超電阻對氣球模線性不穩定性影響的理論研究*

劉泰齊 陳少永? 牟茂淋 唐昌建

1) (四川大學物理學院,成都 610065)

2) (四川大學,高能量密度物理及技術教育部重點實驗室,成都 610065)

在磁約束聚變等離子體中,本文將超電阻引入氣球模模型,采用解析理論的方法研究其對氣球模線性不穩定性的影響.推導了包含超電阻、電阻和抗磁效應的非理想氣球模本征方程,分析不同條件下超電阻對氣球模的作用.結果表明,超電阻會增強氣球模的不穩定性,其物理機制是超電阻導致的電流擴散效應使得磁力線彎曲項對氣球模的穩定作用減弱;超電阻與電阻對氣球模的去穩效應存在競爭關系,當超電阻與電阻的比值較大時,超電阻的作用占主導,反則反之.超電阻的去穩效應隨著環向模數增加而增強,當環向模數大于某閾值時,超電阻會使原本穩定的氣球模變得不穩定,且該閾值與超電阻和電阻的比值成反比.研究結果對未來聚變堆中低碰撞率邊緣等離子體中的輸運改善和邊緣局域模控制具有重要參考價值.

1 引言

磁約束等離子體中磁流體不穩定性會導致其約束性能變差,甚至可能演變成等離子體大破裂并導致放電終止,因此,環形裝置中磁流體不穩定性的物理機制和穩定性判據引起了研究者們的廣泛關注.氣球模的擾動主要集中在環形等離子體的壞曲率區,即磁力線曲率方向與等離子體壓強梯度方向相同的區域,使得原本平滑的磁面在局部出現凸起或凹陷[1],采用磁流體動力學[2-5]、動理學理論等多種方法對氣球模的特性進行了較多研究.

20 世紀70 年代以來,Lortz 等[6-8]通過計算磁剪切s與歸一化壓強梯度α的不穩定邊界圖,提出了第一穩定區、不穩定區和第二穩定區.隨后的研究表明,電阻可使得氣球模的穩定區減小,而抗磁效應則對氣球模具有致穩作用.在高約束模(H 模)邊緣等離子體的低碰撞率和高壓強梯度條件下,電阻和抗磁等非理想效應對氣球模的作用更加明顯.此外,氣球模與剝離模耦合形成所謂剝離氣球模[9],并被廣泛應用于邊緣局域模(ELM)的物理解釋,基于非理想剝離氣球模模型的非線性臺基模擬成功解釋了ELM 實驗.因此,探究各種非理想效應對邊緣輸運壘中氣球模的作用對未來聚變堆控制ELM 至關重要.

在上述非理想效應中,由反常電子黏滯引起的超電阻效應對氣球模的作用研究相對較少.超電阻產生的物理機制主要包括微尺度隨機磁場和撕裂模湍流兩方面,其作用將使得電流耗散且梯度變平緩[10,11].已有研究發現超電阻對氣球模有去穩作用[12],但其作用機理還有較多不清楚的地方.另外,在ELM 非線性模擬中,超電阻效應[9,13]會促進磁重聯從而限制ELM 的徑向展寬,且可使非線性數值模擬更加穩定[14].因此,有必要從理論上系統探究超電阻對氣球模的作用.

本文首先分析了超電阻對理想氣球模線性不穩定性的影響,然后,研究了存在電阻時超電阻去穩非理想氣球模的環向模數閾值,最后,在考慮抗磁效應條件下,探討了超電阻與電阻比值(αH)對非理想氣球模線性不穩定的影響.本文的內容安排如下: 第2 節推導了包含超電阻的非理想氣球模本征方程;第3 節通過打靶法求解非理想氣球模本征方程的本征值,研究超電阻對氣球模不穩定性的影響,并詳細分析了超電阻起作用的環向模數閾值(nth);第4 節對本文工作進行總結.

