勾股定理的“無字證明”教學思考

李發勇

【摘 要】 以勾股定理的“無字證明”為載體，利用數形結合的思想和方法，探究勾股定理的“無字證明”多樣化思考方法，培養學生的幾何直觀核心素養.

【關鍵詞】 無字證明;數形結合思想;多樣化思考;幾何直觀

數學中，有一種利用圖形直接給予證明的形式，稱為“無字證明”，由于其不證自明的特性，這種證明方式被認為比嚴格的數學證明更為優雅與有條理，深受數學家的喜愛.“無字證明”體現的正是幾何直觀的核心素養，蘊含數形結合思想的實際應用.

勾股定理的“無字證明”是現行華師大版八年級上冊第124頁一則閱讀材料，讓我們一起來領略“無字證明”的數學魅力吧！

1 創設情境，回顧感知

在學生自學的基礎上，指出課題：勾股定理的“無字證明”.

出示勾股定理：如果直角三角形兩直角邊分別為a，b，斜邊為c，那么a2+b2=c2.

師：勾股定理是幾何學中一顆光彩奪目的明珠，不斷激發人們的探究熱情，在教材勾股定理部分，我們學習了下面兩種證明方法，你有什么收獲呢？

如圖1，勾股定理劉徽證法：

（b－a）2+4×12ab=c2，

化簡得a2+b2=c2.

如圖2，勾股定理趙爽證法：

（a+b）2=4×12ab+c2，

化簡得a2+b2=c2.

這種根據圖形直觀推論或驗證數學規律和公式的方法，簡稱為“無字證明”.

點撥1 “幾何”主要是指“圖形”，“直觀”主要是指“直覺”.幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題，是數形結合思想的一種體現，是一種有效的數學學習方式和教學方式.2 全等圖形組合，啟迪探究證明

對于勾股定理，除了上述證法外，你還可以找到不同的“無字證明”方法嗎？請你試一試.

2.1 分割鑲嵌，等積拼接 [1]

作圖：先畫Rt△ABC，再以三邊之長向外作正方形，按圖3所示作DE∥AB，然后作FG⊥DE，端點均在邊長為b的正方形上.

操作：剪下兩個小正方形，再沿DE，FG剪下，這樣邊長為b的正方形被分割成1，2，3，4部分，分別平移至邊長為c的正方形中，分別對應1′，2′，3′，4′部分位置，最后，將邊長為a的正方形5平移至5′部分位置.

結論 由于拼接無重疊、無空隙，所以a2+b2=c2.

2.2 割補轉移，直觀拼接 [2]

如圖4，以a，b為直角邊，c為斜邊作四個直角三角形，拼成圖4所示的圖形，使C，B，D三點在一條直線上.

由于c2=S1+S2+S3+S4，而S1=S2=S5=S6+S7，

所以c2=S5+（S6+S7）+S3+S4.

又S3+S5+S6=b2，S4+S7=a2，

代入上式，即得a2+b2=c2.

2.3 數形結合，等積計算

如圖5，以a，b為直角邊，c為斜邊作兩個直角三角形，拼成圖5所示的圖形，使C，B，D三點在一條直線上.

在直角梯形AEDC中，S=12（AC+DE）CD，

所以S=12（b+a）（a+b），

而S AEDC =2S △ABC +S △ABE ，所以

12 （a+b） 2=2×12ab+12c2，

化簡，得a2+b2=c2.

點撥2 勾股定理的“無字證明”關鍵是通過幾個全等直角三角形，組合成特定形狀的圖形，然后，利用圖形特征獲得巧妙證明

.3 圖形變換，開啟新思路

思路一 基于圖1改組后利用面積關系

證法一 先以a，b為直角邊，c為斜邊作三個直角三角形，面積均為12ab，再以c為邊長作正方形ABDE，拼成如圖6所示的圖形.延長DG交AC于點F，由于∠ABC=∠DBG，所以∠CBG=∠ABC+∠ABG=∠DBG+∠ABG=90°.

又∠C=∠BGF=90°，BC=BG=a，可推知四邊形BCFG為正方形，所以DF=a+b，FH=b，AF=b－a.

在五邊形ACBDE中，

S △ABC +S 正方形ABDE =S 直角梯形BCFD +S △DEH +S 直角梯形AFHE .

其中，S 正方形ABDE =c2，

S 直角梯形BCFD =12（a+a+b）a=a2+12ab，

S 直角梯形AFHE =12（b－a+b）b=b2－12ab，

所以12ab+c2=（a2+12ab）+12ab+（b2－12ab），

化簡，得a2+b2=c2.

