設計“畫中探究”活動 感悟“變中不變”思想
——《平行四邊形面積》練習課設計與思考

文|陳 昱（特級教師） 朱素姍

【教學內容】

蘇教版五年級上冊第二單元有關“平行四邊形面積”的操作性練習：第11 頁“練習二”第5 題，第27 頁“整理與練習”第12 題。

【學情簡析】

學生已經學習過平行四邊形的面積計算，本課屬于練習拓展。學生需要在解決問題的過程中搞清楚為什么變形后圖形的周長未變而面積變小了，減少的面積到底是怎么變小的等問題。對學生來說有一定難度，需要給予探索、交流的場域。

【教學目標】

1.學生通過畫圖等探究和推理活動搞清楚長方形框拉成平行四邊形前后面積變小的原因，并會清楚表征和表達自己的發現，深刻理解平行四邊形的不穩定性。

2.學生在探究、交流等活動中初步領會“變與不變”思想，增強獨立思考、合作學習能力和推理意識，體驗數學與現實生活的緊密聯系。

【教學重點】

探究平行四邊形變形問題，理解背后的道理。

【教學難點】

學生對數學問題的探究、表征、推理，在“變與不變”中感悟數學知識的一致性。

【設計意圖：《義務教育數學課程標準（2022 年版）》體現“素養為綱、綜合育人、實踐育人”，要求一線教師在教學中制訂指向核心素養的教學目標、整體把握教學內容、選擇能引發學生思考的教學方式、進一步加強綜合與實踐，以及注重信息技術與數學教學的融合。具體怎么做？筆者在練習教學中做了一些嘗試：1.緊扣學科大觀念，圍繞“平行四邊形邊長確定、形狀不確定”展開探究練習；2.指向推理意識、幾何直觀、空間觀念、應用意識等數學核心素養培育；3.精選具體的操作性問題做深做透，體現練習上的“少即多”；4.設計表現性任務，體現學教評的一致性和知識的一致性。】

【教學過程】

一、引入

師：同學們，我們學習了多邊形的面積計算，今天繼續來探究（板書：圖形變變變）。看到這個課題，你想到了什么？（引出平行四邊形的變形問題）

【設計意圖：以“圖形變變變”作課題，有如下思考：1.學生由課題聯想到平行四邊形的不穩定性，引出探究性問題；2.激發學生的學習興趣，利于學生較快投入到圖形變化的探究中；3.預示本課涉及的平行四邊形變形問題具有“多變性”，需要具體問題具體分析，才能探究出變化背后不變的道理。】

二、主體活動：探究“木條框”問題

1.出示問題：用細木條釘成一個長方形框，長12 厘米、寬7 厘米。它的周長和面積各是多少？

（1）你能想象出這個長方形嗎？請你畫出示意圖，并算出周長和面積。

（學生畫圖計算，教師巡視）

（2）指名板演，說說求周長和面積的過程與結果。

2.繼續出示：如果拉成一個平行四邊形……

（1）你還能想象嗎？在腦海里拉一拉，會變成什么樣子？你還能畫出這個平行四邊形嗎？就在剛才長方形的基礎上畫，盡量畫得準確一些。

（學生畫圖，教師巡視）

（2）對比展評典型作品：你贊同哪一種？為什么？辨析后動態展示幾何畫板課件：平行四邊形的變形，學生直觀感受和確認；學生修改自己的圖。

3.周長沒變，那面積呢？

（1）觀察：變形前后，什么沒變？（邊長，周長）什么變了？變大了還是變小了？為什么？你能畫圖說明嗎？

學生自主畫圖探究，教師巡視輔導。關鍵性引導：不容易一眼看出變形前后的長方形和平行四邊形面積誰大誰小，你能想辦法在圖上畫一畫、移一移，使人一眼就能看出大小嗎？

（2）小組交流，互相說說有什么發現，為什么。教師巡視，選取典型作品。

（3）全班展臺展評：結合畫圖作品，說明變形后圖形的面積為什么變小了？組織生生評價。

（4）動態演示幾何畫板課件：平行四邊形變形時面積的變化，學生初步感受，適時完善板畫，改進作品。

4.再次演示幾何畫板課件（顯示數據），觀察：你有什么發現？引出：拉得越厲害，面積越小（板書），追問：圖形面積變小的根本原因是什么？討論得出：拉得越厲害，高越小，面積越小（補板書）。

【設計意圖：教學前測表明，有約一半的學生不會正確畫圖表征平行四邊形不穩定性變形問題，常見的錯例如圖1，其錯因恰恰是學生不理解平行四邊形變形過程中邊長保持不變，而高隨著形狀（邊的夾角）變化而變化——這也是理解整個問題的關鍵。因此，本設計放慢學習過程：

圖1

圖2

圖3

圖4

1.分三步畫圖：第一步，畫長方形，求其周長和面積，門檻較低，全體學生都能順利進入。這一步除了引導學生快速進入探究活動，還可以培養其數感：利用作品展評引導學生比較和判斷：哪一幅作品更好？怎樣畫一個長12 厘米、寬7 厘米的長方形草圖？數感比較好的學生就能發現：12 厘米的一半是6 厘米，所以這個長方形的寬應該比長的一半稍微長一點，據此畫出來的草圖就更準確。第二步，畫變形后的平行四邊形，沒有給實物操作，突出學生的空間想象，利于反饋學生的真實理解水平；通過辨析理解：變形過程中周長及邊長不變，夾角、高和形狀變化，即變化的是夾角、高和形狀，保持不變的是邊長、周長，為后面理解面積變化做準備；注意本環節要組織學生辨析，說清道理，促進空間想象和變形推理能力的提升。第三步，畫變形后面積變小的說明圖，利用幾何直觀、數形結合輔助理解原理；并且在交流不同作品和演示幾何畫板動圖的基礎上，引導學生發現平行四邊形在變形過程中面積的變化規律。（注：圖1～4 是學生課堂上隨著教學推進理解水平不斷提升的四幅作品）