2 含超電阻的氣球模本征方程推導

聚變裝置中氣球模的計算通常采用大型磁流體初值代碼或數值計算上更簡單的本征值方法.本文旨在探究超電阻對氣球模的作用特性和其物理機制,因此選擇物理性質更清晰且幾乎全解析的本征值方法.由流體動量方程:

其中,ρ0為離子質量密度,P為壓強,J為等離子體電流.通過在方程兩端同時作用 (b·?×) 算子,可以得到渦量方程:

其中,渦量U≡b·?×V,B0為磁軸處的平衡磁場,b0=B0/B0為磁軸處磁場的單位矢量,J//為等離子體電流的平行分量,κ0=b0·?b0為平衡場的曲率.對系統速度取一階近似,即只考慮垂直方向上的E×B速度,則有V ≈VE=B×?φ/B2≈b0×為靜電勢.下標0 表示平衡量,下標//和⊥分別表示平行于磁場方向的分量和垂直于磁場方向的分量.

已知垂直方向上的E×B速度,所以壓強演化方程為

所以,隨時間的演化的擾動量渦量u1、壓強P1、磁通Ψ1,線性三場約化磁流體動力學方程如下:

三場模型已經被廣泛應用于BOUT++代碼對邊緣局域模崩塌的非線性模擬[14-17]和對氣球模壓縮效應的線性研究[15],因此,三場模型足以用來研究氣球模不穩定性的線性特征.本文采用Miller的平衡模型[18,19],超電阻導致的電流擴散可能會對平衡產生影響,但其作用時間尺度遠大于氣球模不穩定性增長的時間尺度,因此文中不考慮超電阻對平衡的影響.在柱坐標系下,一個大環徑比、低比壓β和同心圓截面的軸對稱托卡馬克幾何位形x(r,θ,?)=[R,φ,Z]可表示為

q是安全因子,dlp是微分極向弧長,f(ψ)=RBφ,Bφ是環向磁場.

由(8)式可得,

將(17)式和(18)式代入(16)式,等式兩邊都有因子φ1,方便起見,后文用φ代替φ1,得

其中離子抗磁頻率ω?i=b0×?P0·k/(en0) ,δi=1/(en0),k⊥和k//分別表示垂直和平行波數.通過標準氣球模轉換方法[1]可得:

把(15)式、(20)式和(21)式代入(19)式,可得非理想氣球模本征方程:

其中,f2(Θ) =1+Λ2,g(Θ)=-R(κn-κgΛ),磁剪切沿磁力線方向的積分Λ=?Ψ ·?(qΘ-ζ)/B=sΘ-αsin(Θ).

方程中,第1 項為對氣球模起穩定作用的磁力線彎曲項;第2 項為抗磁效應項,該項可以穩定高n氣球模;第3 項為氣球模不穩定性的驅動項,該項中包含了正交和測地曲率,在Θ=π 時為好曲率,對氣球模起致穩作用,在Θ=0 時為壞曲率,對氣球模起去穩作用.可以看到,(22)式是一個二階的偏微分方程,由于Θ的取值范圍在負無窮到正無窮之間,且邊界條件需要滿足在Θ趨近于正負無窮時,Φ的取值是零,因此該偏微分方程的邊界條件應該為

因此可對(24)式進行求解.結合本征方程(22)式和邊界條件(23)式,通過打靶法來求解包含超電阻的非理想氣球模本征方程,以研究超電阻對氣球模不穩定性的作用.該模型雖然不能純解析地解決氣球模特征,但可以研究托卡馬克邊緣輸運壘中的氣球模.

數值求解(24)式時選取一個與JET 裝置參數相近的平衡,大環半徑R=3.52 m ,小環半徑r=1.24 m,安全因子q=2.35 ,環向磁場為B=4.2 T,等離子體電流I=2.5 MA .由斯必澤模型可知,電阻與溫度的3/2 次方呈反比,目前等離子體被加熱的溫度為1 keV 量級,因此電阻可以達到 10-8量級,隨著裝置水平的發展,將來實驗堆中托卡馬克溫度更高,達到10 keV 量級時,電阻將達到10-9—10-10量級,超電阻數值也會更小.當s=2.59,α=0.46,n=35,η=10-7,ηH=9×10-15時,求 解(24)式可得歸一化增長率γ=0.03684,本征函數解如圖1 所示,由于本征函數關于Θ=0 對稱,所以圖1僅給出Θ為正時的本征函數.

