立足數(shù)學(xué)教學(xué)整體性發(fā)展學(xué)生系統(tǒng)性思維

李紫燕 虞秀云

摘? 要：整體性教學(xué)設(shè)計(jì)是發(fā)展學(xué)生系統(tǒng)性思維的重要路徑. 以“解一元一次方程——去分母”教學(xué)設(shè)計(jì)為例，從目標(biāo)解析、內(nèi)容解析及問(wèn)題診斷三個(gè)維度出發(fā)，探究數(shù)學(xué)整體性教學(xué). 進(jìn)行數(shù)學(xué)整體性教學(xué)時(shí)，教師要統(tǒng)籌單元目標(biāo)和課時(shí)目標(biāo)，把握數(shù)學(xué)知識(shí)橫向與縱向之間的聯(lián)系，以整體把握教學(xué)內(nèi)容. 同時(shí)，要關(guān)注隱性難點(diǎn)，及時(shí)反饋調(diào)控，促使學(xué)生完成從“學(xué)會(huì)”到“會(huì)學(xué)”的轉(zhuǎn)變，以便更好地提高學(xué)生的系統(tǒng)性思維水平.

關(guān)鍵詞：整體性；目標(biāo)解析；內(nèi)容解析；問(wèn)題診斷；系統(tǒng)性思維

作者簡(jiǎn)介：李紫燕（1996— ），女，碩士研究生，主要從事數(shù)學(xué)教育教學(xué)研究；

虞秀云（1972— ），女，教授，主要從事數(shù)學(xué)學(xué)科教育研究.

一、問(wèn)題提出

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》從教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)內(nèi)容及教學(xué)設(shè)計(jì)等方面對(duì)整體性教學(xué)提出了要求. 首先，教學(xué)目標(biāo)的設(shè)定要體現(xiàn)整體性和階段性；其次，要整體把握教學(xué)內(nèi)容，表現(xiàn)在對(duì)教學(xué)內(nèi)容之間的關(guān)聯(lián)、教學(xué)內(nèi)容的結(jié)構(gòu)化把握，以及教學(xué)內(nèi)容主線與相應(yīng)核心素養(yǎng)發(fā)展之間關(guān)聯(lián)的把握；最后，強(qiáng)調(diào)整體教學(xué)設(shè)計(jì)的理念，要求體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的內(nèi)在邏輯關(guān)系，以及學(xué)習(xí)內(nèi)容與核心素養(yǎng)表現(xiàn)的關(guān)聯(lián). 可見(jiàn)，教師進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)離不開(kāi)整體性教學(xué). 整體性教學(xué)設(shè)計(jì)就是把每一個(gè)知識(shí)點(diǎn)都放到完整的單元知識(shí)結(jié)構(gòu)中去理解，促使學(xué)生建立新、舊知識(shí)之間的關(guān)聯(lián). 這種設(shè)計(jì)基于對(duì)知識(shí)的系統(tǒng)理解，強(qiáng)調(diào)知識(shí)的關(guān)聯(lián)和整合.

系統(tǒng)性思維是把物質(zhì)系統(tǒng)當(dāng)作一個(gè)整體加以思考的思維方式；是從整體角度出發(fā)考慮問(wèn)題，研究思路著眼于問(wèn)題秩序化的思維方式，在數(shù)學(xué)教學(xué)中體現(xiàn)在整體規(guī)劃教學(xué)思路. 在初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師要合理地滲透整體性教學(xué)理念，對(duì)幫助學(xué)生形成拓展性思維、系統(tǒng)性思維具有重要的現(xiàn)實(shí)意義.

下面以人教版《義務(wù)教育教科書(shū)·數(shù)學(xué)》（以下統(tǒng)稱(chēng)“教材”）七年級(jí)上冊(cè)“解一元一次方程——去分母”的教學(xué)設(shè)計(jì)為例，從目標(biāo)解析、內(nèi)容解析、問(wèn)題診斷三個(gè)維度探究整體性教學(xué).

二、“解一元一次方程——去分母”教學(xué)設(shè)計(jì)

1. 統(tǒng)籌單元與課時(shí)目標(biāo)，注重目標(biāo)整體性

本節(jié)課是在學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了一元一次方程的概念之后求解一元一次方程的教學(xué)，并且學(xué)生已經(jīng)在前幾個(gè)課時(shí)學(xué)習(xí)過(guò)系數(shù)化為1、合并同類(lèi)項(xiàng)、移項(xiàng)、去括號(hào)等解一元一次方程的方法. 根據(jù)整體性教學(xué)設(shè)計(jì)理念，本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì)應(yīng)從單元教學(xué)目標(biāo)出發(fā)，注重課時(shí)教學(xué)目標(biāo)及單元教學(xué)目標(biāo)之間的聯(lián)系. 本節(jié)課教學(xué)目標(biāo)設(shè)置如下.