思路二 簡化圖1后割補利用面積關系

證法二 以a，b為直角邊，c為斜邊作兩個直角三角形，面積均為12ab，拼成如圖7所示的形狀，點E在AC上.連結BD交AC于點F，由于∠BAD=90°，所以△ABD為等腰直角三角形，面積為12c2.在DE上截取DG=BC=a，則GE=b-a，作GH⊥DE交BD于點H，易證△DGH≌△BCF，所以GH=CF. 圖7

S 直角梯形GEFH =12（GH+EF）·GE，

而EF+GH=EF+CF=CE=GE=b－a，

所以S 梯形GEFH =12（b－a）2.

因為S △ABD =2S △ABC +S 梯形GEFH ，

所以12c2=12ab×2+12 （b－a） 2，

化簡，得a2+b2=c2.

思路三 基于圖2改組后利用面積關系 圖8

證法三 先以a，b為直角邊，c為斜邊作兩個直角三角形，面積均為12ab，再以b為邊長作正方形ACDE，拼成如圖8所示的圖形.在DE上截取EG=a，連結AG，可得△AGE≌△ABC，所以∠GAE=∠BAC，AG=AB=c，S △AGE =12ab.

∠BAG=∠BAC+∠CAG=∠GAE+∠CAG=90°，

又∠ABF=∠ABC+∠FBH=90°，由于AB=BF=AG=c，可證得四邊形ABFG是邊長為c的正方形.由于CD=BH=b，所以DH=BC=a.

在五邊形ABFDE中，

S 正方形ABFG +S △FDG +S △AGE =S △BDF +S 直角梯形ABDE .

其中，S 正方形ABFG =c2，

S △FDG =12DG·DH=12（b－a）a，

S △BDF =12BD·FH=12（a+b）a，

S 直角梯形ABDE =12（AE+BD）·AC=12（b+a+b）b=b2+12ab，

所以c2+12（b－a）a+12ab=12（a+b）a+b2+12ab，

化簡，得a2+b2=c2.

思路四 簡化圖3后利用面積關系

證法四 如圖9，以a，b為直角邊，c為斜邊作Rt△ABC，以b為邊長向外作正方形ACDE，由于∠BCD=∠ACB+∠ACD=180°，所以點C在BD上.

截取EF=BC，連結AF，易得△AFE≌△ABC，所以∠EAF=∠BAC，AF=AB=c.連結BF， 圖9

所以∠BAF=∠BAC+∠CAF=∠EAF+∠CAF=90°，

所以△ABF是等腰直角三角形.

由于S ABDE =S △ABC +S ACDE =S △BDF +S △ABF +S △AEF ，

而S △ABC =S △AEF ，所以S ACDE =S △BDF +S △ABF .

又BD=a+b，DF=b－a，

所以S △BDF =12BD·DF=12（a+b）（b－a），

S ACDE =b2，S △ABF =12c2，

所以b2=12（b+a）（b－a）+12c2，

化簡，得a2+b2=c2.

思路五 基于圖4改變小正方形的位置，再進行割補拼接

證法五 先作邊長為b的正方形ACEF，再以a，b為直角邊，c為斜邊作三個直角三角形，拼成圖10所示的圖形.連結BD交EF于點P，則∠BAG=∠AGD=90°，又AB=AG=DG=c，所以四邊形ABDG為正方形.最后，作正方形BCMN，其邊MN交AB于點K，面積為a2.由于DQ=BN=a，∠DQP=∠N=90°，∠DPQ=∠BKN，所以△DPQ≌△BKN，則S1=S5.

又BE=AM=b－a，∠E=∠AMK=90°，∠EBP=∠MAK，所以△BEP≌△AMK，則S6=S8.于是c2=S1+S2+S3+S4+S5，

因為S2=S4=S7+S8，

所以c2=S1+2S7+2S8+S3+S5，

所以c2=S5+2S7+2S6+S3+S5，

而S5+S7=a2，因為S3+S5+S6+S7+S8=b2，

所以a2+b2=c2.

證法六 先作邊長為b的正方形ACEF，再以a，b為直角邊，c為斜邊作三個直角三角形，拼成圖11所示的圖形，連結BD交EF于點P，則∠BAG=∠AGD=90°，又AB=AG=DG=c，所以四邊形ABDG為正方形，面積為c2.最后，作正方形DQMN，其邊MN交DG于點K，面積為a2.

由于DQ=DN=a，∠DQP=∠N=90°，∠PDQ=∠KDN，所以△DPQ≌△DKN，則S1=S2；

又BE=GM=b－a，∠E=∠KMG=90°，∠BPE=∠GKM，所以△BEP≌△GMK，則S3=S7.