圖1 考慮超電阻的非理想氣球模本征方程函數解(R=3.52 m,r =1.24 m ,q =2.35 ,s=2.59 ,α=0.46 ,n=35,η =10-7 ,ηH=9×10-15)Fig.1.Eigen-functions of the ballooning model with hyperresistivity (R =3.52 m ,r =1.24 m ,q =2.35 ,s=2.59,α=0.46,n=35 ,η =10-7 ,ηH=9×10-15).

3 數值計算結果與分析

使用與圖1 相同的參數,在不考慮抗磁效應和電阻效應情況下,超電阻不同時對氣球模歸一化線性增長率的影響如圖2 所示.由圖2 可知,超電阻對氣球模線性增長率的影響隨著環向模數n的增大而增強,氣球模線性增長率隨著超電阻的增大而變大.因此,超電阻對氣球模不穩定性有去穩作用,且隨著環向模數增大而增強.由本征方程式(22)可知,超電阻在第1 項,即磁力線彎曲項中,且該項包含環向模數.因為磁力線彎曲項對氣球模起穩定作用,且隨著超電阻的增大,磁力線彎曲項減小,所以此時氣球模的增長率增大.在低碰撞率的磁約束等離子體中,由于磁力線凍結在等離子體中,那么等離子體擾動會造成磁力線彎曲,然而彎曲磁力線需要對其做功,因此磁力線彎曲對氣球模不穩定性具有抑制作用.但由于超電阻造成的電流擴散效應,使得磁力線與等離子體具有相對運動,進而減弱磁力線彎曲項對氣球模的穩定作用.對于高環向模數的氣球模,超電阻項更大,因此其對氣球模的去穩作用更強.

圖2 超電阻對理想氣球模線性增長率的影響,其中橫坐標 n 表示環向模數,縱坐標為歸一化氣球模線性增長率Fig.2.Effect of hyper-resistivity on the linear growth rate of ideal ballooning modes,where the x-coordinate represents the toroidal mode number,and the y-coordinate is the linear growth rate of ballooning modes.

同時考慮電阻和超電阻對氣球模的作用.先保持αH不變,改變電阻大小,分析氣球模線性增長率變化情況.由于超電阻和電阻對氣球模的作用機理和效果有相似之處,所以考慮存在電阻效應時,超電阻效應對氣球模歸一化線性增長率的影響.由圖3 可以看出,當超電阻為0 時,氣球模線性增長率隨著環向模數增大而變大;且在環向模數相同時,電阻越大,氣球模增長率也越大;在此條件下,加上超電阻后氣球模增長率會進一步增大.加上超電阻使氣球模增長率變化的增大值在保持αH不變且增長率足夠大的情況下幾乎不變.這說明,αH對氣球模不穩定特性起著關鍵作用.

圖3 不同電阻和超電阻條件下氣球模線性增長率隨環向模數的變化,其中超電阻和電阻的比值 αH=10-7 保持不變Fig.3.Linear growth rate of ballooning modes varies with toroidal mode number under different resistivity and hyperresistivity,the ratio of hyper-resistivity to resistivity remain unchanged,where αH=10-7 .

對比圖4 青色實線和紅色虛線可以發現,當環向模數低于50 時,考慮電阻時的氣球模線性增長率大于考慮超電阻時的氣球模線性增長率,當環向模數高于50 時,考慮超電阻的氣球模線性增長率大于考慮電阻的氣球模線性增長率.分析其他曲線,也有類似情況,對于在一定大小范圍內的電阻和超電阻,環向模數較低時,電阻對氣球模不穩定性的影響比超電阻強,但環向模數增大后,相同的超電阻對氣球模不穩定性的影響會強于此電阻.由(22)式可以看出,超電阻項與環向模數n的4 次方成正比,而電阻項與n的平方成正比,因此,電阻在環向模數較低的時候對氣球模不穩定性影響更強,而超電阻在環向模數較大時對氣球模不穩定性的影響會更強.

圖4 保持超電阻大小不變(ηH=10-16),不同電阻條件下氣球模線性增長率隨環向模數的變化Fig.4.The linear growth rate of the ballooning mode varies with the toroidal mode number under different resistivity conditions,keeping the values of the hyper-resistivity unchanged,where ηH=10-16 .

