平移坐標系 妙解斜率題

高繼浩

(四川省名山中學,四川 雅安 625100)

解析幾何解答題綜合性強,對學生運算能力要求高,理清思路并洞穿相應問題的算理是簡化運算的關鍵.

1 平移坐標系,簡化直線方程與斜率

在解決單個斜率問題時,我們需要分析如何平移坐標系才能有效減少運算量.事實上,我們主要考慮兩個方面:斜率式子盡可能簡潔(往往讓直線過原點)和直線方程盡可能簡單.

(1)求橢圓C的方程;

(2)設過P(2,1)的直線l與橢圓C交于不同的兩點M、N,過點N作x軸的垂線,與直線BM交于點D,E為線段DN的中點.證明:直線BE的斜率為定值.

設M(x1,y1)、N(x2,y2),則

2 平移坐標系,簡化斜率和、積的表達

多斜率問題中,比較常見的是過同一定點的兩直線斜率和、積的問題,解決此類問題的關鍵是要讓斜率得以簡潔表達以減少運算量.我們將坐標系平移使坐標原點移至定點處,構造以兩斜率為根的一元二次方程,再借助韋達定理巧妙解決問題.

2.1 斜率和為定值問題

(1)求橢圓E的標準方程;

(2)設直線l與橢圓E交于M、N(不與點A、B重合)兩點,若直線AM與直線AN的斜率之和為2,判斷直線l是否經過定點?若是,求出定點的坐標;若不是,說明理由.

兩邊同時除以x2化為

設M(x1,y1)、N(x2,y2),則

即m=-1-2n.故直線l的方程為n(2x-y)+x+1=0,恒過定點(-1,-2),所以在原坐標系下直線l過定點(-1,-1).

2.2 斜率積為定值問題

(1)求橢圓C的方程;

兩邊同時除以x2化為

2.3 斜率商為定值問題

(1)求橢圓E的方程;

2.4 斜率恒等式問題

例5 如圖1,拋物線E:y2=2px的焦點為F,四邊形DFMN為正方形,點M在拋物線E上,過焦點F的直線l交拋物線E于A、B兩點,交直線ND于點C.若正方形DFMN的邊長為1,直線MA、MB、MC的斜率分別為k1、k2、k3,則是否存在實數λ,使得k1+k2=λk3?若存在,求出λ;若不存在,請說明理由.

圖1 例5圖

設A(x1,y1),B(x2,y2),直線AB的方程為y=kx-1,則kx-y=1,與拋物線方程聯立得y2+2y·(kx-y)-2x·(kx-y)=0.

兩邊同時除以x2化為

在新坐標系下直線ND的方程為x=-1,故C(-1,-k-1),所以k3=k+1.故k1+k2=2k3.即在原坐標系下存在實數λ=2,使得k1+k2=2k3.

解析幾何解答題的綜合性非常強,對運算能力要求也很高,在學習中應擺脫思維定勢,多從問題的本質去思考減少運算量的方法,從解析幾何的算理中尋找解決問題的最佳方法.