設計縱向進階問題 循序發展幾何直觀
——整體視角下幾何直觀的練習設計和評價研究

文|徐 彬

《義務教育數學課程標準（2022 年版）》指出，要立足學生核心素養的發展。幾何直觀是小學階段11個核心素養之一，主要是指運用圖表描述和分析問題的意識與習慣。小學生的思維處于直觀思維逐步向抽象思維發展階段，在解決問題中，幾何直觀能把復雜的文字和難以理解的等量關系借助實物、圖形、符號和模型等清楚地表示出來，使學生對于式的理解不僅僅停留在記憶階段，能很好的讓思維可視化，幫助學生理解條件、分析等量關系和解決問題，因此在解決問題中能有效地培養學生的幾何直觀素養，反之幾何直觀素養的發展又能有效幫助學生解決問題。

一、“幾何直觀”素養在解決問題中的現狀分析

教師在解決問題中對幾何直觀素養的認識

在解決問題中，幾何直觀素養有著重要的意義和價值，那么教師和學生又是如何理解的？筆者對杭州市上城區城東片區幾所小學的36 名數學教師和270余名學生進行了問卷調查。

教學活動重局部，缺乏整體進階培養幾何直觀的視角。在人教版教材12 冊書中，均有涉及到指向核心素養幾何直觀培養的解決問題，調查中發現，有52.8%的教師沒有系統地梳理相關內容，只是零散地開展教學活動，導致學生幾何直觀素養發展的缺位、不到位或越位。

練習設計重知識，缺少挖掘幾何直觀培養的練習設計。在教學中關注“教—學—評”的一致，但訪談中58%的教師表示，很難自主去編寫、設計相關練習。

解決問題重結果，缺失關注培養幾何直觀的意識方法。學生在解決復雜問題時，無法正確表征出條件和問題，理清等量關系，導致問題無法解決。究其原因是認為幾何直觀只有在圖形與幾何領域才要重點培養，只關注算式、計算結果的正確，忽略學生畫圖、利用圖來分析問題的能力培養，缺乏幾何直觀素養培養的意識方法。

學生在解決問題中對幾何直觀素養的應用

二、“幾何直觀”素養在解決問題中的進階框架和對應練習

課程內容《數與代數》中明確要求：第一學段（1—2 年級）能在解決問題的過程中，解釋計算結果的實際意義，感悟數學與現實世界的關聯，形成初步的幾何直觀和應用意識；第二學段（3—4 年級）能在真實情境中，發現常見數量關系，形成初步的幾何直觀和應用意識；第三學段（5—6 年級）能解決較復雜的真實問題，形成幾何直觀，提高解決問題的能力。可見在解決問題中，對于不同學段的學生有著不同層次的要求，從解決簡單問題——真實情境——解決復雜的真實問題，相對應的幾何直觀能力要求也各有不同。

根據幾何直觀物化特征表現形式——實物直觀、圖形直觀、符號直觀和模型直觀，將幾何直觀素養在小學階段解決問題中培養分成4 個階段，通過每個階段經歷識圖、畫圖、分析圖和利用圖解決問題的過程，培養幾何直觀各有側重，卻又形成一個整體，使學生在小學階段解決問題中幾何直觀素養能得到有效發展，并設計出相關的典型評價練習。

1.實物直觀，樹立幾何直觀意識

小學一二年級階段，學生是以直觀形象思維為主，在他們的認知中數和圖形是兩塊不同的內容，不能很好地感知數與形之間的關系，在解決問題中如只是單純的通過死記硬背，通過式的角度去理解，求一共用加法，求一部分用減，求一個數比另一個數多多少用多的數減少的數等，則不利于學生分析和建構等量關系，不利于學生的數學思維發展。因此在一二年級，可采取實際物體和替代物，來幫助學生建立數與形之間的聯系，感知實物圖形能幫助分析和解決問題，使學生感受到以形助數的優勢，初步樹立幾何直觀的意識。

【進階設計練習一，改編】有22 個同學要代表筧橋小學參加區中小學生田徑運動會，排成一列，小明排在第8 個，小紅排在第17 個，請問小明和小紅之間有幾人？

素養分析：通過解決排隊之間有幾人的問題，深化學生對數序、基數和序數的認識，理解畫實物圖或示意圖是幫助理解題意的重要手段，積累畫圖解決問題的經驗，并能通過圖去解釋算式為什么要減1，指向核心素養數感和幾何直觀的培養。

