基于FEM 與ESFEM 耦合算法的彈性空腔聲振特性優化設計

文潤旭，袁麗蕓，潘 鶴，王林波，韓小曼

（1.中國航發貴州紅林航空動力控制科技有限公司 產品設計所，貴州 貴陽 550002；2.廣西科技大學 機械與汽車工程學院，廣西 柳州 545006；3.空軍裝備部成都局駐貴陽地區第二軍事代表室，貴州 貴陽 550002）

0 引言

傳統有限元法具有計算精度不高、收斂性較差、“過硬”等的現象，因此，國內外研究人員對該領域進行了深入研究，Liu[1-2]對傳統有限元法中的應變矩陣進行了平滑梯度運算，從而避免了傳統有限元法的局限性，建立了一種計算精度較高的數值方法是光滑有限元法。Li 等[3]針對結構-聲學耦合模型聲振特性模型，用光滑有限元法建立結構-聲學耦合模型，并且通過數值算例，光滑有限元法比有限元法精度更高，具有對有限元“過硬”情況軟化的效果。柴應彬[4]把光滑有限元法推廣應用到船舶聲固耦合聲振分析中，與有限元法相比，光滑有限元表現出較高精確性。劉嘉明[5]基于FEM/ESFEM 耦合建立簡單矩形聲振模型，通過數值算例證明了此方法的正確性，并有較好的耦合性，以上可得出：彈性空腔應用ESFEM 建立聲場域能夠軟化剛度矩陣，并且具有較高的計算精度，應用性較好。

Albadr[6]提出了基于自然選擇理論的遺傳算法，與傳統遺傳算法相比，有較好的搜索性能，應用不廣泛。陶猛[7]使用遺傳算法對圓柱空腔敷設吸聲材料的參數進行優化研究，優化后可得吸聲材料有較好的吸聲性能。陳文炯[8]建立空腔吸聲覆蓋層優化模型，討論了材料參數對覆蓋層吸聲性能影響，基于遺傳算法搜索最優化參數，提高覆蓋層的吸聲性能。高處[9]研究船舶艙室聲學優化問題，基于遺傳算法對船舶艙室敷設基體材料、吸聲材料、阻尼材料的組合優化設計，得出了降噪材料最優布置，完成預定的降噪效果。

綜上，遺傳算法在敷設吸聲材料的各種空腔聲學優化中，有較高的準確性，搜索最優結果效率高，魯棒性較強。因此，本文對吸聲材料的敷設方式優化，采用穩定性較好的遺傳算法。

1 彈性空腔聲振特性優化模型

1.1 彈性空腔FEM/ESFEM 聲振耦合模型

彈性空腔結構是由彈性梁與聲場域構成。先針對彈性梁結構采用有限元方法建立動力學方程，彈性層采用兩節點兩自由度的梁單元構造插值函數，然后應用變分原理，對梁單元集成，得出彈性梁的運動控制方程：

式中，Kb為梁結構的剛度矩陣，Mb為梁結構的質量矩陣，ub為位移向量，Fb為外激勵向量，Ffb為聲壓耦合力。

結合二維聲場整體的光滑剛度矩陣Kf，并利用節點聲壓變分δP的任意性，可以得到二維聲場域光滑有限元動力學方程：

式中，Kf為二維聲場光滑剛度矩陣，Mf為二維聲場質量矩陣，Cf為吸聲材料邊界處產生的阻尼矩陣，Ff為二維空腔在邊界處的振動所引起的激勵力向量。

結合式（1）和（2），可獲得彈性空腔FEM/ESFEM聲振耦合運動控制方程：

式中ρω2HTu耦合力

FEM/ESFEM 耦合算法的二維彈性空腔系統方程采用MTALAB 軟件進行編程求解，為了直接有效的評價復雜彈性空腔內部某一點的聲學性能，計算出的最大n個聲壓級（后文將具體闡述n的合理取值），再取平均值，定義為平均聲壓級為：

1.2 基于遺傳算法的彈性空腔聲振特性優化模型

針對本研究的模型進行聲振特性研究，分析彈性空腔內部某一參考點的聲壓級隨吸聲材料敷設方式變化的最優解，選取設計變量為可敷設吸聲材料位置處的單元“生死”判斷變量為設計變量，將敷設吸聲材料的復雜彈性空腔聲學優化模型描述如下：

其中，X為設計向量，表示吸聲材料在彈性空腔上可敷設吸聲材料處單元的生死變量；n為該類單元總數；ASPL表示為優化目標函數，即一定頻率范圍內，復雜彈性空腔內部聲壓級頻響曲線中最大的k個峰值的平均值，用來評價彈性空腔某一參考點的聲壓水平。