通過文獻[14,20]可知超電阻與電阻比值參數范圍為 10-6—10-4,因此,選取一個較小的超電阻(ηH=10-16),保持其值不變,只改變電阻值,研究氣球模歸一化線性增長率變化情況.由圖4 分析可知,考慮電阻和超電阻的氣球模線性增長率(除青色外的其他實線)都比只考慮電阻的氣球模線性增長率(青色實線)高,加上超電阻后氣球模線性增長率也會增大,雖然加上的是固定值的超電阻,但增長率的增大值卻有明顯變化,確切來說,αH減小,增長率增大值也變小.

結果表明電阻和超電阻對氣球模不穩定性均具有去穩作用,且它們的作用效果相似.當同時考慮電阻效應和超電阻效應的時候,它們對氣球模歸一化線性增長率的影響比單獨考慮電阻效應或者超電阻效應時大,但卻比兩者增長率的和小.這說明電阻和超電阻雖然都對氣球模不穩定性有去穩作用,但兩者之間存在競爭關系.在保持αH不變時,不同電阻情況下,加上超電阻導致的氣球模線性增長率與不加超電阻時的差值在增長率足夠大時基本不變.而當保持超電阻值不變時,不同電阻情況下,加上超電阻導致的氣球模線性增長率與不加時的差值有明顯變化,由此分析,超電阻與電阻的相對大小決定超電阻對氣球模不穩定性的去穩效果強弱.

而且在考慮電阻效應的情況下,當環向模數較小時,有無超電阻對氣球模歸一化線性增長率幾乎沒有影響,但隨著環向模數逐漸增大時,超電阻才開始對氣球模歸一化線性增長率有影響.這說明在環向模數較低時,超電阻效應對氣球模不穩定性的去穩作用被電阻效應掩蓋,進一步表明電阻效應與超電阻效應之間具有競爭關系.

為了研究超電阻效應與電阻效應之間的競爭關系,保持電阻(η=1×10-8)不變,改變超電阻值,使αH改變,氣球模線性增長率隨環向模數變化如圖5 所示.可以看出,雖然在環向模數較低時,超電阻對氣球模線性增長率沒有影響,但隨著環向模數增大,超電阻將使氣球模增長率變大,即超電阻對氣球模不穩定性起作用存在一個環向模數閾值(nth).當αH較大的時候,超電阻對氣球模歸一化線性增長率的影響在環向模數較低時就能顯現;相反,當αH很小時,超電阻對低環向模數氣球模幾乎沒有作用,僅對高環向模數氣球模有較小的去穩作用.這說明αH越大,超電阻對氣球模不穩定性起作用的nth越小.

圖5 不同 αH 條件下,氣球模線性增長率隨環向模數的變化情況,其中電阻 η =10-8 保持不變Fig.5.The linear growth rate of the ballooning mode varies with the toroidal mode number under different ratio of the hyper-resistivity to the resistivity,where the value of resistivity is a constant.

超電阻對氣球模起作用的環向模數nth隨αH的變化關系如圖6 所示.考慮不同電阻情況下,每個αH都有一個對應的環向模數nth與之對應,由模擬結果可以看出,αH越大,超電阻對氣球模歸一化線性增長率起作用的環向模數nth就越小,αH與nth之間呈現反比關系,αH越大,超電阻對氣球模線性不穩定性起作用的閾值越小.改變電阻值,這個趨勢基本保持不變.

圖6 不同電阻條件下,超電阻對氣球模線性增長率起作用的環向模數閾值與超電阻和電阻比值之間的關系,橫坐標為超電阻與電阻的比值 αH ,縱坐標為環向模數閾值nthFig.6.The threshold value of toroidal mode number varies with the ratio of hyper-resistivity to resistivity when the hyper-resistivity plays a role in the linear growth rate of the ballooning mode by changing the resistivity values.The xcoordinate is the ratio of the hyper-resistivity to the resistivity,and the y-coordinate is the threshold value of toroidal mode number.

研究非理想氣球模時,因壓強梯度產生的抗磁漂移不可或缺,所以為了契合實際,考慮抗磁效應,研究此時超電阻對氣球模線性增長率的影響.

