孤立翼尖渦模態演化規律的實驗研究

吳奕銘，邱思逸，向陽，劉洪

上海交通大學 航空航天學院，上海 200240

翼尖渦是由機翼上下表面壓力差產生的一種大尺度渦結構，在飛機起降階段，這種典型結構會威脅后續飛機的飛行安全，降低機場的起降頻率［1］。為了高效地衰減翼尖渦的強度和持續時間，翼尖渦的主動控制方法逐漸受到重視。然而，對翼尖渦不穩定性認知的不足是導致翼尖渦主動控制技術發展困難的原因之一［2］。在過去翼尖渦不穩定性主動控制研究中，最有價值的研究之一是Edstrand 等［3］在2018 年利用穩定性分析方法指導翼尖渦主動衰減的研究。通過對NACA0012 機翼產生的尾渦流場進行穩定性分析，發現增長速率最小的第5 階尾跡模態因為其獨特的結構提供了激發翼尖渦不穩定性的途徑，基于第5 階模態的控制裝置的性能優于基于主擾動模態的裝置。但是現象背后的機制尚未表明，需要研究翼尖渦的模態演化規律，揭示次級模態隨著流向發展的規律以及對翼尖渦不穩定性的影響。

在翼尖渦的不穩定特征方面，對于更貼近真實飛機飛行的反向翼尖渦對，其不穩定性特征集中在翼尖渦的少量湍流結構促進渦對的正弦形變和自誘導作用［4］，根據其周期性特征可分為長波不穩定性［5］和短波不穩定性［6］。而對于一個孤立翼尖渦，其不穩定性特征主要表現為渦在流向截面內的低頻振蕩，即翼尖渦搖擺運動（Vortex Wandering）。這種現象最初由Baker 等［7］在水槽實驗中發現，這種搖擺運動使翼尖渦物理參數的測量與求解產生誤差，同時，如何消除這種搖擺運動帶來的誤差和其內在的物理機制一直是研究的重點。Devenport 等［8］首次通過反卷積修正法對翼尖渦搖擺現象予以修正，同時在施特魯哈爾數St較小的條件下，觀察到翼尖渦搖擺的各向異性現象。Deem 等［9］在此基礎上證明翼尖渦的瞬時渦核位置分布滿足高斯分布的規律。Bailey和Tavoularis［10］通過熱線測量得到雷諾數105的翼尖渦搖擺的主頻約在10 Hz 量級；薛棟等［11］使用單點譜分析和模態分解技術得到在雷諾數103量級下，翼尖渦的搖擺運動存在主導頻率，主頻率約為1 Hz。在此基礎上，Edstrand 等［12］通過線性穩定性分析（Linear Stability Analysis，LSA）得到翼尖渦的主擾動模態并和翼尖渦實驗數據的本征正交分解（POD）模態對比，證明翼尖渦搖擺來源于其內在不穩定性特征。Cheng 等［13］通過對孤立翼尖渦的體視粒子圖像測速技術（SPIV）和線性穩定性分析進一步發現孤立翼尖渦搖擺幅值與翼尖渦的不穩定性放大率存在某種量化關系。

長期以來，翼尖渦不穩定模態的研究主要聚焦于最不穩定模態的結構特征以及最不穩定模態促進擾動增長的內在機制。孤立翼尖渦的最不穩定模態主要分為黏性和非黏性2 種情況，對無黏性的研究可以追溯到Lessen 等［14］在發現與渦旋旋轉相反的方位波數為負的螺旋模態在無黏極限下是不穩定的，并且占主導地位。對于黏性情形，孤立渦則會表現出多種不穩定模態，在臨界雷諾數（Critical Reynolds Number）較小的情況下，翼尖渦的不穩定性受周向波數m最低的螺旋模態影響較大（m=±1），而周向波數較高的模態（m>1）則在雷諾數較高的情況下占據主導地位［15］。Leibovich 和Stewartson［16］進行了柱狀渦旋不穩定性的漸近分析，指出擾動在達到最大增長率的臨界半徑處的擾動峰值，與擾動的模態結構有關。Gallaire 和Chomaz［17］揭示了旋轉射流雙螺旋模態的模態選擇機制，發現螺旋模態的選擇是由離心力決定的，而軸向和方位剪切模態也是促進螺旋模式選擇的主要因素。Fabre等［18］描述Lamb-Oseen 渦的Kelvin 模態和奇異本征模態，并從物理角度解釋了這些模式是如何產生渦旋的。然而，對于軸向Batchelor 渦擾動增長的物理機制仍然是模糊的，Qiu 等［19］認為Batchelor 渦的擾動增長是翼尖渦最不穩定擾動模態和特征點，特征層波動相互作用的結果，給出關于擾動增長的物理機制的猜想。