針對（5）式給出的優化模型，采用遺傳算法。其編碼為：初始種群設計，適應度計算，遺傳操作（包括選擇、交叉、變異）逐一解釋說明。

（1）個體編碼：擬用應用性較好的二進制編碼對本文吸聲材料在彈性空腔上的位置上是否敷設情況進行表示，即符號0 代表不敷設吸聲材料，符號1 代表敷設吸聲材料。若有n個可敷設單元，則個體編碼長度為n，每個個體均由n個長度為1 的二進制編碼構成。

（2）初始群體的產生：表示起始搜索點的初始群體。即（5）式中設計變量X的選擇，為了后文遺傳算法的進行，需選擇M個初始變量構成種群，其中這M個初始變量可根據不同敷設方式隨意選取。后續算例中，為了遺傳算法的簡單實施，我們選擇M= 4。

（3）計算適應度：遺傳算法中將以適應度值的大小評價個體優劣程度。針對上一步驟選取種群，我們采用公式（5）分別計算M個種群個體的聲壓級函數（ASPLi），作為適應度相關函數，用以評判不同種群的適應度，ASPLi越小，其適應能力越強。

（4）選擇運算：選擇的目的是按照一定的評判標準將適應能力強的個體遺傳到下一代。一般要求適應度較高的個體將有更多的機會遺傳到下一代群體中。本文中，由于要求ASPLi越小個體適應能力越強，這跟常用的遺傳算法要求適應度函數越高適應能力越強有所不同。在通用的遺傳算法中，直接采用適應度函數在所有個體適應度函數的總和中所占比例，來計算其適應度。這里，每個個體的適應度我們采用式（6）進行計算：

這樣，可以使得所有個體的適應度總和為1，而且ASPLi越小其適應度pi越大，滿足選擇需求，從而實現選擇，其具體操作過程是：

1）計算出種群中所有個體的ASPLi（i= 1.2，…，M）；

2）計算出每個個體的適應度大小pi，作為它被遺傳到下一代種群中的概率；

3）每個概率值組成一個區域，全部pi之和為1；

4）進行（M-1）次隨機運算，生成一個0 到1 之間的數，采用輪盤賭方式，依據該隨機數出現在上述哪一個概率區域內來確定各個個體被選中的次數，從而選擇性能較優的個體進行保留，性能不佳的個體進行剔除，然后進行后續交叉運算。

（5）交叉運算：交叉操作是從種群中隨機選擇的兩個個體進行交換重組，產生優秀的個體，采用應用最為廣泛、便于理解的是單點交叉。

（6）變異運算：變異的種類較多，本研究采用二進制編碼，運用單點變異稱位點變異，通過位點變異之后，產生的新一個個體就會出現0 變為1、相反1 變為0。

基于遺傳算法的彈性空腔聲學振動優化過程，設計了遺傳算法的機理圖，如圖1 所示。

圖1 遺傳算法機理圖

2 數值算例

2.1 某汽車駕駛室FEM/ESFEM 聲振耦合分析

使用彈性梁有限元法建模、聲腔域光滑有限元法建模，根據（3）式得出FEM/ESFEM 耦合算法的二維復雜彈性空腔的運動學控制方程，采用MATLAB 軟件編程實現復雜彈性空腔的聲振特性分析再進行新耦合方式合理性驗證。以某汽車駕駛室空腔（圖2）作為具體的算例來分析該類彈性空腔的聲振耦合特性。汽車駕駛室空腔尺寸參數不變，底盤視為彈性梁，彈性梁的厚度為hb= 0.003 mm、彈性模量為Eb=20.6 × 1010Pa、泊松比為ub= 0.3、密度為ρb= 7800 kg/m3，假定流體域為空氣，即密度為ρ= 1.29 kg/m3，聲速為c= 340 m/s 對此進行分析的FEM/ESFEM 耦合算法的二維駕駛室空腔模態見表1。

表1 FEM/ESFEM 耦合算法的二維駕駛室空腔前二十階固有頻率對比

圖2 某汽車二維駕駛室空腔示意圖

從表1 中可知，針對二維駕駛室聲固耦合模型分析得出的前二十階固有頻率結果，分析可得，本文方法和網格背景下的ANSYS 所得固有頻率結果與參考解都比較相近，固有頻率誤差值都小于3%，符合誤差要求，基于同一種網格的三種計算結果相對于參考解而言，在1～14 階頻率處精度不相上下，說明了本文使用的耦合算法具有正確性；本文方法誤差值小于ANSYS 和FEM 值，進一步得出了ESFEM 方法比傳統有限元法精度高。從15 階頻率結果開始，可以明顯看出，ESFEM 方法所得固有頻率結果更接近精細網格所得參考解。說明ESFEM 方法即是在處理耦合問題方面，也比通常有限元法精度高。而聲固耦合問題中，FEM 法由于采用低階形函數插值，很難在高頻問題中得到精確的解，在本文中可以采用ESFEM 方法，得到一定程度的彌補。

