在解讀與表征中明晰概念
——《加減法的意義和各部分間的關系》素養進階習題展評和教學建議

文|丁玉成 傅嬌玲

一、習題展評

●習題一

1.習題內容

選擇兩條信息，提出加法問題并列式計算，看看你能提幾個。

2.能力指向

在豐富的現實情境中識別并提取相關聯的信息，提出具有合并本質的加法問題，在現實意義中感受同類量才能合并，豐富加法的內涵與外延。

3.學情分析

對城區學校40 名學生進行檢測，能準確提出3 種問題并列式的學生占33.3%，2 種的占30.8%，1種的占25.6%，0 種占10.3%。每種問題準確提出的情況如表1。

表1

結合以上兩份數據分析，學生在復雜情境中提取信息、提出問題的能力需要加強。如果題目形式為獨立呈現兩條信息提出一個加法問題，對于四年級學生來說就沒有難度，正確率會大幅提升，但將多條信息置于一個關聯性的情境中去有選擇地提取信息，恰是最貼近生活原型的，也是數學中需要培養的核心素養。

從3 個問題所呈現的不同正確率，可以看出學生對于反向思考的求“原來是多少”的加法問題最有困難，這與人們習慣以事情發展順序思考問題有關。學生錯誤的類型主要有兩個，一是提出了減法問題；二是將不同類量進行合并，如“甘蔗和蘋果一共多少？”教師應設計多種形式的加法問題，使學生接觸各種類型加法模型，理解同類量合并的意義，理清加法內涵，豐富加法概念的外延。

●習題二

1.習題內容

（1）下面問題能用下圖表示的是（）。

①池塘里原有5 只鴨子，又游來了3 只，現在有幾只鴨子？

②爺爺收藏了一個價值5 萬元的古董，預計十年后能增值3萬元，十年后這個古董價值多少萬元？

③丁丁被同學借走了5 本科幻書，家里還剩3 本，丁丁原來有多少本科幻書？

④湖中有5 只天鵝，其中3只是白天鵝，黑天鵝有多少只？

A.①②③ B.①②④

C.①②D.①②③④

（2）已知▲-●=■，那么下列算式錯誤的是（）。

A.▲-■=● B.●+■=▲

C.▲+■=● D.●+■+▲=2 個▲

2.能力指向

第（1）題指向加法意義理解，通過對實際問題與圖示的解讀，抽象出加法的合并模型。第（2）題鞏固加減法之間的關系。

3.學情分析

第（1）小題正確率82%。錯誤選項集中在C，即個別學生沒有識別③號的加法原型。第（2）小題正確率92.5%，可見學生能從數字靈活遷移運用到字母、圖形等各類形式，對單純判斷加減法各部分間的關系掌握較好。

●習題三

1.習題內容

（1）一根竹竿插入池塘，露出水面部分103cm，水底泥中部分長42cm，水中部分長247cm，這根竹竿長多少？（先畫一畫圖，標注信息和問題，再計算）

（2）小馬虎在做一道減法題時把減數72 錯寫成了27，這時得到的差是280，正確的差應該是多少？（請列式求出正確的差并介紹你的想法）

2.能力指向

拓展加法含義，將兩部分合并拓展到三部分，在實例中進一步感受加法的本質。理清加減法算式各部分之間的關系，通過描述想法來發展推理能力。

3.學情分析

第（1）題：本題32 人列式正確，占82.5%，有3 人計算出錯，4 人將水底泥中部分理解為水中部分。

分析中發現有40%多的學生在圖中沒有標注問題，平時畫線段圖也存在這樣的現象，需要從簡單的實際問題開始加強信息與問題的結構認識，正確表征信息和問題可以幫助學生清楚地分析數量關系，為后續解決復雜的問題提供幫助。（見表2）

表2

第（2）題：能準確求出正確差的學生占到了92%以上（見表3），可見對于四年級的學生來說加減法之間的互逆關系能夠靈活推算、準確運用。能把想法推理介紹清楚的學生不到一半，反映出“重運用，輕表達”的教學現狀，學生在語言表達、數學推理方面存在短板，因此教學中要注重從因到果一步步嚴謹的推理表述，在分析中鞏固對概念的理解與運用。

表3

二、教學建議

1.構建多元加法類型，厘清內涵與外延

數學中的加法問題常常伴有一定的數學特征，如“一共”便是數學中加法的代言詞，教材與配套練習中反復出現的類似情境也成為了加法的熟面孔。生活中存在很多加法問題，有并列的部分量合并、原部分與增加部分的合并、消耗部分與剩余部分的合并等，從本質上看都是同類量的合并。教師需要提供現實復雜的生活情境，去構建多元的加法類型。如第1 題創設了水果店外賣的情境，讓學生在多條信息中提取出相關聯的信息提出數學問題，三個問題的類型不同，如果是獨立的三道題，相信對學生來說沒有難度，但是糅合成一道需要自主提取信息并提出問題的類型，干擾因素摻雜其中，難度大大提升，學生要能從復雜的信息中甄別、精選、提問，這是提取加法結構的過程，也是解決問題的過程，是最應培養的問題解決能力。又如第2題的第（1）小題，每個選項都是不同類型的加法問題，在與圖示模型的比對中厘清加法概念的內涵與外延。

2.提供多維表現形式，促加法原型理解

對加法合并原型的充分理解可以借助多維的表現形式，豐富情境、生活用語、不同圖示等都能使加法意義變得靈動、立體。情境的創設要從單一的數學描述型向貼近學生生活實際的問題進行轉變；對于諸如原部分與增加部分的合并問題，不僅僅限于“又多了”“增加了”，還要將增加的詞語進行拓展，把加量、超額、提價等學生較為陌生的生活用語進行設計；圖示的豐富性也可以從實物圖、點子圖、條子圖、線段圖、表格法等進行突破。通過多維表現形式的突破，促進學生對加法原型的理解。

3.創設多樣表征舞臺，詮釋意義與關系

從對習題分析中發現學生對列式不存在困難，但對各種形式的加減法意義的表征卻有所缺失，教師應幫助學生創設多樣的表征舞臺，讓他們有機會對理解進行詮釋，促進對加減法意義與相互間關系的理解。如第3 題的兩小題給學生提供了表達的機會，有將近一半的學生能夠將自己的理解精彩演繹，但也有部分學生表現出表達的弱勢。用線段圖表征插入水中竹竿的長度能使學生更好地理解三部分合并的加法本質，用橫向線段圖表征具有通用性，用豎直線段圖則對于本題來說更為直觀。錯中求解題通過圖示、語言描述等形式，能將潛意識中存在的加減法關系進行實質性地表述，雖然加大了難度，但卻能更深刻地理解加減法的互逆關系。