翼尖渦的模態演化特征方面，文獻［20-22］對孤立渦和同轉翼尖渦對的最優擾動模態的結構特征和數值特征給出了詳細的描述。隨著雷諾數和攻角的變化，翼尖渦的主擾動模態往往也會呈現出不同的結構，這種變化尤其體現在周向波數的變化，隨著雷諾數的增加，翼尖渦的主擾動模態會相應出現周向波數較大的結構［23］。同時，孤立翼尖渦的渦搖擺特征與主擾動模態關系較大，其主模態會隨著時間進行周期性旋轉，與翼尖渦自身的搖擺規律吻合［24］。Fabre 等［18］給出了m=?1～?5 的模態的不穩定性放大率隨著雷諾數增加的變化規律，指出在高雷諾數的工況下，周向波數m較高的模態會逐漸占據主導地位，而周向波數較低的模態則會逐漸消散。但關于翼尖渦的主擾動模態隨著流向發展如何演化，其演化規律隨著來流雷諾數的變化是否具有統一性，仍然是未知的。同時，對次級模態演化規律的認知仍然匱乏，而次級模態對翼尖渦的主動控制也起到指導作用［18］。

綜上所述，目前對孤立翼尖渦這種大型客機的翼尖渦典型結構的不穩定性現象和特征已經有了初步認識，但對翼尖渦擾動模態演化規律仍然是未知的，通過對翼尖渦擾動模態演化規律展開研究，可以為翼尖渦主動控制提供物理的理論指導［25］。同時，有關翼尖渦的次級模態隨流向的演化以及對翼尖渦本身的影響的認知卻一直停滯不前，這阻礙了基于不穩定性的大型翼尖渦快速失穩衰減控制原理與方法的建立，需要進一步研究和分析。因此，本文通過SPIV 測量不同工況下的翼尖渦流場，結合線性穩定性探究翼尖渦主擾動模態和次級擾動模態的結構特征，分析模態對翼尖渦流場的作用；進一步地，研究翼尖渦主擾動模態和次級擾動模態隨流向的演化規律和能量增長。在此基礎上，提出次級擾動模態對翼尖渦主動控制的指導思路，以期為翼尖渦的主動控制策略提供參考。

1 實驗搭建與數據處理

1.1 實驗設置

本文實驗均在低速回流式風洞中進行。實驗段尺寸為1.2 m×0.9 m，長度為7.0 m。通過調節變頻器頻率可實現風速的實時調整，風速范圍可達10～70 m/s。收縮段前安裝蜂窩網以降低實驗段的湍流度，實驗中的湍流度小于1%。機翼及小翼的翼型均采用M6 翼型。等直翼弦長c=0.203 m，展弦比AR=3。機翼模型均使用鋁合金材料，經銑床加工并進行表面后處理，以保證曲面準度及表面光滑度。

為了實驗比較，在攻角為6°、8°、10°的條件上，測試了自由來流速度U∞=15 m/s 的翼尖渦流場，基于弦長（c=0.203 m）的雷諾數為Rec=0.82×105，尾跡區內翼尖渦流場的測量范圍x/c=2～16，每隔1 倍弦長c進行一次采樣，其中x為流向坐標，如圖1 所示。

圖1 SPIV 實驗設置Fig.1 Setup of SPIV experiment

1.2 粒子圖像測速（PIV）系統設置

本研究中的PIV（Particle Image Velocim‐etry）系統包括風洞系統、激光系統、圖像采集系統、同步系統、圖像后處理系統，如圖2 所示。PIV 示蹤粒子需要在保證對激光散射性的基礎上，直徑盡可能小以滿足跟隨性，且其密度實驗流體保持一致。實驗中，通過大小為1～5 μm 的乙二醇小油滴對流動進行示蹤。乙二醇小油滴由Fesco 1700 霧化發煙器產生，在實驗段上游將粒子油滴通入風洞，并在風洞中循環一定時間使粒子與空氣混合均勻。激光系統包括一臺鐳寶雙脈沖Nd：YAG 激光發生器和導光臂，雙脈沖能量為2×380 MJ，雙脈沖頻率為1 Hz，激光波長為532 nm，2 次脈沖間隔為10 μs，片光源的厚度為2 mm 并垂直于來流方向。圖像采集系統包括2 臺高速高分辨率CCD（Charge coupled Device）相機對激光片光源照射的流場截面進行拍攝，分辨率為2 048 pixel×2 048 pixel，并通過532 nm波長帶通濾光鏡來提高圖像信噪比。同步系統將激光脈沖與相機快門進行同步，由1 臺數字延遲信號發生器實現。圖像處理系統則使用商業PIV 圖像處理軟件INSIGHT 4G 對PIV 圖像進行互相關處理并計算速度矢量場。初始咨詢窗口為72 pixel×72 pixel，有效重疊率為25%。第2 個參考窗口為36 pixel×36 pixel，有效重疊率為50%，未求解的速度向量通過9 pixel×9 pixel的填充算法從周圍向量插值求得。這樣，在整個測區內測速的良好率在85%以上，測速誤差小于1%，滿足后續分析的要求［26］。對每個截面采集200 s 流場數據，采樣頻率為1 Hz，并通過TSI INSIGHT 4G 軟件對圖像進行配對和解算，其解調范圍為24 pixel×24 pixel，得到翼尖渦流場在x、y、z這3 個方向的速度，并計算得到渦量場。