2.2 某汽車駕駛室空腔聲振特性優化分析

上一節汽車駕駛室空腔聲振特性分析數值算例驗證了FEM/ESFEM 耦合算法的正確性。針對汽車駕駛室空腔內部的噪聲問題，采取在駕駛室空腔頂蓋處敷設吸聲材料進行減振降噪處理，但為了減少吸聲材料的使用量和制造成本，通過MATLAB 編程實現遺傳算法對吸聲材料最優布局的設計，自動搜索出了聲壓級的最優解。

根據圖2 并結合底盤的材料屬性為鋁材，鋁材的彈性模量為Ea= 8 × 1010Pa、泊松比為ua= 0.35、密度為ρ= 2700 kg/m3，頂蓋處全敷設吸聲材料，擋風玻璃處和其他部分進行剛性化處理，并且在發動機正下方邊界處施加法向振動速度vn= 0.001 m/s?？紤]吸聲材料的位置布局設計進行優化，通過設置30 個吸聲材料單元的死活來表示是否敷設，其敷設吸聲材料為活單位表示為1，未敷設吸聲材料為死單位表示為0，設定駕駛室員耳旁聲壓級最小值為目標函數，以遺傳算法進行聲壓級最優值搜索，初始種群取4 個。考慮本文采用算例，我們通過迭代80 次，花費時間28 h，繪制出如圖3 遺傳進化曲線。

圖3 80 代的遺傳進化曲線

由圖3 可以得出，經過遺傳進化次數為50 代時，ASPL 逐漸收斂，當種群接近80 代時，最小目標函數值已經收斂。因此我們選擇第80 代的結果作為最優解。與初始種群對比，目標函數值ASPL 從初始種群中最小個體適應度函數值112.7dB 下降到110.6 dB以下；其中優化種群個體1 的ASPL 為108.54 dB、個體2 的ASPL 為109.77 dB、個體3 的ASPL 為110.61 dB，個體4 由于性能相對這三個個體而言較差，這里略去不表述。

圖4 給出第80 代的最終3 個選擇保留個體的SPL 頻譜曲線，通過相互對比可知，個體1 在0 ～1000 Hz 頻段內的整體減振降噪效果最佳，其ASPL值也為最低。

圖4 80 代的最優種群

針對初始種群設定計算出的聲壓級為優化前，并且與遺傳搜索出來的種群優化個體1 獲得的聲壓級為優化后進行比較，如圖5 所示，優化后的ASPL 值降低了1.97 dB。在頂蓋處吸聲材料全敷設的情況下獲得聲壓級曲線與優化后的聲壓級曲線相比，全敷設和優化后的曲線變化趨勢基本一致，ASPL 值降低了0.35 dB，并且全敷設為30 個活單元，個體1 為21 個活單元，其具體敷設方式如圖6 所示。從單元吸聲材料使用數量上來看，降低為9 個敷設單元；全敷設和優化后的聲壓級曲線對比，如圖7 所示，曲線變化趨勢基本相似，相對于全敷設ASPL 值，優化后的ASPL值降低了0.35 dB。經過遺傳算法對吸聲材料位置布局優化設計后，聲壓級得以下降，吸聲材料的使用量下降，具有良好的降噪效果，制造成本降低。

圖5 優化前后駕駛室耳旁聲壓級曲線對比

圖6 吸聲材料的最優布局

圖7 全敷設與優化后聲壓級曲線對比

3 結語

采用耦合性能較好，計算精度較高的FEM/ESFEM 法建立彈性空腔聲振特性模型，再進一步考慮提高彈性空腔的減振降噪性能和敷設吸聲材料的使用量，利用收斂性強，搜索速度快的遺傳算法對吸聲材料的布局進行優化。通過二維駕駛室空腔數值算例分析得出以下結論。

（1）仿真分析彈性空腔FEM/ESFEM 聲振耦合模型，計算精度較高、耦合性能較好。

（2）通過遺傳算法優化出二維汽車駕駛室空腔頂蓋處吸聲材料最優布局，減振降噪效果明顯，吸聲材料使用量降低。