教學建議：排隊問題的原題是在一年級上冊第六單元《11～20 各數的認識》單元，本練習是放在一年級下冊第二單元《20 以內的退位減法》練習中，放在真實情境中，增加多余信息，并出現退位減法。其目的是豐富學生對減法的意義理解，將圖和式進行聯系。在練習反饋時既可以讓薄弱的學生通過畫簡筆畫人的方式去進行分析，也可以呈現用畫圓或三角形代替學生的方式表征信息進行分析，同時教師可以把兩者之間進行對比，讓學生明晰不管是實物還是替代物都能很好的幫助分析問題，并根據分析理解17-8-1 的意義，而且替代物比實物畫起來更簡單。在簡單問題的解決過程中，學生感受到形和數的對應關系，實物或替代物的形能有效地幫助分析解決問題。

2.圖形直觀，積累幾何直觀經驗

小學二至四年級階段，學生思維從直觀形象逐漸向抽象過度，在解決問題中數據逐漸變大、數量關系逐漸變復雜，鼓勵學生在解決問題時用幾何直觀的方式表征出來，積累畫圖的活動經驗，并在討論、比較和完善圖的過程中，逐漸掌握用線段圖、條形圖等圖形來把文字信息表示出來，用圖形之間的關系表示出條件和問題之間的關系，從而更直觀的解決問題。

【進階設計練習二，原創】三個同學比一比2022年閱讀書籍的多少，小紅說我比小明少看8 本，小秋說我比小紅多看13 本，小明說我看了53 本。你能說一說：（1）53-8 解決的問題是什么？（2）13-8 解決的問題是什么？

素養分析：求比一個數多幾或少幾的數，是將加、減法的意義擴展，放在解決實際問題的真實情境中。本題是三位同學閱讀書籍數量的比較，通過式去思考能解決什么問題，第（1）題是在不同情境下對教材中求比一個數少幾的鞏固，第（2）題涉及到3 個量之間的比較，通過圖的支撐，能讓學生有效的去進行分析3 個量之間的關系，13-8 能解決的是小明比小秋少看幾本或小秋比小明多看幾本。指向數感、幾何直觀和應用意識的培養。

教學建議：本練習建議放在練習課中使用，在前一階段學生已經感受到實物、替代物表征信息的優勢，有幾何直觀表征信息的意識。該練習的使用，一是由于數據相對較大，如還是用實物或替代物表征，很難畫全，表征出來后也無法直觀對比，感知它們之間的等量關系；二是從兩個量的比較，逐漸向3 個量的比較過度，既能更好的體會幾何直觀表征信息和分析問題在解決問題中的優越性，如果不畫圖“13-8”能解決什么問題較難理解，還能積累學生解決復雜問題畫圖能力和經驗，從有意識畫圖到逐漸學會畫圖，為第三學段的幾何直觀的培養做好銜接。

3.符號直觀，培養幾何直觀能力

小學進入第三學段，學生抽象思維程度逐漸提高，在遇到還有未知數等復雜問題時，通過實物和圖形的直觀還不能簡潔的表達，就需要在相似屬性的基礎上用符號來加以表征，這對于學生的幾何直觀素養又是一個新的飛躍。

【進階設計練習三，改編】一件衣服10 月銷售淡季的時候價格比9 月跌了20%，11 月進入銷售淡季比10 月份又漲了20%，11 月份的價格和9 月比是漲了還是降了？

素養分析：在解決漲了還是降了的問題中，滲透假設法、代入法、抽象等數學思想方法，通過畫圖和符號表征，理解、分析和解決“求比一個數多（或少）百分之幾的數是多少”，在解決問題的過程中，培養核心素養數感、幾何直觀和應用意識。

學情分析：學生在嘗試解決的過程中分成五個水平層次。

第一層次學生是覺得是無法解決，缺少9 月份的價格。

第二層次會使用假設法，假設9 月份的衣服價格是100 元或1000 元等，通過100×（1-20%）=80（元），80×（1+20%）=96（元），是比原來降了。

第三層次使用畫圖直觀表征，通過畫圖感知10月份是9 月份的80%，11 月漲20%，是以10 月份為標準量增加10 月份的20%，比較發現是降了。

第四層次提出把9 月份的價格假設成抽象的單位“1”，10 月份的價格是1×(1-20%)=0.8，11 月份的價格是0.8×（1+20%）=0.96。

第五層次的學生把9 月份的價格假設為a元，10月份價格是0.8a，11 月份價格是0.96a，和原來a相比，降了0.04a元。

教學建議：本題是《百分數》單元例4 的改編，可以在新授課的練習中使用。例題教學是先漲后跌，變式是先跌后漲，即讓學生能鞏固、應用例題教學掌握的假設9 月份的價格、畫圖分析、假設單位1 和用字母a表示等方法解決問題，積累問題解決經驗，也能通過和例題的比較，感受先漲后跌和先跌后漲是一樣的，因為漲的時候單位1 是小的數，而跌的時候單位1 是大的數，用字母表示就是a×（1-20%）×（1+20%）=a×（1+20%）×（1-20%）。

