基于一維原子鏈對(duì)量子固體氦基態(tài)的討論

白建會(huì)

關(guān)鍵詞：量子固體；基態(tài)；Lennard-Jones勢(shì)

氦是最輕的單原子分子，與其他元素不同，在常壓下，即使溫度降到絕對(duì)零度，氦仍然為液態(tài)。形成固態(tài)氦需要1.00～1.50 K［T（K）=273.15+t（℃）］的低溫，且需2.5 MPa左右的壓強(qiáng)。這是量子效應(yīng)的直接影響，具體而言，就是系統(tǒng)的零點(diǎn)能太高，不允許原子“凍結(jié)”，即固定在格點(diǎn)位置附近，固體氦被稱作“量子固體”。不論是從理論方面還是實(shí)驗(yàn)方面，量子固體氦都是一個(gè)有趣且具有挑戰(zhàn)性的研究課題。液體氦可以形成超流體，而超流體可以無摩擦地流動(dòng)，是一種集體的物質(zhì)波，原子是非定域化的。本研究基于對(duì)稀有氣體雙原子分子和一維原子鏈的分析，對(duì)量子固體氦的基態(tài)進(jìn)行討論。

1 稀有氣體雙原子分子存在束縛態(tài)的條件

在Born-Oppenheimer近似下，研究分子內(nèi)部結(jié)構(gòu)，即討論原子核的相對(duì)運(yùn)動(dòng)，不考慮轉(zhuǎn)動(dòng)的情況，求解振動(dòng)方程，可得到分子的基態(tài)。雙原子分子在平衡位置附近振動(dòng)的Schr?dinger方程如下：

原子核間的有效勢(shì)取為Morse勢(shì)。一方面，對(duì)Morse勢(shì)求解Schr?dinger方程有解析解，方便分析問題，與Lennard-Jones勢(shì)相比更為簡(jiǎn)易；另一方面，Morse勢(shì)包括鍵的斷裂，也就是反鍵態(tài)的存在，因此比量子諧振子模型更加真實(shí)，能描述非諧效應(yīng)，對(duì)于分子振動(dòng)的細(xì)微結(jié)構(gòu)有良好的近似[1]。Morse勢(shì)的形式如下：

表1列舉了各種稀有氣體雙原子分子判斷束縛態(tài)存在條件的特征量λ的值。對(duì)于雙原子Ne分子、Ar分子、Kr分子和Xe分子，λ都大于1/2；He分子的λ略小于1/2，表明通常條件下存在穩(wěn)定的雙原子Ne分子、Ar分子、Kr分子和Xe分子，但不存在穩(wěn)定的雙原子He分子。表1數(shù)據(jù)還表明，元素的質(zhì)量越大，λ的值越大，所以質(zhì)量是決定分子行為的一個(gè)重要因素。非極性雙原子分子是否存在束縛態(tài)不僅與原子的質(zhì)量有關(guān)，還對(duì)相互作用勢(shì)的寬度和深度有限制，這在某種程度上說明了He的量子特性。

2 一維氦原子鏈的基態(tài)

本研究所述He是具有滿殼層結(jié)構(gòu)的惰性氣體元素。除He以外的惰性氣體元素固體是典型的范德瓦爾斯結(jié)合。范德瓦爾斯結(jié)合是一種瞬時(shí)的電偶極矩感應(yīng)作用，原子間相互作用的有效勢(shì)形式通常采用Lennard-Jones勢(shì)。對(duì)于一般的經(jīng)典固體，其零點(diǎn)能很小，對(duì)結(jié)合能的影響自然也很小。所以處理結(jié)合問題的方法一般如下：首先，根據(jù)內(nèi)能極小值條件確定晶體的平衡體積，即確定平衡晶格常數(shù)，并將相應(yīng)內(nèi)能的負(fù)值近似為結(jié)合能；其次，根據(jù)以上確定的平衡晶格常數(shù)，由晶格振動(dòng)理論計(jì)算出晶體的零點(diǎn)能，對(duì)結(jié)合能進(jìn)行修正。本研究先用這種經(jīng)典的方法計(jì)算各種稀有氣體元素一維原子鏈的結(jié)合能W與零點(diǎn)能Ez。