圖2 PIV 實驗系統組成Fig.2 System composition of PIV experiment

1.3 線性穩定性分析方法

線性穩定性分析是一種通過求解基于Navier-Stokes（N-S）方程的線性化小擾動方程，得到某一基準流動（Base Flow）的各個擾動模態和其對應的不穩定性放大率、擾動頻率和波數的一種方法，從而定量化判斷該流動的穩定性，以及該流場中小擾動的速度分布、頻率特征及其隨時間/空間的發展［24］。對于具體的流動，可以對流場進行不同的假設，從而對問題進行適當簡化，在減小計算量的同時也可以得到準確的結果。

對于一個給定的基準流動，考察其小擾動的模態行為，根據標準的線性穩定性分析公式，狀態變量可以分解為定常基流和非定常擾動

在翼型后部的中間區域，黏性擴散相對于流向而言較為緩慢，產生準平行流動，流向梯度遠大于橫向梯度。這種關于基流流向變化的準平行假設導致了沿流向具有常系數的擾動方程，并允許波狀擾動解的形式［27］，脈動量在柱坐標系可寫為

將式（4）代入線性化的擾動方程，產生一個廣義特征值問題。特征值問題的具體形式取決于穩定性分析的類型。對于時間穩定性分析，假設擾動隨時間增長/衰減，并考慮復頻率ω=ωr+ωi，產生的特征值問題為

式中：A、B為穩定性矩陣。

通過由時間不穩定性分析得到的特征值譜(ωr，ωi)，其中，ωr為擾動模態的擾動頻率；ωi為擾動模態的不穩定性增長率。通過特征值譜可以分析基準流動的不穩定性、不穩定性增長率及不同擾動模態對應的頻率和波數等特征，脈動壓力邊界條件則由N-S 方程推導得到的相容性方程確定。考慮到數值精度和收斂速度的要求，方程的離散采用了切比雪夫譜配置點法。關于相應邊界條件的信息，本文參考Cheng 等［23］對孤立翼尖渦的局部LSA 所做的工作。穩定性分析中基準流動的速度場均通過自由來流速度U∞無量綱化。

2 翼尖渦特征值譜及模態特征

在進行線性穩定性分析時需要首先獲取準確的基準流動，要求基準流動滿足N-S 方程并具有一階小量精度。為此本文采用將實驗測量結果向方程解析解擬合的方法，對翼尖渦的切向與軸向速度型按照Q 渦模型進行最小二乘擬合，將實驗結果擬合得到的Q 渦作為擾動方程中的基準流動［27］。以x/c=12、機翼攻角AOA=8°、Rec=0.84×105條件下的孤立渦為例，對實驗測得的速度型作Batchelor 渦擬合，以此為基準流場進行時間穩定性分析得到的翼尖渦特征值譜如圖3 所示。翼尖渦的時間穩定性特征值譜由3 種在復平面(ωr，ωi) 上不同位置的特征值組成。Mack［28］在1976 年針對邊界層的時間模態OS 方程（Orr-Sommerfeld Equation）的特征值在復平面上分布位置的不同，將特征值分為A、S、P 族，并指出A、S、P 族分別對應變化劇烈的壁面來流模態、衰減模態和中心流動模態。觀察到孤立翼尖渦的3 種不同特征值所對應的擾動模態與Mack 分類出的3 種不同特征值所對應的擾動模態具有相似的拓撲結構，因此此處將翼尖渦的次級擾動模態也相應地分為A、S、P 族［29］。

圖3 x/c=12、AOA=8°、U∞=15 m/s 條件下孤立翼尖渦的特征值譜Fig.3 Eigenvalue spectrum of wingtip vortex at x/c=12，AOA=8°，U∞=15 m/s

