退相干演化對Jaynes-Cummings 模型影響的考察

黃藝漫,馬 雷

（華東師范大學 物理與電子科學學院,上海 200241）

0 引言

量子理論是20 世紀科學發展進程中最重要的物理理論之一,其對推動現代科學技術進步的作用不言而喻.利用量子理論來研究并設計量子器件,是目前量子信息領域重要的研究方向.在量子力學中,量子計算、量子態制備等在很大程度上依賴量子系統的相干性.量子力學中的相干性是其區別于經典力學的一個根本特性,而量子計算機的運作依賴維持量子態的相干演化,需要抑制環境的干擾.所以實現精密量子測量的一個關鍵問題便是控制原子與腔場相互作用體系中的退相干效應.

在量子力學中,開放量子系統的量子相干性會因為體系與外在環境發生大量的量子糾纏,隨著時間的演化過程逐漸喪失,這個效應稱為量子退相干,是量子系統與環境由于量子糾纏而產生的結果.由于退相干的發生,量子相干性產生的干涉現象會消失無蹤.量子退相干促使系統的量子相干行為變遷成經典行為,這個過程稱為“量子至經典變遷”.該問題最早是由H.Dieter Zeh 在20 世紀60 年代提出,進而催生出了退相干理論(也稱作動力學退相干或者環境誘導退相干);20 世紀80 年代,退相干的研究得到了進一步發展,H.Dieter Zeh 等提出了第一個具體的退相干模型[1].1991 年,Zurek[2]在Reviews of Modern Physics(《現代物理評論》)中更廣泛地提出了退相干理論中的重要因素.到今天,在量子力學需要實現現實應用與推進的背景下,退相干越發成為量子力學中重要而迫切的理論分析問題.自20 世紀80 年代初首次對方案進行精確的公式化以來[3-6],到2000 年孫昌璞等[7]成功解釋了量子態跳變現象,并給出了系統退相干的根本特征—在時間趨于無窮大時,密度矩陣的非對角元項會衰減至0,退相干問題對量子力學基礎理論的影響越發成為量子信息技術領域重點關注的問題.

Jaynes-Cummings 模型[8-9](簡稱J-C 模型) 是描述原子與光場相互作用的理想模型,最初由Jaynes 和Cummings 于1963 年提出,Rempe、Walther 和Klein 于1984 年首次進行了實驗證明[10].在量子光學中,J-C 模型是一個基本的理論模型,主要用來描述一個兩能級原子與單模量子光場之間的相互作用.近年來,由于其可以精確求解、易于擴展的特點,人們對它的各種物理屬性進行了深入、廣泛的研究.

本文基于J-C 模型,對開放系統退相干時間演化后的量子態特性影響進行了考察與分析: 設定初態,采用Kraus 求和方法推導出了退極化模式下量子態發生退相干后的約化密度矩陣;在此基礎上,分析了量子態退相干時間演化后的保真度、von Neumann 熵的變化情況.

1 J-C 模型與退相干模式

1.1 J-C 模型

1963 年,Jaynes 和Cummings 在討論微波激射器時提出了標準的J-C 模型[8],該模型是量子光學中一個基礎可解的理論模型.下面系統地給出該模型的哈密頓量(H).

光場與原子相互作用的總哈密頓量(H) 可以表示為

式(1)中:H0表示原子哈密頓量;HF表示單模自由光場哈密頓量;HI表示原子與光場相互作用哈密頓量.將能量零點選取在兩能級之間,J-C 模型的系統總哈密頓量(H) 就可以表示為

式(2)中:ω0為原子的躍遷頻率;ω為光子的頻率;Sz是原子的自旋算符;S+、S-分別是原子向上、向下能級躍遷的躍遷算符;g為光子與原子的耦合常數,這里可設為實常數(如果是復常數,可以利用轉動變換將復數幅角變換至產生、湮滅算符中);a+、a分別為光子的產生、湮滅算符; ? 為約化普朗克常數.于是在共振條件,即ω=ω0時,總哈密頓量(H) 用矩陣可以表示為(在|1,n+1〉態和|2,n〉態組成的子空間內)

J-C 模型下的初態由于光子數的差異可以寫成很多種,也可以寫出原子態與光子的直積態,例如,|1,n+1〉表示此時系統的量子態中原子處于下能級|1〉.光場光子數為n+1 ,量子態|2,n〉與此同理.

1.2 退相干模式

量子力學中的相干性是區別于經典力學的一個根本特性,量子信息的傳播、處理、演化過程需要依賴量子態的相干演化,所以需要抑制環境、噪聲等帶來的干擾.從量子理論來看,封閉的量子系統時刻遵循幺正演化,但是在實際操作中量子系統卻是普遍開放的,不存在完全孤立于外界與環境的封閉系統.外界與系統時時刻刻發生著信息糾纏、互換,所以量子態的實際演化一定伴隨環境的影響,在這些影響下,量子態會逐漸失去相干性等特征,最后量子信息散失在環境中,發生量子退相干.

