲得求二次函數最值的方法,能確定在什么時候(自變量的取值)、什么位置(函數圖象的位置)上能夠取到最值,同時計算出最值的大小;三要引導學生發現二次函數的非常態最值,能解決在自變量不同取值范圍內二次函數最值的確定方法;四要引導學生用二次函數最值及其確定方法解決“相應的實際問題”．

2.2 老教材分析

筆者所在地區目前使用的老教材是人民教育出版社編寫的,其教學內容和教學方法的設計與《課標2011》的要求高度契合．《課標2011》中并沒有提出與二次函數的最值相關的教學要求,因而教材從“22.1.2 二次函數y=ax2的圖象和性質”開始,到“22.1.4 二次函數y=ax2+bx+c的圖象和性質”為止,先后呈現了五種形式的二次函數,分別是y=ax2,y=ax2+k,y=a(x-h)2,y=a(x-h)2+k,y=ax2+bx+c．在每一種形式下,基于其圖象所作出的性質表述近乎一致:圖象的開口方向、對稱軸、頂點坐標,增減性等,并沒有提及“二次函數的最值”,其一般性結論“對于自變量取任意實數的二次函數,可以在其圖象的頂點處取得最值”自然也就不會出現了．

在“22.3 實際問題與二次函數”中,關于二次函數的最值這層“窗戶紙”最終被捅破．這或許與《課標2011》提出的要求(3)中“由此(即“配方得到二次函數表達式y=a(x-h)2+k”)得到二次函數圖象的頂點坐標,說出圖象的開口方向,畫出圖象的對稱軸,并能解決簡單實際問題”有很大關系．二次函數往往與實際問題高度關聯,在“22.3 實際問題與二次函數”中明確指出,“如果其中變量之間可以用二次函數模型來刻畫,我們可以利用它的圖象和性質來解決實際問題”,隨即便結合多個實際問題引導學生理解二次函數的最值及其求法．

2.3 結論

二次函數的最值要求是對二次函數圖象和性質認知的新高度．我們知道,老教材已經給出了較為完整的二次函數圖象和性質的知能體系,其探索歷程歷經多年實踐檢驗被一線教師不斷“固化”．顯然,想要落實二次函數的最值要求,教師就要從內容、流程和方法等角度進一步完善二次函數的教學體系,將與該要求相關的教學資源融入到原有的教學進程之中,推動學生對二次函數的探索再前進一步．

3 教學方案

3.1 長程分布,在不同教學時點上感知

作為二次函數所具有的一條重要性質,“最值”應與二次函數的圖象和性質相伴相生．我們知道,不管是老教材還是新教材,對二次函數的圖象和性質的探索都是貫穿于全章的．《課標2022》對二次函數提出的“最值要求”,同樣并不是指向某一課時的,事實上,這一要求也不可能在某一課時達成,我們應通過單元、學期乃至學段的教學來逐步落實這一要求．因而,落實二次函數的最值要求應是一項長期任務．我們要將對二次函數最值的探索貫穿于二次函數學習的全過程,做到資源有序分布,要求漸進落實,知能反復關聯．在探索不同表達式下的二次函數的圖象和性質之后,都延伸探索二次函數的最值及其求法,引導學生在不同的教學時點上發現“二次函數的最值與自變量取值范圍內函數圖象的最高(低)點緊密關聯”,理解二次函數的最值,會求二次函數的最值,并體會到二次函數的最值在實際問題中的應用價值．

3.2 多點探究,在不同函數形式下理解

老教材中,二次函數較為常見的表達式有“一般式”y=ax2+bx+c(a≠0)、“頂點式”y=a(x-h)2+k、“交點式”y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)等三種．但實際教學中,學生依次探索了y=ax2,y=ax2+k,y=a(x-h)2,y=a(x-h)2+k,y=ax2+bx+c,y=a(x-x1)(x-x2)這六種形式的二次函數的圖象和性質．因此,為了落實“最值要求”,筆者每遇到一種“新”二次函數,都會引導學生在探索二次函數的圖象頂點及增減性的時候,結合列表、描點、連線等圖象建構環節感知二次函數最值的客觀存在．

案例1二次函數y=ax2的圖象和性質.