在翼尖渦的穩定性分析中，將不穩定性放大率最大的模態稱為主擾動模態，它被包含在P 族擾動模態中，具體位置如圖3（b）所示。而在翼尖渦的不穩定擾動模態中，除主擾動模態外，還存在不穩定性放大率較小的模態，稱為次級擾動模態。將P 族所在的特征值譜局部放大，此處的時間不穩定性特征值譜包含離散、連續、分叉3 個分支，如圖3（b）所示。離散分支即為翼尖渦的主擾動模態。由于流場的擾動是不同頻率和波數的擾動模態的疊加，研究次級擾動模態的特征及其演化規律是有積極意義的。與主擾動模態相比，次級擾動模態具有完全不同的擾動結構特征，研究其對翼尖渦不穩定性特征的影響有助于對翼尖渦失穩衰減的深入認知。

2.1 主擾動模態特征

主擾動模態對應圖3 所示的特征值譜中虛部最接近正半平面的孤立點，其流向波數α=0.18，不穩定性放大率為ωi=?3.74×10?5。主擾動模態的物理含義為：對于α=0.18 的擾動，在翼尖渦經過長時間演化后，其他特征值點對應的擾動模態均隨時間衰減殆盡，此時只有ωi=?3.74×10?5所對應的模態仍然主導著翼尖渦的擾動特征。

圖4 顯示了翼尖渦的主擾動模態在特征值譜的位置和模態橫向速度分布，utr隨著流向發展會發生周期旋轉，它的幾何結構與翼尖渦搖擺的第1 個POD 模態結構一致，是孤立翼尖渦搖擺發生的內在原因［12］。為了更好地比較次級擾動模態與主模態的幾何特征，這里給出主模態的3 個坐標軸方向上的擾動速度分布，如圖5 所示。對于離散分支的主擾動模態，它的橫向速度波動要大于流向速度波動，且v′、w′均在渦核區域存在有較大的擾動幅值，而因為考慮m=?1 的情況，u′呈現出兩瓣的結構，檢驗其他工況下流向截面的情況，均可得到相同的規律。需要注意的是，此處擾動模態的速度場波動u′、v′、w′均為無量綱參數。

圖4 翼尖渦主擾動模態特征Fig.4 Characteristics of most unstable perturbation mode of wingtip vortex

圖5 翼尖渦主擾動模態的各方向速度場波動Fig.5 Perturbation of velocity field of most unstable per‐turbation mode of wingtip vortex

2.2 P 族次級擾動模態特征

圖6 顯示了P 族次級擾動模態在特征值譜的位置和橫向速度分布。值得注意的是，P 族次級擾動模態與主擾動模態具有相似的擾動結構，而主擾動模態因為具有更高的擾動頻率從而在特征值譜中從P 族擾動模態中“分離”出來。為了更好地描述這種變化，引入相速度的概念，其表達式為

圖6 翼尖渦P 族次級擾動模態特征Fig.6 Characteristics of Mode-P of wingtip vortex

相速度的物理意義在于表征擾動模態沿著流向的發展速度，除了翼尖渦的主擾動模態以外，翼尖渦的次級擾動模態的相速度均小于1。P族次級擾動模態具有和主擾動模態相似的擾動結構，而主擾動模態具有明顯更高的不穩定性放大率和相速度，但是P 族的次級擾動模態卻具有更高的橫向速度擾動幅值，以此時的工況為例，主擾動模態的不穩定放大率ωi=?3.74×10?5，橫向速度擾動峰值utrmax=0.707 118，而P 族次級擾動模態不穩定放大率ωi=?8.58×10?5，橫向速度擾動峰值utrmax=0.741 941，這說明擾動的幅值和不穩定放大率并不存在必然聯系，擾動幅值高并不能作為衡量主擾動模態的特征，不穩定放大率是由多方面的因素決定的。

圖7 所示為P 族次級擾動模態在3 個方向上的擾動速度分布，次級擾動模態在橫向的速度波動會大于主擾動模態的速度波動，且方向相反，這意味著P 族次級擾動模態會抑制主擾動模態帶來的速度波動。同時，P 族次級擾動模態在流向上的速度擾動具有相似的結構，但是擾動的幅值較小，這反映了翼尖渦主擾動模態在流向發展上的特質，需要進一步從模態沿著流向的演化規律揭示翼尖渦主擾動模態不穩定性放大率最高的原因。

圖7 翼尖渦P 族次級擾動模態的各方向速度場波動Fig.7 Perturbation of velocity field of Mode-P of wing‐tip vortex

無論是P 族次級擾動模態還是翼尖渦的主擾動模態，它們都有類似于Fabre 等［18］在2006 年定義的位移波（Displacement Wave）的結構，當疊加在基流上時，這種擾動的作用是增加一半渦核區域的渦度，減小另一半渦核區域的渦度，從而促進整個渦核的螺旋式位移。

2.3 A 族次級擾動模態特征

A 族次級擾動模態對應相速度cr較小而變化相對劇烈的壁面擾動模態。圖8 顯示出A 族次級擾動模態在特征值譜的位置以及其橫向速度擾動分布。與P 族次級擾動模態相比，A 族次級擾動模態具有更小的擾動作用范圍，橫向擾動幅值較小且集中在渦核區域。