同時考慮超電阻效應和抗磁效應后,探究此時超電阻對氣球模線性不穩定性的影響如圖7 所示.結果表明加入抗磁效應后,超電阻對氣球模線性增長率依然會隨著超電阻的變大而增大,在低環向模數至中環向模數時,隨著環向模數增大,氣球模線性增長率也隨之變大,但與無抗磁效應的情況相比,超電阻對氣球模線性增長率的作用明顯下降.在環向模數較高時,氣球模線性增長率下降得尤為明顯,結果表明對于高n模,抗磁效應對氣球模的穩定作用更加明顯,這與文獻[14]模擬結果一致.由(22)式可知,抗磁效應在高n模區間起穩定作用,是因為抗磁漂移直接作用在交換模驅動項[21],從而使氣球模變得穩定.

圖7 考慮抗磁效應條件下,超電阻對氣球模線性增長率的影響Fig.7.Effect of hyper-resistivity on the linear growth rate of ideal ballooning modes with diamagnetic effect.

考慮抗磁效應以后電阻和超電阻對氣球模增長率的影響如圖8 所示,由于抗磁效應對氣球模的有穩定作用,加入抗磁效應后增長率整體有減小.圖中αH保持不變,考慮超電阻后氣球模增長率的增大值基本不變,這說明抗磁效應作用下,依然滿足αH不變,氣球模線性增長率的增大值幾乎不變.總之,雖然逆磁效應對高n模氣球模有穩定作用,但其不改變電阻和超電阻對氣球模線性不穩定性的作用規律.

圖8 同時考慮抗磁效應、電阻和超電阻條件下,氣球模線性增長率隨環向模數的變化,其中 αH=10-7 保持不變Fig.8.With diamagnetic effect,the linear growth rate of ballooning modes varies with toroidal mode number under different resistivity and hyper-resistivity,keeping the ratio of hyper-resistivity to resistivity unchanged,where αH=10-7.

當(ηH=10-16)保持不變,改變電阻值并且考慮抗磁效應,氣球的線性增長率如圖9 所示.由圖9可知,加入抗磁效應后氣球模線性增長率減小;減小電阻,考慮超電阻和不考慮超電阻的氣球模線性增長率的增大值增大,說明考慮抗磁效應時,αH變大,氣球模線性增長率的增大值變大,即抗磁效應不改變圖4 得出的結論.

圖9 同時考慮抗磁、電阻和超電阻效應條件下,氣球模線性增長率隨環向模數的變化,其中超電阻大小(ηH=10-16)保持不變Fig.9.With diamagnetic effect,the linear growth rate of the ballooning mode varies with the toroidal mode number under different resistivity conditions,keeping the values of hyper-resistivity unchanged,where ηH=10-16 .

在圖10 中,黑色線條表示加入抗磁效應的環向模數閾值與超電阻和電阻比值關系曲線,橙色線條表示沒有抗磁效應的關系曲線,改變電阻大小,αH對氣球模起作用的閾值隨著比值的增大而增大,與不加抗磁效應的橙色線條相比并無太大區別,說明抗磁效應不影響超電阻起作用的閾值.從(22)式中可以得出,抗磁效應對氣球模不穩定性具有致穩作用,但超電阻與電阻在磁力線彎曲項,因此抗磁效應對超電阻的閾值沒有影響.總之,抗磁效應對氣球模有穩定作用,但其對超電阻和電阻效應在氣球模不穩定性中的作用規律沒有影響.

圖10 考慮抗磁效應時,環向模數閾值隨超電阻與電阻比值的變化Fig.10.With diamagnetic effect,the threshold value of toroidal mode number varies with the ratio of hyper-resistivity to resistivity.

