基于一維原子鏈對量子固體氦基態的討論

白建會

關鍵詞：量子固體；基態；Lennard-Jones勢

氦是最輕的單原子分子，與其他元素不同，在常壓下，即使溫度降到絕對零度，氦仍然為液態。形成固態氦需要1.00～1.50 K［T（K）=273.15+t（℃）］的低溫，且需2.5 MPa左右的壓強。這是量子效應的直接影響，具體而言，就是系統的零點能太高，不允許原子“凍結”，即固定在格點位置附近，固體氦被稱作“量子固體”。不論是從理論方面還是實驗方面，量子固體氦都是一個有趣且具有挑戰性的研究課題。液體氦可以形成超流體，而超流體可以無摩擦地流動，是一種集體的物質波，原子是非定域化的。本研究基于對稀有氣體雙原子分子和一維原子鏈的分析，對量子固體氦的基態進行討論。

1 稀有氣體雙原子分子存在束縛態的條件

在Born-Oppenheimer近似下，研究分子內部結構，即討論原子核的相對運動，不考慮轉動的情況，求解振動方程，可得到分子的基態。雙原子分子在平衡位置附近振動的Schr?dinger方程如下：

原子核間的有效勢取為Morse勢。一方面，對Morse勢求解Schr?dinger方程有解析解，方便分析問題，與Lennard-Jones勢相比更為簡易；另一方面，Morse勢包括鍵的斷裂，也就是反鍵態的存在，因此比量子諧振子模型更加真實，能描述非諧效應，對于分子振動的細微結構有良好的近似[1]。Morse勢的形式如下：

表1列舉了各種稀有氣體雙原子分子判斷束縛態存在條件的特征量λ的值。對于雙原子Ne分子、Ar分子、Kr分子和Xe分子，λ都大于1/2；He分子的λ略小于1/2，表明通常條件下存在穩定的雙原子Ne分子、Ar分子、Kr分子和Xe分子，但不存在穩定的雙原子He分子。表1數據還表明，元素的質量越大，λ的值越大，所以質量是決定分子行為的一個重要因素。非極性雙原子分子是否存在束縛態不僅與原子的質量有關，還對相互作用勢的寬度和深度有限制，這在某種程度上說明了He的量子特性。

2 一維氦原子鏈的基態

本研究所述He是具有滿殼層結構的惰性氣體元素。除He以外的惰性氣體元素固體是典型的范德瓦爾斯結合。范德瓦爾斯結合是一種瞬時的電偶極矩感應作用，原子間相互作用的有效勢形式通常采用Lennard-Jones勢。對于一般的經典固體，其零點能很小，對結合能的影響自然也很小。所以處理結合問題的方法一般如下：首先，根據內能極小值條件確定晶體的平衡體積，即確定平衡晶格常數，并將相應內能的負值近似為結合能；其次，根據以上確定的平衡晶格常數，由晶格振動理論計算出晶體的零點能，對結合能進行修正。本研究先用這種經典的方法計算各種稀有氣體元素一維原子鏈的結合能W與零點能Ez。

表2列舉了各種稀有氣體元素一維原子鏈的結合能W與零點能Ez，可以看出，質量越小的原子，振動零點能對結合能的修正越重要。采取這種方法的結果是氦原子鏈的零點能比結合能大一倍，顯然這種基態分析方法不適用于量子固體氦。

為了找到對量子固體氦基態的合理解釋，本研究在晶化假設的前提下分析原子間相互作用勢的性質。只考慮最近鄰原子間的相互作用，不同晶格常數對應的一個原子受到的相互作用勢能如圖1所示。其中，橫坐標r表示這個原子與左邊近鄰原子的距離。兩個4He原子間相互作用的平衡距離re為2.869 ?，姑且將晶化假設下近鄰原子間距離定義為“晶格常數”，記為A。當A逐漸增大時，第n個原子受到的作用勢能逐漸由對稱的“單阱”變為對稱的“雙阱”，且“雙阱”的相對深度（阱底極小值與兩阱間極大值之差）逐漸增大。

表3中面心立方結構的固體氦的近鄰原子間距離A是根據不同溫度壓強下固體的密度估算出來的。由表3數據可以看出，實驗中得到的4He固體的近鄰原子距離A在3.500～3.700 ?，本研究得到的一維4He原子鏈的近鄰原子距離A為3.670 ?。

3 結語

在Morse勢模型下，雙原子分子振動的Schr?dinger方程有嚴格解，但雙原子分子存在束縛態是有條件的，對原子的質量、勢能的阱深和阱寬有一定的限制條件。通過對稀有氣體雙原子分子的分析，Ne、Ar、Kr、Xe雙原子分子都存在束縛態，但He恰好不存在。通過與半無限深勢阱中的粒子對比，定義了Morse勢的有效寬度。

本研究采用Lennard-Jones勢模型分析了一維4He原子鏈的基態，在晶化假設下直接計算原子鏈的結合能，根據不確定性原理估算零點能修正，得到了一維固體4He的基態能量和晶格常數。利用不確定性原理估算零點能，關鍵是對原子的振動范圍，即位置上的不確定度的估算。只有當原子鏈的近鄰原子距離在適當范圍內，原子受到的相互作用勢能才是圖2中的“平滑”雙阱，也就是兩阱底中間的勢壘比較淺，此時才有。形成固態氦需要1.00～1.50 K的低溫，并且要2.5 MPa左右的壓強。壓強的作用就是壓縮原子間距離，使原子間近的鄰距離由液態時的特征范圍減小到固態時的特征范圍，使氦原子受到的相互作用勢能為“平滑”的雙阱或多阱，固態下的氦原子振動范圍比經典固體原子大得多，具有明顯的量子特性。