圖8 翼尖渦A 族次級擾動模態特征Fig.8 Characteristics of Mode-A of wingtip vortex

圖9所示為A族次級擾動模態各方向的速度擾動分布。A 族的次級擾動模態在橫向的速度波動v′、w′具有多瓣的擾動結構特征，而流向的擾動幅值u′呈現出兩瓣的結構特征。相比于橫向速度擾動，A 族擾動模態在流向上具有較高的擾動幅值，這種擾動模態結構與Fabre 等［18］的渦核波動模態結構類似，這種擾動模態會在渦核內誘發出軸向運動，反作用于翼尖渦的基準流場，促進翼尖渦發生垂直于流向方向的旋轉運動。

圖9 翼尖渦A 族次級擾動模態的各方向速度場波動Fig.9 Perturbation of velocity field of Mode-A of wing‐tip vortex

2.4 S 族次級擾動模態特征

S 族次級擾動模態對應剪切區域外的自由來流擾動模態，其特征函數在無窮遠場是振蕩而非衰減的。圖10 所示為S 族次級擾動模態在特征值譜的位置以及其橫向速度擾動分布。盡管S 族次級擾動模態與A 族次級擾動模態具有相速度較小的擾動傳播特點，但S 族次級擾動模態具有更高的橫向速度擾動幅值，因此，對翼尖渦自身渦量變化的影響會更大。

圖10 翼尖渦S 族次級擾動模態特征Fig.10 Characteristics of Mode-S of wingtip vortex

圖11 所示為S 族次級擾動模態各方向的速度擾動分布。S 族的次級擾動模態在橫向的速度波動v′、w′具有多瓣的擾動結構特征以及更大的徑向擾動波數，流向的擾動幅值u′呈現出多瓣的結構特征，且具有更高的擾動幅值。這種擾動模態結構與Fabre 等［18］的純黏性模態結構類似，反映出黏性對翼尖渦速度場波動帶來的影響。S 族次級擾動模態的擾動結構是與A 族次級擾動模態類似的中心螺旋擾動模態，不同的是具有更大的作用范圍，隨著周向波數的增加會逐漸發生螺旋線結構的延伸，且擾動會逐漸擴散到渦核區域。

圖11 翼尖渦S 族次級擾動模態的各方向速度場波動Fig.11 Perturbation of velocity field of Mode-S of wingtip vortex

綜上所述，除主擾動模態以外，翼尖渦的次級擾動模態對整個翼尖渦的不穩定性發展起到一定的作用。次級擾動模態根據其在特征值譜的位置主要分為3 種不同的族群：P 族次級擾動模態，A 族次級擾動模態，S 族次級擾動模態。不同族群的次級擾動模態具有不同的成因和擾動結構，在同一流向截面下會對翼尖渦自身的運動帶來不同的影響。由于翼尖渦不穩定性隨流向發展變化劇烈，需要從整個流場的演化的角度研究不同族次級擾動模態的流向演化規律，從而進一步明確次級擾動模態對翼尖渦不穩定性特征的影響，這點將在第4 節詳細闡述。

3 翼尖渦擾動模態的流向演化規律

3.1 翼尖渦不穩定性隨流向的演化規律

在AOA=8°、Rec=0.84×105工況下，分別對x/c=4，8，12，16 這4 個流向位置的孤立翼尖渦進行時間不穩定性分析，提取每個流向截面的主擾動模態，在此基礎上進行流向波數的掃略，得到擾動主模態的時間放大率ωi關于α的變化趨勢，即不穩定性曲線，圖12 顯示了不同流向位置的不穩定性曲線，通過曲線頂點可以判斷該工況下翼尖渦擾動的最大時間不穩定性增放大ωi及其對應的流向波數α。通過比較不同流向截面的不穩定性曲線可以得到翼尖渦不穩定性隨流向的演化規律。隨著流向波數的增大，翼尖渦的主擾動模態的不穩定性放大率總是先增大后減小，對于多數工況，流向波數α=0.18 時翼尖渦的不穩定性放大率最大，綜合考慮α=0.18 是翼尖渦流場的整體最優解，在圖12 中已經用黑色實線標出。同時，隨著流向的演化，翼尖渦的不穩定性放大率在流場位置x/c=8 處會有一個不穩定性放大率的突躍，翼尖渦整體流場的不穩定性隨著流向不斷增加，增速隨著流向逐步放緩。這說明翼尖渦流場早期形成的區域是不穩定性充分發展的區域，而翼尖渦的遠場是翼尖渦不穩定性特征明顯的區域。

圖12 在Rec=0.84×105、AOA=8°工況下不同流向截面的孤立翼尖渦的穩定性曲線Fig.12 Stability curves of wingtip vortex at different lo‐cations under at Rec=0.84×105，AOA=8°