在對退相干問題的起源分析中,可能會來自如下的情況: ①子系統與環境(噪聲) 耦合作用造成退相干;② 子系統在觀測中的塌縮、躍遷造成退相干;③子系統的自發輻射、衰減、躍遷造成退相干.本文選取J-C 模型下一子空間的2 個基矢|1,n+1〉和|2,n〉,類比單qubit 信道演化過程[11]的衰減,對于原子與光子直積態,主要考慮退極化模式下的退相干效應.

退極化方式中,基并不穩定,會發生以下3 種誤差翻轉.

1)σx誤差—位翻轉誤差

假設初態為|ψ〉,由有|ψ〉→σx|ψ〉,即假設體系子系統處于|1,n+1〉和|2,n〉這2個基矢.該種誤差會使原子在|1〉,|2〉之間跳躍.

2)σz誤差—相位翻轉誤差

假設初態為|ψ〉,由,有|ψ〉→σz|ψ〉,即假設體系子 系統處于|1,n+1〉和|2,n〉這2 個基矢.該種誤差可能會使量子態發生相位翻轉.

3)σy誤差—混合型翻轉誤差

假設初態為|ψ〉,由,有|ψ〉→σy|ψ〉,即子系統會發生上述2 種誤差的混合誤差翻轉的情況.

本文用一個幺正算符

來表示誤差的發生.式(4)中:n=x,y,z,表明子系統的初態分別發生了σx,σy,σz這3 種誤差翻轉;|i〉E,i=0,1,表示環境態.

同樣地,也可以假設這3 種誤差同時等概率發生,表示為

后文將給出擬合圖進行對比,分析哪種誤差對系統的量子態性質影響最大.

2 退相干效應對體系保真度的影響

基于J-C 模型,設定光場與原子相互作用子系統的初態

其中,|i,n〉表示原子處在i能級(i=1,2) 而光場有n個光子的狀態.由于旋轉波近似,相互作用哈密頓量只能導致|1,n+1〉與|2,n〉態之間的躍遷.

式(7) 中:Mn是一組作用在子系統 S 上的算符,它表示在系統 S 與環境 E 相互作用下對系統狀態的影響;S可以認為是將子系統的初態映射到時刻,這種映射稱為超算符映射,式(7)也稱作超算符的求和表示,且由于退相干發生的時間十分短暫,可以認為是在瞬間發生,所以這里的時間可寫作

本文討論的是發生一次退相干后,系統隨時間演化過程中量子態的變化.所以在得出退相干的約化密度矩陣之后,可以定義一個時間演化算符,來描述原子與光子子系統退相干后約化密度矩陣的動力學演化.時間演化算符為

其中的H為哈密頓量,且取式(2) 中原子與光子相互作用系統的總哈密頓量.由此,末態的約化密度矩陣便可以寫為

Jozsa[12]根據“躍遷幾率”首先提出了保真度的概念,定義了量子混態的保真度,并且從數學上證明出了保真度的一些基本性質.保真度(F) 的表達式為

式(10)中:ρ0為初態的約化密度矩陣算符;ρ為末態的約化密度矩陣算符.F∈[0,1] ,當F取左/右端點值時,可以分別認為是正交演化過程信息完全失真,以及末態與初態保持一致的理想演化過程.

在退極化模式下,本文分別考察了σx誤差、σz誤差、σy誤差以概率P翻轉,以及3 種誤差等概率翻轉的4 種情形.

設定一個初態

根據1.2 節,在退極化模式的σx誤差、σz誤差、σy誤差以P概率翻轉,以及3 種誤差以概率混合翻轉下,由式(7)得出每種誤差翻轉后子系統 A 的約化密度矩陣,分別為

將式(12)—(15)代入式(9)和式(10),可以計算出各反轉誤差后的保真度.取P=0.2,各誤差的保真度對比詳見圖1.

圖1 是非退相干演化與退相干演化后的保真度隨時間演化的擬合圖.圖1(a)是無退相干的純態演化,此時由于時間演化算符中含有時間因數,末態的保真度會隨著時間演化發生有規律的振蕩,這與理想J-C 模型的Rabi 振蕩規律是吻合的,此時量子態不會發生衰減.圖1(b)-(c),依次是位翻轉誤差(σx誤差)、相位翻轉誤差(σz誤差)、混合型誤差(σy誤差)、3 種平均誤差等概率發生后子系統保真度隨時間(t) 的演化.可以看出,各翻轉類型下,保真度在最開始會發生較緩慢且差值不大的振蕩變化;隨著時間的增加,差值開始變小,振蕩也趨于穩定;最終,保真度都會趨于穩定,不再發生變化.這或許可以說明,在開放環境的作用下,長時間的退相干后,量子態趨于形成一個較穩定的狀態,此時保真度也降至最低.不同之處在于誤差類型不同,穩定發生的時間也不同.可以看出,σy誤差由于是兩種誤差的混合型,其對保真度的影響最為敏感和迅速;而3 種誤差等概率發生的影響介于三者之間,可以認為是三者的平均結果.