在學生畫y=x2的圖象并探索其性質的過程中,筆者作多輪次追問,引導學生感知函數的最值．

(1)基于所列表格的追問

二次函數y=x2中自變量x與y的部分對應取值如表2所示．

表2 函數y=x2部分對應取值

問題:從表中列出的自變量x的值和函數y的值,你有什么發現?

學生的發現:x的取值關于0對稱;y的取值關于0對稱;y的值都不小于0;當x<0時,y的值隨著x的值的增大而減小,當x>0時,y的值隨著x的值的增大而增大;當x=0時,y有最小值為0……

(2)基于描點過程的追問

根據表2中x,y的值,在平面直角坐標系中自左向右依次描出點(x,y)(圖1)．

圖1

問題:在自左向右描點的過程中,你有什么發現?

學生的發現:除原點以外的六個點恰好分布在y軸兩側,且兩兩關于y軸對稱;自左向右描點時,點的位置先逐步降低,到原點時位置最低,隨后點的位置逐步上升;所描的七個點中,原點的位置最低……

(3)基于函數圖象的追問

用平滑曲線順次連接圖1中的各個點,得到二次函數y=x2的圖象(圖2)．

圖2

問題:根據所作的二次函數y=x2的圖象,你能得到哪些結論?

學生的發現:圖象關于y軸對稱;在y軸的左側,函數圖象自左向右下降,在y軸的右側,函數圖象自左向右上升;原點是函數圖象的最低點……

(4)基于函數性質的追問

在學生歸納總結出函數y=x2所具有的“圖象開口向上;對稱軸為y軸;頂點為原點;當x<0時,y隨著x的增大而減小,當x>0時,y隨著x的增大而增大”等性質后,筆者進一步追問．

問題:結合列表、描點、連線及探索性質的過程,你還有什么發現?

學生的發現:函數y=x2圖象的最低點是原點,所以當x=0時,y有最小值為0．

案例簡析 為了幫助學生達成二次函數的“最值要求”,教師結合原來的教學進程,將對最值的追問嵌入其中,通過四個不同環節上對量的取值、點的高低、形的走勢的追問,引導學生分別感知數、形間的關系,找尋二次函數y=x2的最值的位置,體會到二次函數y=x2的最值與其圖象和性質的緊密關聯,獲得二次函數y=ax2的最值求法,為學生探索形式更復雜的二次函數的最值積累經驗．

3.3 反復應用,在不同問題情境下鞏固

應用數學知能解決實際問題是發展學生“四能”的核心路徑．二次函數的最值要求包含三個“子要求”:一是會求二次函數的最值,即理解二次函數的最值及其求法;二是能確定相應自變量的值,在求得二次函數最值的同時,還要能確定其對應的自變量的值,讓兩個變量緊密關聯在一起;三是能應用二次函數的最值及其求法“解決相應的實際問題”．顯然,“會求”僅是“最值要求”的低層級要求,“能用”才是其價值所在．因此,落實二次函數的最值要求自然離不開實際問題了．

老教材在“22.3 實際問題與二次函數”之前,與二次函數相關的實際問題是很少見的,更不要說與“最值要求”相關的實際問題了．教材正文部分最早出現的與二次函數相關的實際問題是“22.1.3 二次函數y=a(x-h)2+k的圖象和性質”的例4,在習題22.1、習題22.2中也出現了一些實際問題,但這些實際問題都沒有涉及二次函數的最值．真正能夠用來落實“最值要求”的應是“22.3 實際問題與二次函數”中的“問題”及三則“探究”．筆者以為,數學知能的實際應用是教學難點,想要通過這種“先研究圖象和性質,再研究應用”的編排來實現突破是很難的．因此,我們將這一難點分解到每一個教學時點上加以落實,將二次函數的圖象和性質的教學與二次函數的最值的實際應用“捆綁”在一起,努力呈現多樣化的指向二次函數最值的真實情境,通過與二次函數的圖象和性質由易到難的同步探索,讓學生自始至終感受到二次函數模型是刻畫現實世界和解決現實世界中實際問題的重要模型,更好地體會到二次函數與生活的聯系．