圖13 顯示了孤立翼尖渦的特征值譜的流向演化規律，不同族的翼尖渦次級擾動模態隨著流向發展的變化軌跡是不同的。對于翼尖渦的主擾動模態和P 族次級擾動模態，隨著流向位置的變化主要體現在不穩定性放大率ωi，而其相速度cr幾乎保持不變，這說明P 族次級擾動模態和主擾動模態隨著流向的傳播ωi速度無明顯變化，而在不同的流向截面處，總有可以被激發的主擾動模態，它隨著流向的傳播速度甚至超過流場速度，主導著翼尖渦流場的變化。對A 族次級擾動模態和S 族次級擾動模態，隨流向的變發展均有明顯的速度場波動變化，且在不穩定性增長率ωi和擾動頻率ωr均隨著流向不斷增加，而ωr的增速遠超過ωi，同時A 族次級擾動模態和S 族次級擾動模態的相速度在翼尖渦的所有擾動模態里均較小，而隨著流向的發展，2 種模態的相速度均逐步增加，隨著流向的傳播速度逐漸加快，這說明A 族次級擾動模態和S 族次級擾動模態在翼尖渦的遠場區域具有更強的擾動影響。

圖13 在Rec=0.84×105、AOA=8°工況下不同流向截面的孤立翼尖渦的特征值譜Fig.13 Eigenvalue spectrum of wingtip vortex at differ‐ent flow locations at Rec=0.84×105，AOA=8°

綜上所述，翼尖渦的不穩定性特征的流向演化規律是不穩定性放大率逐漸增大，而增速逐漸放緩。同時，在Rec=0.84×105、AOA=8°工況下，孤立翼尖渦的主擾動模態和次級擾動模態上具有不同的流向演化規律。盡管在不同的流向位置翼尖渦的不穩定放大率不同，但幾乎都在α=0.18 的位置處于最大值，也就是，在α=0.18 的條件下，翼尖渦的不穩定特征最為明顯。基于此結論，接下來的模態演化規律討論默認在α=0.18 的條件下進行。

3.2 翼尖渦主擾動模態和P 族次級擾動模態的流向演化規律

通過2.1、2.2 節的研究可知，翼尖渦的P 族次級擾動模態和主擾動模態之間的結構是相似的，且P 族次級擾動模態具有更高的橫向速度波動。而主擾動模態具有更高的相速度，即隨著流向的傳播速度較快。結合第3.1 節翼尖渦不穩定性演化規律的研究，將翼尖渦主擾動模態所在的區域局部放大，觀察翼尖渦主擾動模態和翼尖渦P 族次級擾動模態的演化規律，如圖14、圖15所示。

圖14 在Rec=0.84×105、AOA=8°工況下不同流向截面的孤立翼尖渦的主擾動模態特征Fig.14 Characteristics of primary mode of isolated wingtip vortex at different flow locations at Rec=0.84×105，AOA=8°

圖15 在Rec=0.84×105、AOA=8°工況下不同流向截面的孤立翼尖渦的P 族次級擾動模態特征Fig.15 Characteristics of Mode-P of isolated wingtip vortex at different flow locations at Rec=0.84×105，AOA=8°

圖14 展示出翼尖渦主擾動模態隨流向的演化規律，翼尖渦主擾動模態的流向速度波動隨著流向的發展始終保持著兩瓣式的結構并不斷旋轉，同時，擾動的幅值和范圍都在隨著流向不斷增長，這促進了翼尖渦搖擺運動的加劇。進一步地，觀察翼尖渦的主擾動模態在橫向截面上的速度擾動，在翼尖渦近場區域，翼尖渦主擾動模態的橫向速度擾動幅值v′、w′大于流向速度擾動幅值u′，翼尖渦的主擾動模態作用集中于翼尖渦的橫向形變。而隨著流向的發展，翼尖渦的主擾動模態的流向速度擾動幅值u′會遠遠大于v′、w′，主擾動模態逆著渦旋方向旋轉并沿著流向發展，進而促進整個渦核的螺旋式位移。