（1）學(xué)會(huì)綜合運(yùn)用去分母、去括號(hào)等方法解一元一次方程；

（2）會(huì)用整體的思維看待解方程的求解過(guò)程，綜合運(yùn)用化歸思想和數(shù)學(xué)建模思想；

（3）會(huì)從整體上感悟去分母解一元一次方程與其他求解方法之間的聯(lián)系，靈活采用求解方法，培養(yǎng)系統(tǒng)性思維.

2. 精準(zhǔn)課堂導(dǎo)入，把握整體性內(nèi)容

做好課堂導(dǎo)入，決定著學(xué)生能在課程開(kāi)始的前段搭建好整體知識(shí)內(nèi)容及思想框架體系，感悟數(shù)學(xué)的整體性. 教師可以采用如下方式引入本節(jié)課.

環(huán)節(jié)1：復(fù)習(xí)引入.

教師利用課件依次呈現(xiàn)如下方程：① 5x = 150；② 2x + 3x = 60 + 90；③ 2x - 90 + 3x = 60；④ 2x -3（30 - x） = 60；⑤[x6-30-x4=5].

教學(xué)活動(dòng)：對(duì)于方程①和②，學(xué)生在本節(jié)課之前已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)用系數(shù)化為1及合并同類(lèi)項(xiàng)的方法解一元一次方程，符合學(xué)生已有的知識(shí)基礎(chǔ)，教師可以讓學(xué)生齊答解方程的過(guò)程；從方程③④開(kāi)始可以采用“教師單獨(dú)提問(wèn)，學(xué)生舉手個(gè)別回答”的方式解方程. 最后呈現(xiàn)方程⑤，引發(fā)學(xué)生對(duì)求解方程⑤的思考. 學(xué)生回答后，教師在課件中逐一呈現(xiàn)每個(gè)方程的解答步驟.

【設(shè)計(jì)意圖】首先，運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，將學(xué)生不熟悉的方程轉(zhuǎn)化為熟悉的方程，并滲透化歸思想；通過(guò)課件逐一呈現(xiàn)方程，直至呈現(xiàn)本節(jié)課將要學(xué)習(xí)的新內(nèi)容——含有分母的一元一次方程，借助視覺(jué)上的直觀加強(qiáng)學(xué)生腦海中對(duì)于解一元一次方程要經(jīng)歷去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng)、系數(shù)化為1五個(gè)步驟整體框架的搭建，樹(shù)立了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)操作技能整體性的認(rèn)識(shí). 其次，教師通過(guò)問(wèn)題串使得學(xué)生很快明確了本節(jié)課用到的化歸思想，這也是解決所有方程問(wèn)題的核心思想，為學(xué)生之后要學(xué)習(xí)的解二元一次方程組、解一元二次方程等提供了思維基礎(chǔ).

3. 做好問(wèn)題診斷，發(fā)展系統(tǒng)性思維

問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟. 問(wèn)題診斷是教師提升教學(xué)效率的有效方式. 教師在課前做好問(wèn)題診斷分析，課堂上對(duì)學(xué)生的問(wèn)題給予及時(shí)反饋，才能提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，促進(jìn)學(xué)生思維的系統(tǒng)性發(fā)展.

環(huán)節(jié)2：新課講授.

教師事先對(duì)班級(jí)學(xué)生在本節(jié)課的學(xué)習(xí)中可能會(huì)出現(xiàn)的問(wèn)題進(jìn)行預(yù)設(shè). 本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是教會(huì)學(xué)生去分母，教師可以圍繞去分母時(shí)學(xué)生可能出現(xiàn)的困難進(jìn)行如下教學(xué)設(shè)計(jì).

教師呈現(xiàn)方程[x6-30-x4=5]，并提出以下問(wèn)題.

問(wèn)題1：我們學(xué)習(xí)過(guò)求解這個(gè)方程的方法嗎？這個(gè)方程有什么特點(diǎn)？

預(yù)設(shè)：這個(gè)方程含有分母，我們沒(méi)有學(xué)習(xí)過(guò)求解該類(lèi)方程的方法.

