一道運動學競賽題的多種解法探究

李彥琦 王智秀 白雪 鄭勤紅

摘?要：以第37屆全國中學生物理競賽預賽第12題為例，分析題目的考查點，展示題目原解，依據不同物理原理和方法求解該競賽題，幫助學生學習領會同一問題分別運用牛頓運動定律、圖像法、動能定理、動量定理進行求解的思路和方法，培養和提高學生解決問題的能力，培養學生的科學思維。

關鍵詞：圖像法；動能定理；動量定理

Research?on?Multiple?Solutions?to?A?Kinematics?Competition?Problem

—Taking?the?12th?Question?of?the?Preliminary?Round

of?the?37th?National?High?School?Physics?Competition?as?an?Example

Li?Yanqi?Wang?Zhixiu?Bai?Xue?Zheng?Qinhong

College?of?Physics?and?Electronic?Information，Yunnan?Normal?University?YunnanKunming?650500

Abstract：Taking?the?12th?question?of?the?37th?National?Physics?Competition?for?Middle?School?Students?as?an?example，this?study?analyzes?the?examination?points?of?the?question，displays?the?original?solution?of?the?question，solves?the?competition?question?based?on?different?physics?principles?and?methods，helps?students?learn?and?understand?the?ideas?and?methods?of?using?Newton's?laws?of?motion，image?method，kinetic?energy?theorem，and?momentum?theorem?to?solve?the?same?problem，cultivates?and?improves?students'?problemsolving?ability，and?cultivates?their?scientific?thinking.

Keywords：image?method;Kinetic?energy?theorem;Momentum?theorem

1?原題

潛艇從海水高密度區域駛入低密度區域，浮力頓減，潛艇如同汽車那樣掉下懸崖，稱之為“掉深”，曾有一些潛艇因此沉沒。某潛艇總質量為3×103t，在高密度海水區域水下200m沿水平方向緩慢潛航，如圖1所示。當該潛艇駛入海水低密度區域時，浮力突然降為2.4×107N；10s后，潛艇官兵迅速對潛艇減重（排水），此后潛艇以1.0m/s2的加速度勻減速下沉，速度減為零后開始上浮，到水下200m處時立即對潛艇加重（加水），使其緩慢勻減速上浮，升到水面時速度恰好為零。取重力加速度為10m/s2，不計潛艇加重和減重的時間和水的黏滯阻力。求：（1）潛艇“掉深”達到的最大深度（自海平面算起）；（2）潛艇為阻止“掉深”減重后的質量以及升到水面時的質量［1］。

2?試題分析

本題考查學生對于牛頓第二定律和運動學公式的掌握情況，準確地選擇和使用相關公式解決問題是解決該題的關鍵。根據題意可知，潛艇從水下200m的深度“掉深”后，通過改變自身質量的方法最后實現到達水面時速度為零，整個運動過程并不是一個簡單的勻變速直線運動過程，而是多段勻變速直線運動的組合，過程清晰、列式準確就可以解決這道題。

3?答案解析

（1）由牛頓第二定律，潛艇剛“掉深”時加速度a1滿足：

m0g－F=m0a1（1）

式中，按題給數據，此時潛艇所受浮力F=2.4×107N。解得a1=2m/s2，方向豎直向下“掉深”歷時t1=10s時，潛艇下落高度為：

h1=12a1t12=100（m）（2）

潛艇速度為：

v1=a1t1=20m/s（3）

減重后，潛艇以加速度a2=1m/s勻減速下落，直至其速度為零，潛艇下落的距離為：

h2=v122a2=200（m）（4）

潛艇“掉深”達到的最大深度為：

h=h0+h1+h2=500（m）（5）

（2）潛艇在減重后減速下降過程中，由牛頓第二定律有：

F－m1g=m1a2（6）

解得m1≈2.2×106（kg）。

設潛艇從水面下200m處升到水面的過程中加速度為a3，按運動學公式有：

v2h－h0=2a2（h1+h2）=2a3h0（7）

解得a3=1.5m/s2，方向豎直向下。

在潛艇從水面下200m處升到水面的過程中，由牛頓第二定律有

m2g－F=m2a3（8）

解得m2≈2.8×106（kg）。

參考答案給出的解題思路是將潛艇從開始下沉到浮出水面的整個運動過程分解成幾段簡單的勻變速直線運動，再運用相關公式進行計算，得到題目要求的各物理量。該解法符合學生的基本認知，是大多數同學會采用的方法。考慮到該題過程較多，還可以采用圖像法、運用動能定理、動量定理來解決問題。

4?其他解法探究

4.1?利用圖像法求解總位移和相關質量

圖像法是更加直觀地解決運動學問題的方法［2］。通過構建運動圖像，利用圖像面積和斜率所代表的物理意義可非常簡單地求解相關物理量，尤其是v－t圖像法，是中學生熟悉的方法。