4.模型直觀，發展幾何直觀素養

在解決問題中會有各種不同的情境，但很多情境所抽象出的圖形和數學模型是一致的。如解決植樹問題時，植樹問題、爬樓問題和鋸木頭等問題，所用的數學模型是相同的。在學生直觀素養發展到一定程度以后，就能通過比較、抽象，將一類問題用一種模型去直觀表征。

【進階設計練習四，原創】在學習用方程解決問題中，設計題組練習（1）小明和小王繞400 米的操場跑道散步，兩人背向而行，小明每分鐘走45 米，小王每分鐘走35 米，問兩人幾分鐘后相遇？（2）兩個工程隊計劃20 天打通一條540 米的隧道，各從一端相向施工，甲隊每天開鑿12 米，乙隊每天開鑿多少米？（3）（4）小題以圖表和圖形方式見下圖。

素養分析：學生在解決“散步問題”、“挖隧道問題”、“購物問題”、“面積問題”后，與”行程問題”進行溝通，感受這五類問題的內在聯系，即使購物問題中鉛筆和橡皮的數量不同，學生也能感受到這一系列問題內在的等量關系是一致的，都可以用一個含有字母的式子ax+bc=d來表示，從而更好的幫助學生溝通這些題目之前的內在聯系，建立起解決這一類問題的數學模型，培養幾何直觀、模型意識和應用意識。

教學建議：本題組在設計時，既有不同的問題情境，又求不同的量，但都能看到相同的等量關系。從學情數據可知，在散步和挖隧道問題上，學生能遷移新課的相遇問題，較好地畫出線段圖解決；在面積問題時，有了直觀圖的支撐，學生解決問題思路很清晰；在購物問題時，學生能利用單價、數量和總價三者之間的關系去解決，但要構建直觀圖就有些困難，并且是兩積之和的一般情況，也就是4 個量均不相同。教學時，建議在新課后的練習使用，可以分為二個步驟，先自行解決相關問題，應用圖來分析等量關系、解決問題，然后可以溝通新課行程問題和4 個不同情境問題之間的共同點，通過不同類學生的反饋，從而逐漸形成這一類問題圖和式的聯系，構建式的模型和圖的模型。

三、幾何直觀素養在解決問題中的實施成效

1.整體規劃，分段實施，有效發展幾何直觀素養

在解決問題中，對于學生核心素養幾何直觀的培養分學段、分年級有側重地進行整體設計和規劃，從感知數形之間的關系樹立幾何直觀意識，到數形互助、形能助數數能助形，在不同年段掌握幾何直觀的不同水平方法，積累幾何直觀活動經驗，指向學生的核心素養幾何直觀的發展。

通過縱向的幾何直觀素養培養，學生在六年級學習《數與形》的內容時，對……求和時，有78.3%的學生用畫圖幫助探究和思考，對于六年級學生比較難理解的極限思想，通過圖有69.5%的學生能夠理解隨著加數越多和越來越接近1。

2.改編深挖，關注過程，有效設計幾何直觀練習

通過對練習題的深挖、改編和原創，在減少學生學業負擔的同時發揮練習的最大功效，在反饋和評價中，還根據學生的個體差異，一道練習有不同水平層次的評價標準，讓不同的學生在同一道練習中幾何直觀有不同的發展。如六年級學習《比》的內容時，設計“甲速度比乙速度慢，乙速度比丙速度慢，求甲乙丙的速度比”練習，既關注學生理解比的意義、掌握比的基本性質進行化簡，還要關注學生解決的過程，挖掘學生用假設法、畫圖法和字母代替等解決策略，在解決問題中培養學生的幾何直觀素養。

幾何直觀是學生在小學階段要發展的11 個核心素養之一，培養和發展學生的幾何直觀，需要滲透在數學課程的每個領域。在解決問題中，要根據學生的學段、思維特征等分階段的發展幾何直觀素養，設計相對應的評價練習，以此激發學生幾何直觀的意識，提升學生在解決問題中幾何直觀的水平，掌握應用幾何直觀解決問題的方法，最終在小學階段整體發展學生的核心素養幾何直觀。