自然聯想出困境 有效生成巧解題

【摘 要】 從問題的條件和結論出發，聯系已有的知識、原理、方法、經驗進行自然聯想，去粗取精，去偽存真，生成有效的解題思路是解決問題的重要策略.結合一道尺規作圖題的求解過程，對此進行剖析和思考總結.【關鍵詞】 等分面積；自然聯想；生成

1 試題呈現

（2023春南京市秦淮區統考第27題）如圖1，AB是⊙O的弦，AB=2，∠AOB=60°.P是優弧AB上的一個動點（不與點A和點B重合），PA，PB， AB 組成了一個新圖形（記為“圖形P AB ”），設點P到直線AB的距離為x，圖形P AB 的面積為y.

（1）求y與x之間的函數表達式，并寫出自變量x的取值范圍；

（2）記扇形OAB的面積為S 扇形OAB ，當y=S 扇形OAB 時.

①在圖2中，作出一個滿足條件的點P；（尺規作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）

②在第①題所作圖中，連接PA，PB.再畫一條線，將圖形P AB 分成面積相等的兩部分.（畫圖工具不限，寫出必要的文字說明.）

（注：第②題滿分4分，如果你畫的是折線，答案正確得1分；如果你畫的是弧，答案正確得2分；如果你畫的是直線，答案正確得4分.）

2 解法探究

本題第（1）問略.第（2）①問，點P需滿足條件S △APB =S △AOB .因為兩個三角形同底，所以需等高，依此原理，可按“以點A為圓心，OA長為半徑作弧交⊙O于點P”實現作圖.筆者主要探究第（2）②題的解法.

第一步，弄清條件：什么已經確定了？從線段、角等局部元素到整體圖形以及它們之間的關系中去找.本題中的“注”也暗示著一種確定，只是實現的難度不同.第二步，審視結論：任務的實質是什么？等分圖形P AB 的面積就是要分出面積為S 扇形OAB 一半的部分.第三步，審視自己：會做什么？困難是什么？即自己掌握了哪些原理、方法或已積累的經驗可以得到面積相等.本題的困難是如何畫線分弓形、如何處理 AB 使面積被等分.

正如，雅思貝爾斯所說：生成來源于歷史的積聚和自身不斷重復努力 [1] .弄清經驗，有了努力的底蘊；弄清難點，有了努力的方向，難點就是突破點.

路徑1 化整為零，分別等分

將等分圖形P AB 的面積轉化為分別等分△PAB和弓形的面積.等分△PAB的面積，可畫中線得面積比為1∶1，也可畫平行線用相似分面積比為1∶2，學生都比較熟悉.難的是如何在弓形中實現等分面積？難處就是痛處，首先考慮如何等分弓形的面積.

思路1 面積比為1∶1

從圖形的對稱性出發，最自然的想法是連結弧的中點D和弦的中點C畫線段CD，再順勢畫出中線PC，則折線PCD為所求.

法1 如圖3，過點O作OC⊥AB交⊙O于點D，垂足為點C.連結PC，CD，則折線PCD即為所求.

如圖3，由垂徑定理得AC=BC，∠AOD=∠BOD，則S △PAC =S △PBC ，S △AOC =S △BOC ，S 扇形OAD =S 扇形OBD ，所以S ACD AD ?=S BCD BD ?，則圖形P AB 被折線PCD分成面積相等的左右兩個部分，如圖4，5，6.

思路2 面積比為1∶2

數缺形時少直觀，形少數時難入微.法1從圖形的對稱性突破了平分弓形面積的難點，能否從數的角度來探討一下呢？算算看！由AB=R，∠AOB=60°知S A-B- AB ?=60360πR2-34R2.將分出的部分記為①，則S ① =12S A-B- AB ?=60360π（22R）2-34（22R）2=60360πr2-34r2，其中r=22R，即r∶R=1∶2.構造以r為半徑，圓心角為60°的扇形，連結弧所對的弦就可得到①.需同時將△PAB分出一部分（記為②），使S ② ∶S △PAB =1∶2.由三角形的面積比自然聯想到相似.常用方法是畫平行線.兩個三角形的相似比為1∶2.也是1∶2，多么美妙的相遇！其實，圖形 P CD ?與圖形P AB 是相似的.

