對新編教材中概率主線的一點認識

王世朋 (安徽省合肥市第七中學 230001)

概率是從數量角度研究隨機現象規律性的學科.隨著大數據時代的發展,概率的重要性變得越來越突出,概率素養已經成為一名公民的基本素養[1]．概率單元因理論性較強,加上教師對新增內容的講授缺乏經驗,其教學成為當前高中數學教學的一個難點[2]．人教A版新教材在概率部分改編力度較大,從原本面向應用型概率的教學轉向基于概率知識的產生、發生設計教材,有助于師生真正把握概率研究的對象與問題的本質,探索概率教與學的基本策略和思考方式．作為一名執教者,如何通過系統梳理教材內容的進程來助力高效的教與學,是件有意義的事．

1 隨機現象引出研究對象

一般而言,人們把自然界和人類社會中存在的現象區分為兩類:一類是在一定條件下能預知結果的,稱為確定性現象;另一類是在一定條件下事先不能預知結果的,稱為不確定性現象[3]．因生活中有許多不確定性現象,人類必須面對包含不確定性的問題,并想要盡一切辦法解決這些問題．但是,有些不確定性現象過于復雜、毫無規律,以目前人類的能力還無法認知．于是設法縮小研究范圍,把那些在相同條件下能進行重復觀測且有規律的現象作為研究對象提出[4],進一步,把在一定條件下不能事先預知結果且各個結果都具有頻率穩定性的現象定義為隨機現象．為了增強學生對隨機現象特點的把握、提升數學抽象能力,教材中通過大量的實例來加以說明．例如,通過章引言中給出的從家到學校所需時間的分析,發現所用的時間具有相對穩定的規律;又如,提出從裝有一些白球或紅球的袋子中隨機摸出的球的顏色的規律等都是隨機現象的范疇,讓學生感知研究的必要性．同時,在課本的思考欄目設置了體育彩票搖獎問題,例題中的拋擲一枚硬幣(或兩枚硬幣)、電路通路問題,通過分析都存在結果的不確定性．課后練習的“抽簽取人”和“射擊中靶”同樣具有結果的隨機現象特點．

引出一個概念后,緊接著需要去做基本分類．不難發現隨機現象存在于我們生活的方方面面,如游戲中的隨機現象(拋擲硬幣、拋擲骰子、抽取撲克牌等),生活中的隨機現象(彩票、出生月份、摸球抽簽、上學遲到等)以及實際應用中的隨機現象(隨機抽樣、保險問題、投資理財等)．不斷地體會和理解教材里研究的隨機現象所具有的一些基本特征,如結果有限性、不可預知性和頻率穩定性．事實上,在提出研究對象的過程中,可以利用原有的學習經驗,采用類比策略來引導教學．在確定性現象中有很多問題是學生較為熟知的.譬如做勻速直線運動的物體,只要知道它的初始位置、運動速度,就可計算出它在未來任何時刻所處的位置;又如,只要知道購買一套房子的貸款金額、月利率和貸款期限,就能計算出每個月的還款金額及剩余的欠款等．數學中通過縮小范圍,加以適當的假設處理,最終可抽象出函數模型來解決很多相似的確定性問題．前期積累的活動經驗都是學生們進一步理解隨機現象內涵的抓手和載體,要符合學生的認知起點和特點,讓研究對象的提出自然且合理,激發學生進一步研究的熱情和信心,并由此析出概率的研究范圍問題．