表2列舉了各種稀有氣體元素一維原子鏈的結(jié)合能W與零點(diǎn)能Ez，可以看出，質(zhì)量越小的原子，振動(dòng)零點(diǎn)能對(duì)結(jié)合能的修正越重要。采取這種方法的結(jié)果是氦原子鏈的零點(diǎn)能比結(jié)合能大一倍，顯然這種基態(tài)分析方法不適用于量子固體氦。

為了找到對(duì)量子固體氦基態(tài)的合理解釋，本研究在晶化假設(shè)的前提下分析原子間相互作用勢(shì)的性質(zhì)。只考慮最近鄰原子間的相互作用，不同晶格常數(shù)對(duì)應(yīng)的一個(gè)原子受到的相互作用勢(shì)能如圖1所示。其中，橫坐標(biāo)r表示這個(gè)原子與左邊近鄰原子的距離。兩個(gè)4He原子間相互作用的平衡距離re為2.869 ?，姑且將晶化假設(shè)下近鄰原子間距離定義為“晶格常數(shù)”，記為A。當(dāng)A逐漸增大時(shí)，第n個(gè)原子受到的作用勢(shì)能逐漸由對(duì)稱的“單阱”變?yōu)閷?duì)稱的“雙阱”，且“雙阱”的相對(duì)深度（阱底極小值與兩阱間極大值之差）逐漸增大。

表3中面心立方結(jié)構(gòu)的固體氦的近鄰原子間距離A是根據(jù)不同溫度壓強(qiáng)下固體的密度估算出來的。由表3數(shù)據(jù)可以看出，實(shí)驗(yàn)中得到的4He固體的近鄰原子距離A在3.500～3.700 ?，本研究得到的一維4He原子鏈的近鄰原子距離A為3.670 ?。

3 結(jié)語

在Morse勢(shì)模型下，雙原子分子振動(dòng)的Schr?dinger方程有嚴(yán)格解，但雙原子分子存在束縛態(tài)是有條件的，對(duì)原子的質(zhì)量、勢(shì)能的阱深和阱寬有一定的限制條件。通過對(duì)稀有氣體雙原子分子的分析，Ne、Ar、Kr、Xe雙原子分子都存在束縛態(tài)，但He恰好不存在。通過與半無限深勢(shì)阱中的粒子對(duì)比，定義了Morse勢(shì)的有效寬度。

本研究采用Lennard-Jones勢(shì)模型分析了一維4He原子鏈的基態(tài)，在晶化假設(shè)下直接計(jì)算原子鏈的結(jié)合能，根據(jù)不確定性原理估算零點(diǎn)能修正，得到了一維固體4He的基態(tài)能量和晶格常數(shù)。利用不確定性原理估算零點(diǎn)能，關(guān)鍵是對(duì)原子的振動(dòng)范圍，即位置上的不確定度的估算。只有當(dāng)原子鏈的近鄰原子距離在適當(dāng)范圍內(nèi)，原子受到的相互作用勢(shì)能才是圖2中的“平滑”雙阱，也就是兩阱底中間的勢(shì)壘比較淺，此時(shí)才有。形成固態(tài)氦需要1.00～1.50 K的低溫，并且要2.5 MPa左右的壓強(qiáng)。壓強(qiáng)的作用就是壓縮原子間距離，使原子間近的鄰距離由液態(tài)時(shí)的特征范圍減小到固態(tài)時(shí)的特征范圍，使氦原子受到的相互作用勢(shì)能為“平滑”的雙阱或多阱，固態(tài)下的氦原子振動(dòng)范圍比經(jīng)典固體原子大得多，具有明顯的量子特性。