3.4 分層落實,在不同能級要求上生長

“最值要求”是《課標2022》對二次函數提出的新要求．由于沒有現成的配套教材,落實難度自然不小．因此,我們將這一要求細化分解,根據老教材的設計,將這一要求與原課時目標融合在一起形成新的課時目標．在落實“最值要求”的過程中,為了讓學生達成最終的“會”,我們要為每一位學生量身定制課時學習目標,遵循“循序漸進,螺旋上升”的原則,分層多級推進對二次函數最值的認識,努力讓他們積“小會”成“大會”．在教學過程中,我們將最值的求法、最值與函數圖象之間的關系,從最簡單的二次函數表達式開始滲透,將其融入到大量的實際問題的解決過程之中,讓學生理解二次函數最值的一般求法及其應用策略．為此,要根據教材給定的課時內容,將“最值要求”分段分點落實,在不同的時點上根據學情提出不同的探索要求,“小步走,緩坡行”,慢慢推進,讓每一位學生都能在自己的現有水平上認識二次函數的最值,會求二次函數的最值,并用其來解決相應的實際問題．

案例222.3 實際問題與二次函數.

問題:從地面豎直向上拋出一小球,小球的高度h(單位:m)與小球的運動時間t(單位:s)之間的關系式是h=30t-5t2．

(1)(A)當0≤t≤6時,小球的運動時間是多少時,小球最高?小球運動中的最大高度是多少?

(2)(B)當1≤t≤4時,小球的運動時間是多少時,小球最高?最大高度是多少?

(3)(C)當0≤t≤2時,小球的運動時間是多少時,小球最高?最大高度是多少?

(4)(C)當4≤t≤6時,小球的運動時間是多少時,小球最高?最大高度是多少?

(說明:A級題最簡單,C級題最難)

學生活動:根據自己的實際情況選擇一道最難的題目,自主解答．

5分鐘后,教師引導學生按照例題由易到難的順序結合圖3—圖6逐題陳述思路,并逐一展示確定二次函數h=30t-5t2在自變量t給定范圍內取得最大函數值的點(即圖中點P)及求最大值的過程．

圖3 圖4

展示2:如圖4,當1≤t≤4時,函數圖象的頂點為函數圖象的最高點,因此h的最大值為45,即當1≤t≤4時,小球運動到3 s時達到最大高度,最大高度為45 m．

展示3:如圖5,當0≤t≤2時,函數圖象的最高點為(2,40),因此小球運動到2 s時達到最大高度,最大高度為40 m．

圖5 圖6

展示4:如圖6,當4≤t≤6時,函數圖象的最高點為(4,40),因此小球運動到4 s時達到最大高度,最大高度為40 m．

最后,引導學生結合四幅圖象體會四道題目之間的聯系,并歸納:在二次函數的自變量取值范圍內作函數圖象,在其圖象的最高(低)點處,可取得二次函數的最大(小)值,最大(小)值等于該點的縱坐標．

案例簡析 案例2中,四道有著明顯梯度的問題組成一個基于同一情境的題組,學生根據自身認知水平和解題能力作出適切的選擇、解答與交流,避免了在落實二次函數“最值要求”上的“齊步走”,讓每一位學生在自己所能達到的高度上加深對二次函數最值的理解．而解題交流后的歸納小結,將原本差異化的求值方法歸整為“根據圖象確定最值”,較好地呈現了“求給定自變量取值范圍的二次函數最值”的一般方法,將原本分層的問題用統一的策略化解,為所有學生形成滿足自身發展需求的個性化解題策略提供了依據,讓“最值要求”在分層中達標．

4 教學啟示

4.1 研讀比對,厘清課標變化

用老教材來落實課標新要求,自然就要弄清課標到底帶來了哪些新要求．因此,要詳細研讀新舊兩版課程標準,做到“點面”結合,細致入微,從教學理念、教學內容、教學要求、教學方式等方面找尋課標的變化,確定與課時教學緊密關聯的新方向、新要求,從而明晰自己教學的方向,尤其是對一些內容分散、達成時間跨度長、難度較大的新要求,應該更加細致地去分析,找出新舊差異,發現具體變化,然后結合教材合理分解,巧妙落實,確保課標新要求的達成．以本文所述的二次函數的最值要求為例,該要求是基于《課標2011》二次函數教學要求(3)提出的新要求,是對原要求的再提升,需要教師基于二次函數板塊的教學來逐步落實．在看到這一新要求的同時,筆者也注意到相較于《課標2011》,《課標2022》二次函數所提要求中明顯加強了二次函數的圖象的教學,這必然引導一線教師在“最值要求”的落實中,強化函數圖象的作用,突出數、形在解決與二次函數最值相關問題中的作用．這也是筆者開展文中所述教學實踐的主要依據．