2 隨機試驗生成研究路徑

要實現對隨機現象的研究,最基本的方法就是試驗觀察法,尤其是可重復的多次試驗．例如:從班級隨機選取10位學生來觀察近視的人數、記錄某地區月份的降雨量等,都需要觀察所有的基本結果．由此,自然就引出了新的概念——隨機試驗(即對隨機現象的實現和對它的觀察)．從客觀存在的現象出發,引出研究問題,再給出解決現象規律性研究的路徑,利用隨機試驗來模擬刻畫隨機現象中的統計規律性．一方面,這是數學抽象提升的過程,即從原有的直觀感知走向規律刻畫的數量化,是數學化進程中的重要一步．另一方面,既然通過隨機試驗來實施觀察,也就必然存在多次試驗,尤其是有利于對觀察結果進行分析的重復試驗．結合隨機現象的特征,不難獲知隨機試驗要滿足的三個基本特點:(1)試驗可以在相同條件下重復進行;(2)試驗的所有可能結果是明確的,并且不止一個;(3)每次試驗總是恰好出現這些可能結果中的一個,但事先不能確定出現哪一個結果．在學習體驗上也可以找到類比對象.例如,在必修階段學習函數的零點時,課本給出用二分法研究函數的零點路徑,當精確度要求越高時,近似結果越接近真實零點;實際上,關注隨機試驗觀察結果的原因就是當重復試驗次數越來越多時,結果出現的次數也越來越穩定,從而為分析和決策提供數據支撐和依據．至此,便提出了概率研究的方法是什么．從數學化進程來看,這是數學抽象的第一層級,讓學生明白要研究的問題是隨機現象、研究的方法是通過做多次重復試驗來對結果進行觀察．至于觀察什么類型的結果,如何在實際中加以應用、成為研究一類問題的套路和方法,還需要進一步數學化,形成科學的體系和方法,最終讓學生能加以理解和運用．這實際上是給出了學什么的問題．

3 隨機事件產生研究方法

為了進一步分析隨機試驗結果,教材利用具體實例,從有限結果出發,逐漸產生了“樣本點”“樣本空間”和“有限樣本空間”的概念．一方面,這樣處理是基于必修教材中先學習了統計再學概率．深刻理解統計和概率都是從數量角度研究隨機現象的規律性,不同的是:概率是在總體被假設已知的情況下研究從總體中抽取的樣本的有關問題,采取演繹推理的方式實施;而統計主要是在樣本可以獲得的情況下研究如何從樣本得出關于總體的一些結論,常采用歸納推理方式進行．另一方面,這也是數學概念形成和數學抽象的需要,有助于把試驗結果進行數量化,為后面建立一種新的對應關系提供支撐．

本次新教材對“隨機事件”概念進行了重構.這次重構首先區分了生活中的“隨機事件”與數學世界中的“隨機事件”,避免舊教材中不嚴謹的定義帶來教學上的混亂;其次保證了“隨機事件”定義的科學性;再次,也有利于高中與大學階段學習的有效銜接[5]．由隨機事件概念可以看出,不同的隨機事件就是有限樣本空間對應的不同結果的集合,要研究的目標即是對隨機事件進行數學刻畫．當完成了用集合的語言刻畫隨機現象,也就意味著可以基于集合的關系和運算來研究隨機事件的關系和運算,為概率的定義、性質的研究及概率運算奠定完備的體系和基礎．從知識角度看,隨機事件是數學化研究隨機試驗有限結果的最佳 方案,既能直觀表達試驗結果,也能建立結果間的關系與運算研究．從教材體系看,隨機事件的引入使得隨機現象研究更具體,隨機試驗觀察更有抓手,能達到用數學的方法實現對一般規律性的研究．從教學操作看,教師更加明確了教學的線索:隨機現象→隨機試驗→隨機事件．實現研究問題具體化、研究進程數學化,概率主線明晰．對學生來說,一方面學習變得更具可操作性,明白能做什么、要做什么,另一方面也能增加他們研究不確定性現象的活動經驗,同時與前期學習的一類典型的確定性現象——函數單元的學習體驗相似,可實現方法和路徑的借鑒．至此,就回答了怎么學的問題．