由于c2=S1+S8+S3+S4+S5，

因為S5=S6，

所以c2=S2+S8+S3+S4+S6，

而S2+S8=a2，S4+S6+S7=b2，

所以a2+b2=c2. 證法七 先作邊長為b的正方形ACEF，再以a，b為直角邊，c為斜邊作三個直角三角形，拼成圖12所示的圖形，連結BD交EF于點P，則∠BAG=∠AGD=90°，又AB=AG=DG=c，所以四邊形ABDG為正方形，面積為c2.最后，作正方形GFMN，其邊MN交AG于點K，面積為a2.

由于DQ=GN=a，∠DQP=∠N=90°，∠PDQ=∠KGN，所以△DQP≌△GNK，則S1=S8；又BE=AM=b－a，∠E=∠AMK=90°，∠EBP=∠MAK，所以△BEP≌△AMK，則S5=S7.

由于c2=S1+S2+S3+S4+S5，

因為S2=S6，

所以c2=S8+S6+S3+S4+S7，

而S4+S8=a2，S3+S6+S7=b2，

所以a2+b2=c2.

思路六 基于圖5平移后利用面積關系

證法八 先以a，b為直角邊，c為斜邊作兩個直角三角形，拼成如圖13所示的圖形，點E在AC上.連結AD，BD，設AB，CD交于點F，由于∠ABC+∠BAC=90°，又∠ABC=∠DCE，所以∠DCE+∠BAC=90°，所以∠AFC=90°.

在四邊形ACBD中，S ACBD =12AB·CD=12c2.

在直角梯形BCED中，S BCED =12（BC+DE）·CE=12（a+b）a.

在Rt△ADE中，AE=b－a，S △ADE =12AE·DE=12（b－a）b.

而S ACBD =S BCED +S △ADE ，

所以12c2=12（a+b）a+12（b－a）b，

化簡，得a2+b2=c2.

證法九 先以a，b為直角邊，c為斜邊作兩個直角三角形，拼成如圖14所示的圖形，點E在AC上.連結BD，BE，設AB，DE交于點F，由于∠ABC+∠BAC=90°，又∠ABC=∠AED，所以∠AED+∠BAC=90°，所以∠AFE=90°.

在四邊形ADBE中，S ADBE =12AB·DE=12c2.

在直角梯形ACBD中，S ACBD =12（BC+AD）·AC=12（a+b）b.在Rt△BCE中，CE=b－a，S △BCE =12CE·BC=12（b－a）a.

而S ACBD =S ADBE +S △BCE ，

所以12（a+b）b=12c2+12（b－a）a，

化簡，得a2+b2=c2.

點撥3 利用平移、旋轉、對折等方式，將一個簡單圖形制作成新圖案的過程，經歷觀察、操作、想象的數學活動，發展學生的空間觀念，培養學生的觀察能力、動手操作能力和邏輯推理能力，學會欣賞數學美.

4 拓展延伸，創新思考

4.1 課外拓展：現在或課后請你和大家一起，查閱課本和其它有關書籍，或上網查閱各種相應的數據，相信你一定能夠找到更多有趣的圖形，驗證勾股 定理.

4.2 應用

你還可以發現，“無字證明”也可以用于驗證數與代數、圖形與幾何等領域中的許多數學公式和規律.“無字證明”體現了數形結合的思想方法，展示了數學美.舉例如下.

如圖15，推導梯形面積公式：S=12（a+b）h.

如圖16，驗證兩數和的完全平方公式：

（a+b） 2=a2+2ab+b2.

如圖17，求自然數前n項的和1+2+3+……+n=？

用點陣表示各數，如圖17.

將斜線左邊的點陣旋轉180°，行對齊放置在斜線右邊，顯然，每層都有n+1個點，共n層，共n（n+1）個點，則1+2+3+…+n=12n（n+1）.

5 反思

開發閱讀材料作為數學知識和方法的一個生長點，源于教材，始于好奇，驅使學生產生強烈的求知欲，通過不斷猜想、探究，獲得創新成果.

勾股定理的“無字證明”是對課本知識在深度和廣度上的進一步延伸和拓展，讓學生體驗割、補、拼等面積關系，使學生感受解決問題方法的多樣性和開放性，從而激發學生的探究意識，享受幾何直觀數學思維的快樂，體會勾股定理的文化價值，培養學生良好的數學思維品質.參考文獻[1]張青云.對勾股定理的一個無字證明的研究[J].數學教學，2008（4）：9，43.

[2]車勇.運用圖形變換證明勾股定理[J].中學生數理化（教與學），2010（01）：35-36.