中心力場中的電子渦旋

周永香 ,薛 迅,2,3

（1.華東師范大學 物理與電子科學學院,上海 200241;2.新疆大學 理論物理中心,烏魯木齊 830046;3.華東師范大學重慶研究院,重慶 401120）

0 引言

渦旋現象普遍出現于很多系統中,比如在經典流體系統[1-2]、量子流體系統[3-5]、非線性場系統[6]和光學系統[7]中.攜帶軌道量子數l的光波構成光學中的渦旋現象[8-9].文獻[10]首次將渦旋光波的概念推廣到了電子渦旋波,即攜帶軌道角動量的傳播電子態.渦旋波的普遍特征是其等相面為連續螺旋面.在以傳播方向為軸向的柱坐標系中,其波函數具有軌道角動量本征態 eilφ形式的相位因子,其中,φ是關于傳播軸的方位角,l為軌道角動量量子數.渦旋波波函數具有連續螺旋狀的等相位面[11-15],量子化的渦旋可以對應到帶非平庸拓撲數的拓撲孤立子解.Nye 等[16]首先觀察到這種非平庸的拓撲結構,他們認為這是波列中類似于晶體缺陷的螺旋式位錯.

對電子渦旋態的描述可以借助薛定諤(Schr?dinger)方程、狄拉克(Dirac)方程、克萊因-戈登(Klein-Gordon)方程的渦旋波解.這3 種方程的渦旋波解分別描述了電子渦旋波的非相對論極限、電子渦旋波的相對論旋量結構和電子渦旋波的相對論行為[10,17-22].由于電子渦旋波攜帶軌道角動量,其波函數表現為具有角動量本征態 eilφ形式的分離變量解,等相面為螺旋面.在非相對論Schr?dinger 方程研究框架中,自由電子和恒定磁場中的電子具有守恒的軌道角動量分量,均保證了在波函數中存在角動量本征態 eilφ形式的分離變量解[23].渦旋波形式的波函數解可以是電子的可能運動狀態.對自由電子,從Dirac 哈密頓量(H)來看,總角動量是守恒的,但軌道角動量和自旋角動量的z分量各自并不守恒,而在非相對論極限下,自由電子的哈密頓量與軌道角動量的z對易.為了將相對論協變的理論過渡到非相對論極限,Barnett[24]指出,正確的做法是借助Foldy-Wouthuysen(F-W)變換,這樣才能得到正確的Schr?dinger 方程,并作為相對論電子波動方程的非相對論極限,使哈密頓量、電子波函數與軌道角動量具有良好的定義.F-W 變換對Dirac 旋量做幺正變換,使得Dirac 哈密頓量對角化,即取表象使上下旋量滿足的方程可以分離,在該表象下軌道角動量和自旋角動量分別守恒.同時Barnett[24]還指出,在相對論Dirac 方程下的軌道角動量(L)和自旋角動量(S)此時應該有新的定義—L＇和S＇,這個L＇和S＇與相對論情況下的Dirac 哈密頓量對易,從而說明攜帶軌道角動量的自由電子在相對論系統中仍然有好的軌道角動量的定義.同樣在相對論協變下,恒定磁場中的攜帶軌道角動量的電子也具有不守恒的軌道角動量和自旋角動量,但是在非相對極限下,恒定磁場中的電子所對應的哈密頓量與軌道角動量L對易.2020 年,Zou[25]等同樣利用F-W 變換,將此時電子所對應的Dirac 哈密頓量變為對角化的哈密頓量,從而分離上下旋量方程,得到相對論情況下對應的渦旋解,以及在均勻磁場中電子沿z軸傳播對應的渦旋解的古伊相位(Guoy phase).Barnett[24]和 Zou 等[25]雖然選取了軌道角動量不守恒的相對論系統,但通過前面的介紹可知,即使在相對論情況下的Diarc 哈密頓量與軌道角動量不守恒,仍然可以利用表象變換找到與軌道角動量對易的哈密頓量;而且這個幺正變換也可以重新定義“新的軌道角動量”,使在相對論系統中同樣存在守恒的軌道角動量,保證在新的表象下(Foldy-Wouthuysen(F-W) 表象) 的波函數中,存在軌道角動量的本征態 eilφ的分離變量解,從而證明自由電子和恒定磁場下相對論電子渦旋的存在.