圖15 展示出翼尖渦的P 族次級擾動模態的流向演化規律，P 族次級擾動模態的流向演化規律于翼尖渦主擾動模態類似，而在流向的發展演化中，P 族次級擾動模態在各個方向的擾動往往與翼尖渦主擾動模態在同一方向上帶來的擾動相反，這說明在流向的發展演化中，P 族次級擾動模態和翼尖渦主擾動模態疊加到基流上時，P 族次級擾動模態往往會抑制翼尖渦主擾動模態帶來的種種波動，以x/c=12 的流向截面為例，P 族次級擾動模態與翼尖渦主擾動模態在各個方向上帶來的速度波動幾乎完全相反。同時，當翼尖渦的主擾動模態在某個方向的速度擾動增大時，相應的P 族次級擾動模態也會增大，這一點在流向速度擾動上顯得尤為明顯，在x/c=4 的流向位置上，翼尖渦的主模態的流向擾動峰值是0.325 6，而P 族次級擾動模態的流向擾動峰值是0.310 7，而當擾動模態發展到x/c=16 位置時，翼尖渦的主擾動模態的流向擾動峰值是0.530 4，而翼尖渦的次級擾動模態的流向擾動峰值是0.646 7，高于翼尖渦的主擾動模態，在此時的流向截面，P 族的次級擾動模態會帶來更大的翼尖渦螺旋式位移。因此，翼尖渦的P 族次級擾動模態在翼尖渦的流向發展過程中會對翼尖渦的搖擺運動帶來促進作用，而這種作用效果會隨著流向的發展不斷的變大。

3.3 翼尖渦A 族次級擾動模態和S 族次級擾動模態的流向演化規律

通過2.3、2.4 節可知，翼尖渦的S 族次級擾動模態和A 族次級擾動模態都具有相速度較小的特征，擾動的傳播速度遠遠落后于流向的發展速度，并隨著流向的發展漸漸消逝，同時A 族次級擾動模態和S 族次級擾動模態具有更小的作用范圍。因為A 族次級擾動模態和S 族次級擾動模態的成因不同，研究其演化規律反映出孤立翼尖渦不同的物理特征對其翼尖渦不穩定性的影響。A 族次級擾動模態反映了黏性對翼尖渦速度場的影響，而S 族次級擾動模態反映了翼尖渦的瞬態增長特性。結合3.1 節對翼尖渦不穩定性演化規律的研究，觀察翼尖渦A 族次級擾動模態和S 族次級擾動模態的演化規律，如圖16、圖17所示。

圖16 在Rec=0.84×105、AOA=8°工況下不同流向截面的孤立翼尖渦的A 族次級擾動模態特征Fig.16 Characteristics of Mode-A of isolated wingtip vortex at different flow locations at Rec=0.84×105，AOA=8°

圖17 在Rec=0.84×105、AOA=8°工況下不同流向截面的孤立翼尖渦的S 族次級擾動模態特征Fig.17 Characteristics of Mode-S of isolated wingtip vortex at different flow locations at Rec=0.84×105，AOA=8°

圖16 展示出翼尖渦A 族次級擾動模態隨流向的演化規律。在2.3 節已經指出，翼尖渦的A族次級擾動模態在流向速度擾動上的擾動較高，與之相比，A 族次級擾動模態在橫向截面上的擾動較小。而隨著流向的演化發展，A 族次級擾動模態依然保持這種特征，流向的擾動幅值隨著流向的發展逐漸增大且影響范圍更廣，這種流向的擾動呈螺旋狀圍繞著渦核，并沿著流向逐漸擴散到整個渦核，作用于整個翼尖渦的螺旋式位移。同時，A 族次級擾動模態的橫向速度隨著流向變動較為復雜，不僅表現在作用方向上的旋轉變化，而且表現在作用范圍的不規則變化。但是由于橫向速度擾動的幅值和幅值的增速遠遠小于流向擾動幅值，因此A 族次級擾動模態的橫向擾動對翼尖渦的作用效果較為有限。

圖17 展示了翼尖渦S 族次級擾動模態隨流向的演化規律。S 族次級擾動模態的流向擾動一開始圍繞在渦核的外側，流向擾動幅值較小，在流向位置x/c=4 處，流向擾動峰值為0.523 18。而隨著翼尖渦的發展演化，S 族次級擾動模態逐漸深入到翼尖渦渦核內部，覆蓋住整個渦核，流向速度擾動幅值會逐漸在增大，在流向位置x/c=4 處，流向擾動峰值為0.872 30。而這種變化對于S 族次級擾動模態的橫向擾動則是不明顯的，以y方向的橫向擾動v′為例，在x/c=4 處，擾動幅值為0.580 37，而在x/c=16 處，擾動幅值為0.572 63，并沒有明顯波動。這從側面說明S 還與擾動模態相對于渦核的作用范圍有關：擾動模態覆蓋渦核的范圍越大，其流向擾動的幅值變化越劇烈，會加劇對翼尖渦不穩定性特征的影響。

3.4 翼尖渦擾動模態的能量增長

進一步地，引入能量增長的觀點描述各族次級擾動模態的特征，指定時間內的初始擾動的最優能量放大G(t)的計算公式［30］為

式中：q0為初始擾動；q(t)為擾動隨時間的演化量；Λ為由特征值ω構成的特征值矩陣，該矩陣代表不同的初始條件下可以產生的最大可能的能量放大。在線性穩定性分析中，這種擾動的放大是根據翼尖渦的最不穩定模態來確定的，算子的范數與不穩定放大率最大的主擾動模態直接相關，最優能量擾動的放大率可以寫為