（1）由牛頓第二定律，潛艇剛“掉深”時，加速度a1滿足：

m0g－F=m0a1（9）

潛艇所受浮力F=2.4×107N，解得a1=2m/s2（方向豎直向下）。

假設加速度方向向上為正方向，則潛艇從剛“掉深”到速度為零所對應的a－t圖像和v－t圖像如圖2所示。

由圖1（a）和圖1（b）的圖像面積，可求得速度和位移分別為：

面積S1=OA×AB=v1=20（m/s）（10）

面積S2=12HJ×JI=h1=100（m）（11）

潛艇從速度v1減速到0的過程中，加速度a2=1m/s2（方向向上），即圖1（b）中線段IK斜率k1=1。

面積S3=12JI×JK=h2=200（m）（12）

潛艇“掉深”的總深度為：

h=h0+h1+h2=500（m）（13）

（2）潛艇在減重后減速下降過程中，由牛頓第二定律得：

F－m1g=m1a2（14）

解得m1≈2.2×106（kg）。

畫出“潛艇”完整的v－t圖像，如圖3所示。

潛艇減速到零，在浮力作用下向上加速，上升到距離水面200m的深度（回到最初的深度），此過程中加速度不變，即MN段斜率仍為1。

面積S4=S2+S3=12MO×ON=300（m）（15）

MO=ON=10?6（16）

解得Δt1=10?6s，Δv1=10?6m/s，

面積S5=12ON×OP=200（m）（17）

解得OP=20?63，

線段NP的斜率k2=ONPO=－1.5，即物體運動的加速度a3=－1.5m/s2，由牛頓第二定律得：

m2g－F=m2a3（18）

解得m2≈2.8×106（kg）。

4.2?運用動能定理求解總位移和相關質量

對于高中物理來說，如果遇到相對復雜的問題時，就會使用動能定理來解答多個物體之間相互作用的問題［3］。這樣可以避開物體復雜的運動過程，將分析重點落在運動物體的初、末狀態，以此來簡化整個過程，從某種角度來講這是一種將多個不同的運動過程進行“累加（求和）”的思想。基于這種思想，可以利用比值的方法來求不同的運動過程物理量之間的比值關系。

（1）潛艇向下運動的過程分為兩個勻變速直線運動過程，分別對每一段列動能定理方程設加速度方向向下為正，

（m0g－F）h1=12m0v12（19）

（m1g－F）h2=－12m1v22（20）

v1=v2（21）

h1h2=－m0（m1g－F）m1（m0g－F）（22）

由牛頓第二定律得：

m0g－F=m0a1（23）

解得a1=2m/s2

h1=12a1t12=100（m）（24）

m1g－F=－m1a2（25）

由題可知a2=1m/s2，方向向上，代入（25）式得m1≈2.2×106（kg），

h1h2=12（26）

h2=2h1=200（m）（27）

h=h0+h1+h2=500（m）（28）

（2）潛艇從最深處上升到距水面200m處的速度，

v32=2a2（h1+h2）（29）

解得v3=10?6m/s。

潛艇從200m上升到水面的運動過程列動能定理：

（F－m2g）h0=－12m2v32（30）

解得m2≈2.8×106（kg）。

4.3?運用動量定理求解總位移和相關質量

面對復雜的受力情況及變力做功問題時，一般優先考慮用能量或動量觀點，因為其求解過程往往比用動力學方法更簡捷［4］。根據動量定理公式推導計算出與所求物理量有關的各物理量即可。

（1）將潛艇向下運動到最大深度的過程分為兩段運動過程，分別對每一段列動量定理方程，

（m0g－F）t1=m0v1（31）

題中給出t1=10s，代入（34）式得：

v1=（m0g－F）t1m0=20m/s（32）

潛艇減重后列動量定理方程：

（m1g－F）t2=－m1v2（33）

t2=m1v2m1g－F（34）

根據牛頓第二定律：

m1g－F=－m1a2（35）

由題可知a2=1m/s2，方向向上，代入（35）式得m1≈2.2×106（kg），

v1=v2（36）

將各數據代入（34）式得t2=20s，

h1=v12t1=100（m）（37）

h2=v22t2=200（m）（38）

h=h0+h1+h2=500（m）（39）

（2）從最深處升到距離水面200m的過程中，

h1+h2=12a2t32（40）

解得t3=10?6s，此時對應潛艇速度

v3=a2t3=10?6m/s（41）

從水深200m上升到水面的過程中：

h0=v32t4（42）

（m2g－F）t4=－m2v3（43）

解得m2≈2.8×106（kg）。

5?小結

對比分析各種解題方法可以發現，運用圖像法、動能定理和動量定理解題時，需要利用不同的運動學公式，需要根據所用方法使用相應的公式簡化計算過程。因此，要求學生對運動學相關公式的掌握非常準確且熟練。本文所選例題既體現了當下試題側重在實際情景中運用物理知識解決問題的趨勢，又體現了以多種方法、多個角度來解決復雜過程物理問題的思路，有助于學生拓展解題思路，培養科學思維。

參考文獻：

［1］第37屆全國中學生物理競賽預賽試題.

［2］陳衛國.圖像法解一類“子彈打木塊”模型［J］.物理教師，2021，42（08）：6669.

［3］章啟賢.在動量定理解題中微元法的巧妙應用［J］.中學物理教學參考，2020，49（12）：7173.

［4］袁剛.高中物理問題中動能定理的效用［J］.考試周刊，2018（A0）：164.

基金項目：教育部教師隊伍建設示范項目“4+2卓越中學教師培養模式”（編號：06156PY）

作者簡介：李彥琦（1998—?），女，漢族，甘肅白銀人，碩士研究生，研究方向：物理學科教學研究。

*通訊作者：鄭勤紅（1962—?），男，博士，教授，博士生導師，主要從事物理教學、計算物理等研究。