問(wèn)題2：方程兩邊有幾個(gè)分母？分別是誰(shuí)？

預(yù)設(shè)：方程兩邊含有2個(gè)分母，分別是6和4.

問(wèn)題3：解這個(gè)方程時(shí)，第一步要做什么？為什么要這樣做？

預(yù)設(shè)：第一步是去分母，目的是將不熟悉的方程轉(zhuǎn)化成學(xué)習(xí)過(guò)的方程來(lái)求解.

問(wèn)題4：怎樣去分母？依據(jù)是什么？

預(yù)設(shè)：方程兩邊同時(shí)乘12，依據(jù)的是等式的性質(zhì)2.

問(wèn)題5：方程兩邊能不能同時(shí)乘24，36，48，…來(lái)去分母？可小組討論.

預(yù)設(shè)：可以，但是沒(méi)有必要. 因?yàn)?2是6和4的最小公倍數(shù)，乘12會(huì)使得去分母后所得數(shù)據(jù)更為簡(jiǎn)潔.

問(wèn)題6：求解過(guò)程需要注意什么？與之前學(xué)習(xí)過(guò)的求解一元一次方程的方法有什么聯(lián)系？

預(yù)設(shè)：注意等式的基本性質(zhì)和化歸思想的運(yùn)用. 方程⑤的求解實(shí)際就是轉(zhuǎn)化成前面學(xué)習(xí)過(guò)的知識(shí)，求解過(guò)程貫穿了化歸思想，這樣可以把整個(gè)方程求解過(guò)程視為一個(gè)整體.

教學(xué)活動(dòng)：教師帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)一步完善方程⑤的求解步驟，尋找方程⑤與前面4個(gè)方程的聯(lián)系.

【設(shè)計(jì)意圖】在教學(xué)去分母時(shí)，教師應(yīng)該考慮到班級(jí)學(xué)生的不同認(rèn)知水平，從整體視角考慮不同學(xué)生的目標(biāo)達(dá)成情況. 鑒于學(xué)生對(duì)在方程兩邊同乘最小公倍數(shù)去分母的理解存在困難，教師立足于整個(gè)班級(jí)學(xué)生的認(rèn)知水平，通過(guò)層層遞進(jìn)的追問(wèn)，指向?qū)W生的思考過(guò)程，啟迪學(xué)生的元認(rèn)知. 同時(shí)，指向?qū)W生元認(rèn)知的追問(wèn)方式有助于學(xué)生將小學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)的最小公倍數(shù)與去分母進(jìn)行聯(lián)系，并且運(yùn)用到解方程的學(xué)習(xí)中，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)縱向關(guān)聯(lián)的整體性. 在問(wèn)題診斷方面，對(duì)于如何尋找分母的最小公倍數(shù)，在小學(xué)階段對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)就是一個(gè)難點(diǎn)，在去分母解一元一次方程時(shí)也是學(xué)生學(xué)習(xí)的易錯(cuò)點(diǎn). 這樣的設(shè)計(jì)注重問(wèn)題診斷的整體性，加深了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解與延伸.

環(huán)節(jié)3：課堂練習(xí).

課堂練習(xí)是對(duì)一節(jié)課所學(xué)知識(shí)的升華與鞏固，能很好地檢測(cè)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握情況，對(duì)學(xué)生練習(xí)時(shí)出現(xiàn)的問(wèn)題及時(shí)給予反饋，亦能幫助教師及時(shí)調(diào)整教學(xué)，對(duì)學(xué)生的思維發(fā)展有一個(gè)全面把握.

練習(xí)1：解方程[3x+12-10x+16=2]時(shí)，為了去分母應(yīng)將方程兩邊同乘幾？

練習(xí)2：把方程[3x+12-10x+16=2]去分母、去括號(hào)后，正確的結(jié)果是（? ? ）.

（A）[9x+1-10x+1=1]

（B）[9x+3-10x-1=1]

（C）[9x+3-10x-1=12]

（D）[9x+3-10x+1=12]

練習(xí)3：若關(guān)于[x]的一元一次方程[2x-k3=x-3k2]的解是[x=-1]，則[k]的值是多少？

練習(xí)4：解下列方程.

（1）[3x+12-10x+16=2]；

（2）[2y+13=y+24-1].