法2 如圖7，作MN=PA，以MN為直徑作圓，則MT∶PA=1∶2.以點P為圓心，MT長為半徑作弧交PA于點C.以點C為圓心，PC長為半徑作弧，兩弧交于點E.以點E為圓心，EC長為半徑作弧交PB于點D， CD 即為所求.

路徑2 通盤考慮，一分為二

將等分面積轉化為在圖形P AB 中分出一部分，使它的面積為圖形P AB 面積的一半.

思路1 美麗弧線，為所善為弧、面積兩者有關聯嗎？有，它們的關聯點就是扇形.畫出弧，連接半徑就能形成扇形.故只需在圖形P AB 中分出一個扇形，使它的面積等于S 扇形OBD .∠P=12∠AOB=30°，PA=OA=2，顯然可以實現.

法3 如圖8，以P為圓心，PA長為半徑作弧交PB于點F， AF 即為所求.簡潔美麗！

思路2 化折為直，巧成新解

畫折線PCD得圖5、圖6，其面積都等于圖形 P AB ?面積的一半.能否化折為直找到新解呢？難點是如何處理 AB 使面積能被等分.聯想到 AB 的中點D.由圖3，S ACD AB ?=S BCD BD ?，S A-D- AD ?=S BD BD ?.所以求作的直線必過點D.難點得到了突破！

在圖51中，過點D任意畫一條直線試試.若直線能平分圖形P AB 的面積，則它還需使陰影部分的兩個三角形面積相等，所以需MC∥PD，則點M確定.法4 如圖9，過點O作OC⊥AB交⊙O于點D，垂足為C.連接PD，過點C作CM∥PD交PB于點M，畫直線MD即為所求.

法5 如圖10，過點O作OC⊥AB交⊙O于點D，垂足為C.連接PD，過點A作AE∥PD，交BP的延長線于點E.取BE的中點M，畫直線DM即為所求.

在圖6中補上△OBC，如圖61，再看看.所求的直線要平分圖形P AB 的面積，則需滿足：1.過點D；2.在圖形P AB 中分出面積等于S 扇形ODB 的部分，則需作OM∥BD.較法4、法5更為簡單明了.法6 如圖11，過點O作OC⊥AB交⊙O于點D，垂足為C.連接BD，過點O作OM∥BD交PB于點M，畫直線MD即為所求.

拓展引申 學以致用，自然生成

若本題第（2）問刪去條件y=S 扇形OAB 和問題①，還能完成問題②的作圖嗎？你能自然聯想到什么？又能生成哪些方法呢？試一試.3 思考總結

在解題中如何才能從自然聯想開始，突破難點，最后生成合理有效的解答呢？

3.1 湊兩頭，立足原理，讓思緒有章可循

“授之以魚”不如“授之以漁”.“魚”是解決問題的方案，“漁”是工具箱和方法策略.問一問我有什么？我能做什么？要我做什么？有哪些實現的路徑？難題之難在于條件和任務兩頭的對接更發散、更曲折，常常求而不得！這時再問一問這幾個問題，思路就不會混亂.

3.2 巧轉化，突破難點，讓聯想自然順暢

學之道在于悟，悟之道在于通.解題之難在于思而不通.如何突破？要弄清它是什么？它在哪里？聯想到什么？如何轉化？從最容易想到的折線到最難想到的直線只有一步之遙，越樸素的想法往往越能催生妙招，緊扣關鍵屬性進行轉化并一以貫之，才能讓聯想自然順暢.

3.3 辨真偽，動態調整，讓生成合理有效

做學問講究審問、慎思、明辨.自然聯想通常是開放而且多元的，要加以辨析，去偽存真，逐步靠近目標.聯想要聯系條件、結論和基本原理，結合基本圖形和已有經驗來進行，在此過程中不斷地反思和質疑，作出選擇和調整，尋找出路，才能生成解決問題的有效方案.

總之，正如雅思貝爾斯所說，人的生成似乎是于不知不覺的無意識之中達到的，但這無意識曾是在困境中以清醒意識從事某事的結果 [1] .在經歷思辨的痛苦之后，形成自己的理解和感悟，才能生長為自我的解題能力和數學思維能力.

參考文獻

[1]雅思貝爾斯.什么是教育[M].上海：三聯書店，1991：14.

作者簡介 何一鸞（1979—），女，江蘇如皋人，碩士，中學一級教師；研究方向為數學課程與教學論.