4 隨機變量刻畫研究內容

在必修教材中,引出隨機事件后緊接著研究一類典型的概率類型——古典概型,通過解決實際問題,了解構建概率模型的一般方法,理解概率的意義．之后研究概率的基本性質、事件的相互獨立性和頻率與概率內容．不難看出,必修教材中已經呈現了概率研究的基本全貌,從概念的引入,到性質的研究,再到具體模型的概率計算,呈現完整的研究與學習路徑．考慮到概率是針對隨機事件的數量刻畫,依據事件的關系來做概率運算關系的研究非常有必要,所以在必修中研究了互斥、對立與獨立的關系與運算．考慮到統計與概率的聯系及概率計算類型受限,給出了用模擬的方法來實現概率估算的辦法,豐富學生解決問題的途徑．其一,學生通過概率知識學習,基本實現用概率思維來思考和解決部分實際中的問題,實現用數學的方法研究和解決問題;其二,學習活動的體驗也類似于前面函數的學習,實現數學學習方法的一致性和學習內容的系統性．

選擇性必修中的概率學習,是對必修學習的補充和延伸,是對隨機事件概率計算方法的拓展與一般化,進一步通過引入隨機變量,實現在高觀點下利用數學工具,采用統一的方式,系統、全面地研究離散型隨機變量取值的概率分布及數字 特征,根據頻率穩定到概率的事實,借助誤差數據頻率分布直方圖,建立正態分布模型并解決有關實際問題[6]．其中,隨機變量的引入承擔了非常重要的角色．首先,隨機變量是隨機事件的數學化,是把樣本空間子集對應為一個實數,真正用數量的變化來反映和刻畫結果的不同,實現用數學的方式研究問題．其次,隨機變量能更直觀和簡潔地表達試驗的結果,相比隨機事件更具有一般性,更有利于探究發生概率的規律性．最后,隨機變量是在不確定性現象中研究某個數量指標取值規律的本質刻畫,能實現對隨機現象的分類研究,是統領分布列類型的關鍵變量．當實現了用隨機變量來刻畫隨機試驗結果,即完成了隨機事件的數量化過程,建立起了隨機變量的研究框架和路徑,實現用數學的方法解決實際問題．通過隨機變量刻畫隨機現象來加深理解隨機思想,清晰呈現為什么學的問題．

概率在新教材中貫穿必修和選擇性必修,對學生隨機思想的培養至關重要,是直接運用知識解決實際問題最常見的類型．從教材編寫上看,能較為清晰地體會到數學化進程與數學抽象的幾個階段．第一階段可以理解為用數學眼光來看問題,提出把隨機現象作為概率研究對象．第二階段是概率研究的系統化階段,也是數學抽象的關鍵階段,實現用數學思維來思考、研究和分析隨機現象,引出隨機試驗的方法,借助隨機事件研究試驗結果的策略．通過隨機事件的集合化定義,打好事件關系與概率運算的地基,為復雜事件的概率研究奠定基礎．第三階段可以理解為隨機變量的引入,真正實現用數學變量來刻畫隨機事件,建立與確定性現象研究相似的操作方案,達到用數學的方式實現問題的一般化研究,體現數學語言表達的嚴謹、規范和簡潔．從教學視角看,概率主線的數學化過程實際是提升學生數學抽象素養的很好載體,相對其他主線可能功能更強、意義更廣．其一,在核心概念生成上就是數學抽象素養提升的最好階梯,如用樣本空間表達試驗結果、用集合語言刻畫隨機事件、用隨機變量刻畫隨機事件,通過概念的自然生成和辨析實現抽象素養的提升．其二,在典型例題的分析中給出多種數學圖示輔助進行問題剖析,建立把實際問題轉化為純數學問題的紐帶,通過文字語言圖形化,給出教學中的有效范式．其三,在課后練習題的設置中,考慮到概率問題源于生活,課本上選取關于德、智、體、美、勞的各種素材加以創編或直接選用,用來豐富教學的資源,激發學生的學習興趣,是把實際問題抽象為數學問題的最好實踐方式．教學中教師要充分用好這樣的資源,來提升學生的數學抽象素養和關鍵能力．

總之,在概率教學中,因內容難度大,教師面臨認知困境,需要促進教師研究概率內容與概率教學方法的實踐行動,強化團隊教研的有效指導．又因教學中教師容易“簡化”教學,存在應試傾向的評價困境,需要加大對一線教師的培訓,尤其是教學研討與示范活動,以便提升教師實操能力,讓概率教學的育人力量更強．