2.三次演示幾何畫板動圖：第一次，第二步畫平行四邊形時出現不同意見，表現出不同畫法，體現學生空間觀念發展上的不同層次。在辨析基礎上出示幾何畫板制作的動圖，強化和鞏固正確意見，用最直觀的方式糾正一部分學生的認知偏差。第二次，第三步畫圖并展評之后，出示幾何畫板動圖，將前面學生指圖解說的道理進一步動態化，非常直觀且清晰地“看到”面積的確在變小或反向變大，初步感受平行四邊形面積變化的規律，發現底不變情況下是高的變化引起了面積的變化。第三次，在學生以上探究活動之后，大部分學生的認識提升已經初步完成，知識學習和問題解決做到了充分經歷、感悟、思考，此時再次呈現幾何畫板動圖，所不同的是這次顯示了平行四邊形高、底和面積的數據，直觀之上平添了一層精確，學生據此可以明確平行四邊形底不變，面積隨著高的變化而變化，高越大面積越大，高越小面積越小。】

三、收束

1.總結：這節課我們探究了什么問題？我們是怎么研究的？這個結論在現實生活中有應用嗎？

引出伸縮門、升降機、機械手臂等實際應用，追問：現實生活中平行四邊形的所有變形問題都是這樣的嗎？引出“練習本變形問題”。

2.延伸。

出示問題：把20 本練習本摞成一個長方體，前面是一個長方形；再把這摞練習本均勻地斜放，這時前面變成了一個近似的平行四邊形。變形前后，前面的周長和面積變了嗎？為什么？

課后探究完成數學畫作業。

【設計意圖：1.反思問題解決過程，總結問題解決方法，積累問題解決經驗；2.學用結合，將研究結論應用于現實生活，培養應用意識，感受數學與生活的密切聯系和數學的價值；3.引出新問題，將研究延伸到課外，在強烈的問題驅動下學生自主投入到更加深入的探究活動中，發現新問題中平行四邊形在變形時因為高保持不變所以面積不變而周長發生了變化；為下節課的展評和對比做好鋪墊，最終引導學生認識到問題的復雜性和深刻性，提高學生在面對真實復雜的現實問題時能夠具體問題具體分析、正確辨別、全面認識，最終抓住“變中不變”的數學本質，感受數學的無限魅力。】

四、板書設計

圖形變變變

問題→想象、畫圖、推理……（數學畫）→結論→應用→新問題……

【教學反思】

本節課在課堂教學實踐中遇到諸多問題，引發我們的思考，下面主要反思兩個問題：

一、課堂出現“學霸”怎么辦？——利用數學畫說圖活動引導全體學生跟上節奏

課堂是無法完全預設的，這正是其靈動美妙的地方。本課在送教無為市時遇到一位“學霸”，諸多問題他很快就有了比較準確的理解，且能很完整準確地加以解釋。如此，課堂進程就比較順暢，從而極有可能造成部分學生思維跟不上，而他們的困惑會被課堂的整體順暢所掩蓋。為了解決這一隱性危機，教師臨時改動設計，開展了一次“請三位同學依次說理”的反饋評議活動，安排在第三步學生自主畫圖探究之后。

第一位學生是請其上臺板畫想法的學生A，他上臺指圖解說；第二位學生是教師巡視時選其畫作作為典型作品的學生B，他在展臺邊說道理；第三位學生是教師出示幾何畫板動圖后，在臺下看動圖解說的學生C。三人說得既有共同點也有不同，雖然沒有“學霸”那樣流利，但也可圈可點，尤其是他們說出了自己一開始想不太明白的地方，以及后來如何找到突破方法的過程，對其他學生有很大的啟示作用。如此三次下來，一部分存有困惑的學生有時間跟上來，所有學生都基本搞清楚了現象背后的道理。至此，本課重難點得以堅實落地。

無論預設還是生成應對，教學的指向永遠是學生真實的學習需求。因需而動，緣學而教，也永遠是“數學畫”教學的課堂追求之一。

二、新時代數學課堂如何減負增效？——利用教育信息技術為數學畫展評賦能

本課多次運用了實物展臺和幾何畫板課件，給予學生和觀課教師深刻的印象。我們對教育信息技術有著自己的認識：

1.用“傻瓜”技術保障常態教學。我們特別看重實物展臺，認為這是班班通設備中最接地氣、最有利用價值的一款，使用和維護都非常簡便，最能對學情進行及時反饋和有效互動。

2.用“高端”技術點亮智慧課堂。在保障常態教學底線的基礎上，信息時代的教師應該學習一項學科信息化工具或者積極學習和使用智慧課堂設備與技術，為實現智慧教和智慧學而努力。比如數學學科教師可以學習利用幾何畫板工具，數形結合、幾何直觀，在學生理解的困惑處發揮作用，并助益學生感悟數學思想方法、提升數學核心素養。本課幾何畫板動圖的運用對學生理解“平行四邊形不穩定性”的數學本質和感悟“變與不變”思想很有幫助。

3.用“研究”態度實現減負增效。所有設備與技術的使用要達到效果都必須賴以“研究”的途徑。教育信息技術要真正實現為課堂賦能，絕不能為技術而技術，把課堂變成充斥著聲光電的演示廳，表面熱鬧，收效甚微。廣大教師需要潛心研究教育信息技術與課堂教學的深度融合課題，探尋和遵循教育教學規律和學生學科學習規律。“數學畫”項目組格外重視能夠為作品展評和學習評價提供有力支撐的信息技術，并以課題方式加以專門研究，為數學教學減負增效。