另外,對一種誤差翻轉情形取P為不同值,觀察不同翻轉概率時保真度振幅的差異.在3 種誤差等概率翻轉下,對式(12)—(15)取P=0.2,0.5,0.7,1,不同概率下保真度的對比詳見圖2.

圖2 不同概率下保真度的對比Fig.2 Comparison of fidelity at different probabilities

圖2 所示是在3 種平均誤差翻轉情形下,翻轉概率P取不同數值時保真度隨時間(t) 的變化.可以發現,由于翻轉的發生,保真度會發生振蕩變化,隨著時間演化,最后會逐漸在固定值處趨于穩定;而隨著翻轉概率的增大,最后處于穩定的時間也在變短,穩定值也越來越小;當發生完全翻轉時,量子態的保真度也逐漸趨近于零,量子信息發生全部失真.

基于上述的多種情形,本文發現,子系統一旦暴露于開放環境,信息不可避免會發生失真情況,并且存在不同的誤差翻轉對保真度的影響也并不相同;隨著時間演化,存在退相干的演化對比非退相干演化,保真度也會發生周期衰退直至形成系統信息失真形成穩定情況;另外,隨著誤差翻轉概率的增加,量子信息失真程度也會越來越嚴重.

3 退相干情況下von Neumann 熵變化

von Neumann 熵(Sv-N) 的表達式為

式(16)中:ρ表示量子態的約化密度矩陣;λα表示此時密度矩陣對應的本征值.

本文在類比保真度的推導過程中,將末態密度矩陣代入,求出von Neumann 熵的值;使用Matlab 工具做出退極化模式下的von Neumann 熵的變化圖,并進行對比分析.

在退極化模式下,分別單獨考慮σx誤差、σz誤差、σy誤差以概率P翻轉,以及3 種誤差等概率的情形.類比第2 章保真度的計算,求得其熵的表達式.

將式(9)、式(11)—(15)代入式(16),取P=0.2,von Neumann 熵的對比詳見圖3.

圖3 von Neumann 熵對比Fig.3 von Neumann entropy comparison

圖3 所示是非退相干演化與退相干演化后的von Neumann 熵隨時間演化的擬合圖像.圖3(a)是無退相干的純態演化,此時由于時間演化算符中含有時間因數,末態的von Neumann 熵會隨著時間演化產生有規律的振蕩.圖3(b)—(e)依次是位翻轉誤差(σx誤差)、相位翻轉誤差(σz誤差)、混合型誤差(σy誤差),以及以上3 種誤差等概率發生后子系統von Neumann 熵隨時間的演化.可以看出,存在退相干時與無退相干時von Neumann 熵的振蕩范圍是不同的: 無退相干時,von Neumann 熵的值在 0～1 間振蕩;存在退相干時,各翻轉類型下不同振蕩的高低范圍也不盡相同.這或許可以說明,在開放環境下[13-16],發生一次退相干后,由于時間因數的存在,von Neumann 熵會發生振蕩變化,此時系統的有序性也在變化.還可以看出,σy誤差由于是兩種誤差的混合型,其對von Neumann 熵的影響最為敏感和迅速,而3 種誤差等概率發生的影響介于三者之間,可以認為是三者的平均結果.

由上述結果可以發現,隨著時間演化,存在退相干的演化對比非退相干演化,von Neumann 熵振蕩振幅并不相同,存在誤差翻轉時振蕩振幅也各有不同,但仍保持振蕩并不會衰減至某一穩定值.這代表系統的混亂程度在發生變化,量子態之間的關聯程度也在變化,但是仍存在一定的關聯性.

上述各誤差翻轉中,von Neumann 熵的變化有增亦有減的趨勢,似乎違背熱力學統計物理中“熵增原理”的說法.但是本文所研究的演化過程與經典力學所遵循的熵增原理是不同的,在量子理論中,熵的變化僅能使人們對體系的混亂程度的變化有所了解,體系可以從無序到有序,那么也可以從有序到無序.

4 總結

本文使用Kraus 求和方法,對于退極化模式下末態演化的保真度與von Neumann 熵的變化進行了分析,使用Matlab 工具做出了變化的擬合圖像.發現二能級原子與單模光場相互作用體系[17]在誤差翻轉的情況下,量子態會發生退相干效應[18],其中,退極化模式下3 種誤差翻轉對保真度與von Neumann 熵變化的影響不盡相同,相同之處在于,存在退相干時量子態的保真度與von Neumann 熵不會再保持 0～1 之間的振蕩,而是會發生部分信息的失散,體系關聯度也在下降,振蕩范圍發生改變;不同之處在于,保真度會隨著時間衰退至慢慢穩定,而von Neumann 熵始終保持振蕩,這與二者的物理性質有關.