由于氣球模穩定強烈依賴于磁剪切,因此,此處將探究不同磁剪切對氣球模線性增長率的影響,取參數α=0.46,n=50,η=10-8,ηH=1×10-15,結果如圖11 所示.模擬計算結果表明,磁剪切會影響超電阻對氣球模的作用.由圖11 可知,隨著磁剪切增大,氣球模線性增長率先快速增大,達到某值后又迅速減小,到達另一臨界值后又開始緩慢增大,呈現一個非線性的變化.當磁剪切取值在0.1—0.2時,理想氣球模處于第2 穩定區;隨著磁剪切增大,在 0.2—1.1 時,理想氣球模處于不穩定區;磁剪切繼續增大,大于1.1 時,理想氣球模處于第1 穩定區.當氣球模處于第1 穩定區時,線性增長率隨磁剪切增大,表明磁剪切增強了超電阻的去穩作用.由(22)式的磁力線彎曲項中的系數,即(24)式中的磁力線彎曲因子表達式:可知,磁剪切相關的量f2(Θ)=1+[sΘ-αsin(Θ)]2出現在(25)式分母的第2 項和第3 項,其中,超電阻與磁剪切均出現第3 項中,第3 項會隨著超電阻和磁剪切的增大而變大,進而減小磁力線彎曲項的穩定作用.上述結果表明,磁剪切會增強超電阻對氣球模的去穩作用,其物理機制是磁剪切較大時,超電阻導致的磁場擴散效應更強,從而降低磁力線彎曲對氣球模的穩定作用.

圖11 氣球模線性增長率隨磁剪切的變化關系(取參數α=0.46,n=50,η=10-8,ηH=1×10-15)Fig.11.Linear growth rate of ballooning modes varies with the growth of magnetic shear,with α=0.46,n=50,η=10-8,ηH=1×10-15.

不同磁剪切情況下,超電阻起作用的環向模數閾值與超電阻和電阻的比值的關系如圖12 所示.由圖12 可以看出,雖然磁剪切增大會減小閾值,但并不影響文中閾值與超電阻、電阻比值呈反比關系的結論.由(24)式可知,磁力線彎曲項中電阻與超電阻項對磁剪切的依賴不同,其中,超電阻項正比于f4(Θ) ,而電阻項與f2(Θ) 成正比,因此磁剪切改變了超電阻與電阻的競爭關系,使得超電阻的去穩作用更強,所以圖12 中呈現隨著磁剪切的增大,閾值減小.

圖12 不同磁剪切條件下,環向模數閾值隨超電阻與電阻比值的變化關系Fig.12.With different magnetic shear,the threshold value of toroidal mode number varies with the ratio of hyper-resistivity to resistivity.

4 結論

本文采用本征值方法研究了超電阻對氣球模線性不穩定性的影響.首先,從線性三場約化磁流體動力學方程出發,在磁場演化方程中加入超電阻項,通過標準氣球模轉換方法推導出非理想氣球模的本征方程.然后,采用打靶法求解包含超電阻項的氣球模本征方程得到其線性增長率,分析了不同參數條件下超電阻對氣球模不穩定性的作用.

數值計算結果表明,在不考慮電阻效應和抗磁效應的情況下,超電阻對氣球模不穩定性具有去穩作用,其物理機制是超電阻導致的電流擴散效應使得磁力線彎曲項對氣球模的穩定作用減弱,該去穩作用隨環向模數變大而增強.

考慮電阻效應時,電阻與超電阻對氣球模的作用有較多相似之處,電阻在環向模數較低時對氣球模不穩定性影響更強,而超電阻在環向模數較大時對氣球模不穩定性的影響會更強,且它們是競爭關系.從對氣球模的作用機理角度分析,電阻效應和超電阻效應都使得磁力線彎曲項對氣球模的穩定作用減弱.但電阻和超電阻共同存在時,氣球模歸一化線性增長率低于兩者單獨存在時氣球模線性增長率之和.因此,電阻效應和超電阻效應存在競爭關系,即考慮電阻效應時超電阻效應對氣球模的去穩作用減弱了,反之亦然.

當同時考慮電阻效應和超電阻效應時,超電阻效應對氣球模的去穩作用存在一個環向模數閾值,即當環向模數大于該閾值超電阻才會使氣球模變得不穩定.詳細研究發現該閾值和超電阻與電阻的比值成反比,與其絕對值無關.此外,計算結果表明抗磁效應對非理想氣球模有穩定作用,但其不改變本文得出的超電阻和電阻對非理想氣球模不穩定性的作用規律.磁剪切卻改變了超電阻與電阻的競爭關系,使得超電阻的去穩作用更強.