在前面所介紹的相對論系統中,可以通過F-W 變換證明此時的相對論系統仍然存在守恒的軌道角動量.在自然界中存在大量的系統均不存在守恒的軌道角動量,如中心力場中運動的電子,在相對論情形下類似自由電子,具有不守恒的軌道角動量和自旋角動量.經過F-W 變換后,又因為此時的勢能項與坐標有關,所以在F-W 變換之后哈密頓量中存在自旋–軌道耦合項,導致此時幺正變換之后的哈密頓量同樣與軌道角動量不對易.那在這種系統中還能得到電子渦旋解嗎？本文就是基于這一目的,從中心力場中的Dirac 方程出發,經過F-W 表象變換,找到在中心力場中攜帶軌道角動量的電子沿z軸傳播的渦旋解,以及此時所對應的等相位螺旋面.

1 中心力場中的電子渦旋

1.1 中心力場中的Dirac 方程

中心力場中的電子滿足Dirac 方程

其中,σi(i=1,2,3) 為泡利(Pauli)矩陣,I為 2×2 單位矩陣.

從式(1)和式(2)中很容易看到,[Lz,H]≠0,[Sz,H]≠0,[Jz,H]=0 .所以此時無法判定,在相對論情況下,中心力場中攜帶軌道角動量的電子沿z軸傳播時,是否存在 eilφ的分離變量解.為了簡單起見,可以借用Barnett[24]所提出的F-W 表象變換,將相對論Diarc 方程和非相對論下的Schr?dinger 方程聯系在一起,構造一個對角化的哈密頓量,從而使四分量旋量中的上下分量分開: 一個二分量方程構成Pauli 方程;另一個二分量方程描述負能解.

1.2 F-W 變換

對式(2)的H做F-W 變換.類似于自由電子下的F-W 變換,先對H進行分類: 一類為與β反對易的奇算子,用θ表示,滿足{θ,β}=0 ;另一類為與β對易的偶算子,用ε表示,滿足 [ε,β]=0 .因此H的分類為

式(6)所表示的H＇＇滿足做F-W 變換的目的:將哈密頓量變為只包含偶算符的對角化矩陣,從而能夠使四分量波函數分離成2 個二分量旋量.所以經過F-W 變換之后的Schr?dinger 方程為

可以看到,在式(10)中的哈密頓量因為存在自旋–軌道耦合項,并不與軌道角動量和自旋角動量對易,即 [Lz,H＇＇]≠0,[Sz,H＇＇]≠0,但滿足 [Jz,H＇＇]=0.這正是與之前的研究中不同的地方.在之前的有關電子渦旋波的研究中,軌道角動量守恒是電子渦旋解存在的條件,如在非相對論系統中的自由電子和均勻磁場中的電子;而在相對論系統中,即使Dirac 哈密頓量與軌道角動量并不對易,但是經過FW 表象變換之后,便可以找到與軌道角動量對易的哈密頓量,而且在F-W 變換之后,也可以定義“新的軌道角動量”使得在相對論系統中仍存在守恒的軌道角動量,從而使在F-W 表象下電子的沿z軸傳播解具有渦旋結構.但在本文的研究中,考慮的是在F-W 變換之后,哈密頓量與軌道角動量和自旋角動量仍不對易,但因為存在總角動量守恒,可以用軌道角動量對應的本征態 eilφ和自旋的±1/2 的糾纏態去描述此時的渦旋結構.所以對于式(10)中的與總角動量對易的哈密頓量,其對應的波函數可以用總角動量的z分量Jz的本征波函數去描述,即