式中：ωi‐max為主擾動模態的不穩定性放大率，因為主擾動模態在整個特征值譜中具有更大的擾動能量放大率。

在翼尖渦的次級擾動模態中，除了主擾動模態以外，P 族次級擾動模態和S 族次級擾動模態同樣具有較高的不穩定性放大率。2018 年，Ed‐strand 等［3］研究指出，對于基于不穩定性模態的翼尖渦主動控制，或者說激發翼尖渦擾動模態促進翼尖渦速度場變化的主動控制理論而言，擾動模態的結構是不可忽略的因素。比較不同流向截面處擾動模態結構相差較大的主擾動模態和S族次級擾動模態的能量增長隨時間的演化規律，如圖18 所示。隨著翼尖渦的流向演化，主擾動模態和S 族次級擾動模態的擾動能量增長率逐漸增大，盡管主擾動模態的能量增長始終占主導地位，S 族次級擾動模態隨著流向演化具有更高的增長速度，與主擾動模態的能量差值隨著流向演化不斷縮小。

圖18 主擾動模態和S 族次級擾動模態在不同流向截面處的擾動能量增長（Rec=0.84×105）Fig.18 Perturbation energy growth of primary pertur‐bation mode and mode-S at different flow sec‐tions（Rec=0.84×105）

對于孤立翼尖渦，其典型兩瓣式結構的主擾動模態雖然穿透了渦核邊界覆蓋整個翼尖渦渦核，但是其擾動切向波數僅為m=?1，Xiang［20］、程澤鵬［20-21］等通過對翼尖渦的穩定性分析，得出較低的切向波數是主擾動模態對翼尖渦的干擾十分低效的原因所在，因此主擾動模態總是處于臨界不穩定狀態。相比于主擾動模態，S 族次級擾動模態具有更高的切向波數，同時，擾動模態本身也穿透了渦核邊界并覆蓋整個翼尖渦渦核。從能量角度，S族次級擾動模態的擾動能量增長與主擾動模態的差距隨著流向演化逐漸縮小。盡管S 族次級擾動模態隨著流向的發展會更快地耗散［31］，但通過模態的激發，S 族次級擾動模態能夠隨著流向發展進一步增強，同時保持高切向波數和大作用范圍的特點，有理由相信基于S 族次級擾動模態的翼尖渦主動控制相比于傳統的基于主擾動模態的翼尖渦主動控制是更具有吸引力的策略。關于翼尖渦擾動模態的激發，Edstrand 等［3］曾經做過相應的數值模擬，取得了一定的成果，但還需要進一步驗證如何通過實驗手段激發S 族次級擾動模態的速度場波動，從而促進翼尖渦整體的失穩衰減。

4 結論

通過SPIV 實驗獲得不同流向截面的孤立翼尖渦流場，通過對實驗數據進行擬合計算得到基準流動，在此基礎上開展時間不穩定性分析，得到如下主要結論：

1）孤立翼尖渦的擾動模態可以根據其在特征值譜的位置分為主擾動模態、P 族次級擾動模態、A 族次級擾動模態、S 族次級擾動模態4 種。主擾動模態在翼尖渦不穩定性的發展中起主導作用，P 族次級擾動模態具有與主擾動模態相似的擾動結構，共同促進翼尖渦渦核的搖擺運動，A族次級擾動模態的擾動結構反映出黏性對翼尖渦運動的影響，會誘發翼尖渦渦核處的周向運動，S 族次級擾動模態的擾動結構具有更高的切向波數，隨著周向波數的增加會逐漸發生螺旋線結構的延伸并擴大擾動的作用范圍。

2）分別給出不同族的擾動模態隨流向的演化規律，翼尖渦的主擾動模態和P 族擾動模態沿流向發生旋轉，并且擾動幅值隨著流向逐漸放大，A 族次級擾動模態的流向演化規律主要集中在流向速度上，表現為幅值的增加和作用范圍的增大，S 族次級擾動模態隨著流向會逐漸覆蓋住整個渦核，帶來較大的流向速度波動。

3）從基于不穩定性思路的翼尖渦主動控制角度討論了翼尖渦次級擾動模態的作用，描述了不同翼尖渦擾動模態的擾動能量隨流向的演化規律。翼尖渦的主擾動模態具有最高的能量增長，但由于其低切向波數的結構，對翼尖渦的擾動較低效。而S 族擾動模態因為具有更高的切向波數和較大的擾動能量增長，基于S 族次級擾動模態的翼尖渦主動控制是一種更具有吸引力的策略。