教學(xué)活動(dòng)：對(duì)于練習(xí)1和練習(xí)2，可以采取教師提問(wèn)、學(xué)生舉手回答的形式解決. 對(duì)于練習(xí)3和練習(xí)4，可以讓學(xué)生上臺(tái)板演. 在學(xué)生練習(xí)時(shí)，教師可以對(duì)學(xué)生的答題情況隨時(shí)拍照投屏，對(duì)學(xué)生的習(xí)題給予即時(shí)批改，對(duì)典型錯(cuò)誤進(jìn)行全班展示，做到問(wèn)題的及時(shí)反饋. 在完成以上練習(xí)題后，教師結(jié)合知識(shí)點(diǎn)對(duì)學(xué)生做題時(shí)出現(xiàn)的問(wèn)題進(jìn)行整體小結(jié).

【設(shè)計(jì)意圖】首先，以上練習(xí)題是從整體視角進(jìn)行設(shè)計(jì)的，且難度逐步遞增，考查學(xué)生對(duì)去分母解一元一次方程的掌握情況. 練習(xí)1和練習(xí)2是對(duì)學(xué)生利用最小公倍數(shù)去分母及運(yùn)算能力的考查，練習(xí)3是對(duì)學(xué)生利用化歸思想將關(guān)于[x]的一元一次方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于[k]的一元一次方程的數(shù)學(xué)思想方法的考查，練習(xí)4第（1）小題是對(duì)前面呈現(xiàn)過(guò)的方程的求解步驟整體認(rèn)識(shí)的考查. 經(jīng)歷以上練習(xí)題的解決過(guò)程，學(xué)生對(duì)解一元一次方程步驟的認(rèn)識(shí)會(huì)更加完整，構(gòu)建的解方程知識(shí)的結(jié)構(gòu)體系會(huì)更加具有整體性，有利于提升學(xué)生的系統(tǒng)性思維，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

環(huán)節(jié)4：課堂小結(jié).

教師提出以下問(wèn)題，學(xué)生小組討論后舉手回答，最后師生一起總結(jié).

（1）本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了什么知識(shí)？

（2）你有什么收獲？積累了哪些經(jīng)驗(yàn)？還有什么疑問(wèn)嗎？

預(yù)設(shè)：教師帶領(lǐng)學(xué)生通過(guò)完善思維導(dǎo)圖及填表的形式回顧總結(jié)本節(jié)課的內(nèi)容.

本節(jié)課學(xué)習(xí)了去分母解一元一次方程，并且對(duì)解一元一次方程的步驟有了整體的認(rèn)識(shí)，基本步驟有去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng)及系數(shù)化為1等，核心思想為化歸思想，最終將結(jié)果轉(zhuǎn)化為[x=baa≠0]的形式. 在這個(gè)過(guò)程中要考慮每個(gè)步驟的注意事項(xiàng)，如不漏乘、不漏項(xiàng)等.

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)小組討論，師生共同總結(jié)本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容，再次加深學(xué)生對(duì)解一元一次方程步驟的整體認(rèn)識(shí). 呈現(xiàn)框架結(jié)構(gòu)及表格的小結(jié)方式有利于學(xué)生系統(tǒng)性思維的發(fā)展，最終達(dá)成教學(xué)目標(biāo).

三、教學(xué)啟示

1. 著眼于單元架構(gòu)，注重目標(biāo)整體性

教學(xué)目標(biāo)是教學(xué)活動(dòng)的出發(fā)點(diǎn)和歸宿，教學(xué)目標(biāo)的整體性設(shè)計(jì)是順利開(kāi)展整體性教學(xué)的關(guān)鍵. 教師在進(jìn)行課時(shí)教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì)時(shí)，要從單元角度出發(fā)，將每節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)融入單元之中，注重目標(biāo)的整體性.“解一元一次方程——去分母”一課歸屬于教材第3章第3節(jié)，教師在設(shè)計(jì)時(shí)要從單元整體架構(gòu)出發(fā)，關(guān)注此小節(jié)內(nèi)容在單元中所處的位置，再結(jié)合小節(jié)教學(xué)目標(biāo)發(fā)現(xiàn)各小節(jié)之間的前后聯(lián)系. 例如，“解一元一次方程——去分母”一課統(tǒng)攬前幾節(jié)所學(xué)的去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng)及系數(shù)化為1的內(nèi)容，銜接著下一節(jié)的“實(shí)際問(wèn)題與一元一次方程”，在整個(gè)單元架構(gòu)中起著承上啟下的作用. 因此，教師在設(shè)計(jì)本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)時(shí)，要從單元教學(xué)目標(biāo)中提煉出課時(shí)教學(xué)目標(biāo)，以各課時(shí)教學(xué)目標(biāo)總體構(gòu)筑單元教學(xué)目標(biāo)；既要突出單元教學(xué)目標(biāo)，也要注重課時(shí)教學(xué)目標(biāo)的落實(shí)，發(fā)展主線主題的教學(xué)思維. 教師只有注重教學(xué)目標(biāo)的整體性設(shè)計(jì)，才能從根本上解決存在于不同教學(xué)方式及課時(shí)時(shí)限要求之間的矛盾，達(dá)成數(shù)學(xué)學(xué)科的育人目標(biāo).