式(14)和式(15)這2 個方程與傍軸方程具有相似性.傍軸方程為

是對自由電子在柱坐標中的Schr?dinger 方程

運用了傍軸近似?2/?z2≈2ik(?/?z)+k2.因為式(16)中的哈密頓量與Lz對易,可分離 eilφ的變量解.令ψ=u(r,z)eikzeilφ,代入式(16),可得

令τ=ρ2,可得到滿足廣義拉蓋爾(Laguerre)多項式的方程

對于式(16)所對應的解,便可得到

式(14)和式(15)與傍軸方程(式(16))具有相似性,故可以對式(14)、式(15)這2 個方程也利用傍軸近似?2/?z2≈2ik(?/?z)+k2[30-31],并令a=eikza＇,b=eikzb＇,則a＇,b＇是只與(r,z) 有關的函數,與φ無關.代入式(14)、式(15)分別可得

其中,l＇=l+1 .

對于方程(23)和方程(24)無法像解傍軸方程一樣,引入無量綱量ρ(r,z) 將方程變為只含ρ的常微分方程.故引入表示微擾程度的參數γ.令a＇=φ0+γφ1,b＇=η0+γη1,代入式(23)、式(24),得到γ的零次冪所對應的2 個方程

即為式(22)去除 eikzeilφ的解.

對于γ一次冪的2 個方程,先看第一個方程(式(27)),此時可以視為對有源的場方程求解.對其兩邊同時乘以 eikzeilφ,并還原傍軸近似,便可得到

2 柱坐標下的Green 函數

將式(35)化為柱坐標下的Green 函數方程,可得

對于 δ(φ-φ＇),δ(z-z＇),可用φ,z方向的正交歸一函數來表示,即

其中,gm(r,r＇) 為r方向的波函數.

將式(38)和式(39)代入式(37),可得

其中,K為徑向波數的平方,即K2=k2-kz2.當r≠r＇時,式(40)對應著貝塞爾(Bessel)函數的2 個線性獨立解: Jm(Kr) 和 Nm(Kr) ,其中,Jm(Kr) 為第一類Bessel 函數,Nm(Kr) 為第二類Bessel 函數.所以可設式(40)中的解: 當r＜r＇時,P1(Kr) 為第一類Bessel 函數和第二類Bessel 函數的某一線性組合,它滿足適當邊界條件;當r>r＇時,P2(Kr) 為另一線性組合,它滿足固有邊界條件,其表達式為

此時便可利用文獻[34]所介紹的方法得到在柱坐標系下的Green 函數的解

對于式(43)和式(44),可以用 δ 函數進行進一步的化簡.因為Laguerre-Gauss 傍軸解φ0,η0中均不含方位角φ,所以可得

3 結論

由a＇=φ0+λφ1,a=eikza＇,便可以得到對于旋量波函數u的上分量 eilφa.相應公式為

可以看出,上旋量中Lz的本征態 eilφ的存在.

對式(53)做數值積分并畫圖,可以得到,當ρ一定時,ψ所對應的螺旋線如圖1 所示,其中,ρ=r/W(z) 為無量綱徑向坐標參量,波形每旋轉一周轉動波函數 eilφ相位變化為 2π .當攜帶軌道角動量的電子在中心場中沿z軸運動時,旋量上分量解φ所對應的螺旋等相位面如圖2 所示,其中,軌道量子數l=1 ,波形每旋轉一周相位變換為 2 π .

圖2 旋量上分量解 φ 所對應的螺旋等相位面Fig.2 The helical equiphase surface of the spinor upper component solutionφ

根據上面得到的旋量上分量的方法,同樣可以得到中心力場下的電子沿z軸運動時的旋量下分量解

取徑向量子數n=0 的束縛基態和l=1 ,式(54)給出了不同的旋量下,分量等相面和不同常ρ面的螺旋線交線,詳見圖3 和圖4,以及中心力場中的攜帶軌道角動量的電子沿z軸傳播時,其旋量下分量η的等相位面,詳見圖5,其中ρ=r/W(z) 為無量綱徑向坐標參量.