4.2 見縫插針,嵌入教材資源

老教材是基于《課標2011》編寫的,有著嚴密的邏輯體系,與學生的認知水平、發展規律緊密吻合,加之近十年的教學實踐,讓教師和學生早已適應了教材的安排．如果沒有新教材的強勢推進,教師想要在短時間內自建教學資源落實課標新要求,難度是很大的．因而,應充分利用原有教材給出的教學資源,見縫插針,通過原有資源的再發展或新資源的巧嵌入,形成落實課標新要求的資源鏈,讓新要求在老教材的教學中逐步落實,形成新舊要求同步“落地”的美好局面．在上面筆者給出的教學方案中,并沒有打亂原有的教材體系,而是將“最值要求”分散落實到了每一個課時的教學中,讓學生通過對不同形式的二次函數最值的反復探索感知二次函數最值的客觀存在,通過每一次二次函數的實際應用理解二次函數的最值與函數圖象的緊密關聯,通過“異中求同”的差異化探索與交流發現二次函數最值的一般求法．整個方案,是基于《課標2022》所提新要求對老教材的二次函數知識體系的完善,在老教材的基礎上讓認知往前再走一步,用教材資源使用的深度提升學生對二次函數認識的高度．

4.3 漸進落實,注重前后一致

杜威說過:“教育是對經驗的重建和重組．”數學教學自然應遵循這一教育規律展開．我們知道,經驗獲得于探究的過程之中,探究的過程越相似,經驗的喚醒與應用也就越容易,其被納入到認知結構的可能性也就越大．因此,無論是編寫教材,還是開展教學,我們都應注重教學情境、教學內容或教學方法的前后一致．人教版數學教材編寫最大的特點就是注重前后一致,我們的教學自然也就要做到前后一致．當我們落實一個新要求時,要特別留意學習方法和學習流程的前后一致,讓學生能夠基于已有的活動經驗展開探究．

以上面的教學方案為例:教師根據教材的安排,緊扣不同的教學時點和不同的函數形式,在學生探索完二次函數的圖象與性質后,進一步探索其最值．每一次探索,內容相同,方法相同,過程相同,結果相近,整個過程循序漸進,螺旋上升,學生在前后近乎一致的過程中展開探索,在由易到難的認知歷程中逐步加深了對二次函數最值的認識．此外,“最值要求”落實的過程中,每一次探索都充分利用數形結合思想展開,讓學生體會到二次函數的最值既可以抓住解析式去計算,也可抓住二次函數的圖象去確定,有時還可以利用所列表格去發現．這樣的教學,充分考慮到學生認知的一致性需求,將固定的套路嵌入到常態課堂中,自然和諧,成效明顯．

4.4 內外關聯,優化認知結構

《課標2022》提出了“設計體現結構化特征的課程內容”[2]2,意圖通過“對教學內容的結構化整合”,讓學生的數學知能主動關聯起來,促進其認知結構的不斷優化與完善．為此,我們的數學教學讓學生能夠在結構中學習,要突出數學知能的內外關聯．我們要強化數學內部的聯系,不斷推動數學核心知能在教學過程中的主動關聯;我們還要重視數學與外部的關聯,強化數學與其他學科、數學與生活的聯系,要努力引導學生跨越數學的邊界,開展跨學科主題探索和基于真實情境的實際應用,落實課標要求,發展學生素養．

關于新課標之下老教材的教學,我們一直在做著嘗試．作為新舊教材的過渡時期,近兩年用老教材落實課標新要求是教學常態．這就需要一線教師發揮自己的教學智慧,在充分研讀課標的基礎上,深入剖析老教材,用好老教材,讓課標新要求下的素養課堂早日在祖國的大地上扎根、開花、結果．