2. 俯瞰知識(shí)點(diǎn)間的橫縱聯(lián)系，切勿忽視隱性難點(diǎn)

教師需要整體把控教學(xué)內(nèi)容的設(shè)計(jì)，俯瞰各知識(shí)點(diǎn)間的橫縱聯(lián)系，以期關(guān)注到不同階段、不同主題教學(xué)時(shí)可能出現(xiàn)的隱性難點(diǎn). 在教學(xué)中，教師不能將各模塊、各學(xué)段的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行割裂，應(yīng)該用整體的眼光看待教學(xué)并注意引導(dǎo)學(xué)生把握知識(shí)體系的整體關(guān)聯(lián)，同時(shí)關(guān)注知識(shí)點(diǎn)間的隱性難點(diǎn). 例如，在“解一元一次方程——去分母”一課中，找分母的最小公倍數(shù)是隱性難點(diǎn)，它也是學(xué)生在小學(xué)階段的一個(gè)學(xué)習(xí)難點(diǎn). 在后面的學(xué)習(xí)中，學(xué)生現(xiàn)階段出現(xiàn)的問(wèn)題仍然可能是一個(gè)隱性的難點(diǎn)，這體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)間的縱向聯(lián)系. 教師在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)要關(guān)注到不同階段知識(shí)的隱性難點(diǎn)，整體把握教學(xué)，進(jìn)而提升學(xué)生的系統(tǒng)性思維水平.

3. 從“學(xué)會(huì)”走向“會(huì)學(xué)”，實(shí)現(xiàn)由知識(shí)到方法的系統(tǒng)化

學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)是一個(gè)從“學(xué)會(huì)”走向“會(huì)學(xué)”的過(guò)程，系統(tǒng)性思維在整個(gè)過(guò)程中發(fā)揮著重要作用. 教師要根據(jù)數(shù)學(xué)對(duì)象特有的知識(shí)結(jié)構(gòu)，研究知識(shí)的性質(zhì)、路徑、結(jié)構(gòu)、結(jié)果、表達(dá)方式等，從“知識(shí)體系”的學(xué)習(xí)到“方法體系”的學(xué)習(xí)，使學(xué)生做到從“學(xué)會(huì)”到“會(huì)學(xué)”的轉(zhuǎn)變. 因此，教師可以將數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)分為“學(xué)會(huì)結(jié)構(gòu)”和“會(huì)用結(jié)構(gòu)”兩個(gè)階段，從兩個(gè)階段進(jìn)行突破才能培養(yǎng)學(xué)生的系統(tǒng)性思維. 例如，一元一次方程的學(xué)習(xí)可以為后面二元一次方程（組）、一元二次方程的學(xué)習(xí)作鋪墊，具體如表1所示.

“學(xué)會(huì)結(jié)構(gòu)”階段就是學(xué)生“學(xué)會(huì)”的過(guò)程. 教師要從數(shù)學(xué)知識(shí)的整體性出發(fā)，讓學(xué)生形成研究方程的一般思想，掌握一元一次方程這一知識(shí)對(duì)象的一般研究路徑，即“實(shí)際需要—方程定義—方程求解—方程應(yīng)用”的過(guò)程. 這樣，在學(xué)生日后學(xué)習(xí)二元一次方程（組）和一元二次方程時(shí)，也就是“會(huì)用結(jié)構(gòu)”階段，教師可以引導(dǎo)學(xué)生從一元一次方程的研究路徑入手，基于數(shù)學(xué)整體性，幫助學(xué)生用類(lèi)比思想建構(gòu)關(guān)于二元一次方程（組）及一元二次方程的知識(shí)體系，這才是真正幫助學(xué)生從“學(xué)會(huì)”走向“會(huì)學(xué)”，實(shí)現(xiàn)了“知識(shí)體系”學(xué)習(xí)到“方法體系”學(xué)習(xí)的系統(tǒng)化，切實(shí)發(fā)展學(xué)生的系統(tǒng)性思維.

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