圖3 z 取值從 - 6 到 6 時,旋量的下分量等相面與 ρ=1.2 面所交的渦旋線Fig.3 The spiral line intersected by the spinor lower equiphase and ρ=1.2 surfaces with the value of z ranging from - 6 to6

圖4 z 取值從 - 6 到 6 時,旋量的下分量等相面與 ρ=1.5 面所交的渦旋線Fig.4 The spiral line intersected by the spinor lower equiphase and ρ=1.5 surfaces with the value of z ranging from - 6 to6

圖5 旋量下分量 η 的渦旋解等相面Fig.5 The helical equiphase surface of the spinor lower component solutionη

由圖3 和圖4 可以看到,當軌道量子數l＇=2 時,旋量下分量等相面與等ρ面所交螺旋線為2 條.通過觀察圖5 則更清晰地看出,當選擇同一相位時,此時對應的螺旋等相面卻有兩種不同的情況,這是因為初相位選擇可以相差 π 的整數倍,而選擇奇數倍和偶數倍就會導致相應的X,Y反號,因此導致了圖3、圖4、圖5 中對于同一個等相位面,具有兩種不同的情形.

本文所求得的二分量旋量作為Dirac 旋量在F-W 表象中式Dirac 旋量的上旋量,經F-W 逆變換會將上下旋量糾纏起來,下旋量由上旋量給出,其在中心力場中的自旋渦旋糾纏態解,會使Dirac 旋量整體具有渦旋結構.這樣非相對論極限的渦旋解經過F-W 逆變換就可以給出相對論Dirac 旋量的渦旋解[25].

根據上面的數學表達式和圖形展示,可以看到攜帶軌道角動量的電子在中心力場中沿z軸傳播時,確實存在渦旋解及所對應的螺旋等相位面,這說明在中心力場中傳播的電子確實具有電子渦旋結構.而且本文的研究是在軌道角動量不守恒的中心力場中,與之前的電子渦旋波的研究有很大的不同.之前的研究都是在可以得到守恒的軌道角動量的系統中,比如自由電子和均勻磁場中的電子,在這類系統中,能夠分離軌道角動量的z分量的本征態 eilφ和自旋波函數的±1/2 解,從而得到人們熟知的渦旋解;而在中心力場下需考慮F-W 變換之后的自旋–軌道耦合效應,這就使得中心力場中電子所對應的哈密頓量并不與軌道角動量對易,但此時的體系總角動量守恒,可以構建電子自旋態與軌道渦旋態的糾纏態,這種渦旋波是二分量旋量渦旋波.

本文為軌道角動量不守恒的系統提供了新思路.因為總角動量守恒的限制條件比之前的條件限制更弱,所以能為更多的軌道角動量不守恒但總角動量守恒的系統證明該系統仍然具有渦旋結構.中心力場誘導自旋軌道耦合的體系對于電子的傳播環境比自由電子和勻強磁場中運動的電子更具有普適性,其旋量渦旋波比單純的軌道渦旋波有更高的穩定性和實驗上的可實現性.另外,由于中心力場是大自然中較常見的勢能場之一,而且中心力場在許多方面也有重要作用,比如中心力場在原子結構和原子核結構的研究中均占有重要地位,所以研究中心力場中的電子渦旋結構可以幫助人們更好地認識原子內部結構;中心力場與引力場的形式也很相似,因為在宇宙中存在大量攜帶軌道角動量的射線,但是在引力場的度規下,很難得到與軌道角動量對易的哈密頓量,而總角動量守恒的條件又相對較弱,所以便可以利用本文所描述的方法來更好地考慮引力場中的電子渦旋,從而為宇宙射線的觀測開辟新的對象.