中考常用的三種數學思想

王歡

數學思想方法是解題的金鑰匙，掌握中考常用的數學思想有利于快速找到解題思路，讓自己在中考中取得好成績. 下面舉例介紹中考中常用的三種數學思想.

一、數形結合思想

數形結合思想是指從幾何直觀的角度，利用幾何圖形的性質研究數量關系，尋求代數問題的解決方法（以形助數），或利用數量關系來研究幾何圖形的性質，解決幾何問題（以數助形）的一種數學思想. 數形結合思想使數量關系和幾何圖形巧妙地結合起來，使問題得以解決.

例1 （2022·遼寧·錦州）如圖1，A1為射線ON上一點，B1為射線OM上一點，∠B1A1O = 60°，OA1 = 3，B1A1 = 1. 以B1A1為邊在其右側作菱形A1B1C1D1，且∠B1A1D1 = 60°，C1D1與射線OM交于點B2，得△C1B1B2；延長B2D1交射線ON于點A2，以B2A2為邊在其右側作菱形A2B2C2D2，且∠B2A2D2 = 60°，C2D2與射線OM交于點B3，得△C2B2B3；延長B3D2交射線ON于點A3，以B3A3為邊在其右側作菱形A3B3C3D3，且∠B3A3D3 = 60°，C3D3與射線OM交于點B4，得△C3B3B4……，按此規律進行下去，則△C2022B2022B2023的面積為? ?.

分析：由圖象看出此題具有規律性，因此最終求解答案時也需要探尋內在規律. 結合題目中已知條件可過點B1作B1D⊥OA1于點D，連接B1D1，B2D2，B3D3，分別作B2H⊥B1D1于點H，B3G⊥B2D2于點G，B4E⊥B3D3于點E，如圖2，根據菱形的性質及題意可得OA1[?]B1D1[?]B2D2[?]B3D3，則有tan O = tan∠B2B1D1 = tan∠B3B2D2 = tan∠B4B3D3 = [35]，進而可得出規律進行求解.

解：如圖2，過點B1作B1D⊥OA1于點D，連接B1D1，B2D2，B3D3，分別作B2H⊥B1D1于點H，B3G⊥B2D2于點G，B4E⊥B3D3于點E.

易得A2B2 = [43]，B2D1 = [13]，

B3D2 = [49]，B4D3 = [1627]，

A3B3 = [169]，A4B4 = [6427]，

由上可得：AnBn = [43n-1]，Bn + 1Dn = [13]·[43n-1]，

∴S△C2022B2022B2023 = S△C2022B2022D2022 - S△B2023B2022D2022 = [34] × [4320212] - [12] × [432021]× [13] × [432021]× [32] = [36] × [434042]. 故填[36] × [434042].

二、函數與方程思想

從分析問題的數量關系入手，適當設定未知數，把所研究的數學問題中已知量和未知量之間的數量關系，轉化為方程或方程組的數學模型，從而使問題得到解決的思想方法，就是函數與方程思想.

直線與拋物線是初中數學中的兩類重要函數，無論是求其解析式還是研究其性質，都離不開函數與方程思想. 例如函數解析式的確定，往往需要根據已知條件列方程或方程組并解之而得.

例2 （2022·遼寧·營口）如圖3，在四邊形ABCD中，BC[?]AD，∠D = 90°，∠A = 45°，動點P，Q同時從點A出發，點P以[2] cm/s的速度沿AB向點B運動（運動到B點即停止），點Q以2 cm/s的速度沿折線AD—DC向終點C運動，設點Q的運動時間為x（s），△APQ的面積為y（cm2），若y與x之間的函數關系的圖象如圖2所示，當x = [72]（s）時，則y = cm2.

分析：根據題意以及函數圖象可得出當點Q在AD上運動時，△APQ為等腰直角三角形，根據三角形面積公式得當△APQ面積最大為9時，x = 3，則AD = 2x = 6 cm，當3 < x ≤ 4時，過點P作PF⊥AD于點F，如圖5，結合面積公式，分別表示出相關線段可得y與x之間的函數解析式，最后代入求解即可.

解：當3 < x ≤ 4時，過點P作PF⊥AD于點F，如圖5，

此時S△APQ = S△APF + S四邊形PQDF - S△ADQ，

由y = [12] × （[2]x）2 = 9，得x = 3，則AD = 2x = 6，

在Rt△APF中，AP = [2]x，∠PAF = 45°，

∴AF = PF = x，FD = 6 - x，QD = 2x - 6，

∴y = [12]x2 + [12]（x + 2x - 6）·（6 - x） - [12] × 6 × （2x - 6） = - x2 + 6x，

當x = [72]時，y =? - [722] + 6 × [72] = [354]. 故填[354].

三、分類討論思想

分類討論思想可培養同學們思維的準確性與嚴密性，有些問題常常通過條件的多變性或結論的不確定性來進行考查，如果不注意對各種情況分類討論，就有可能造成錯解或漏解.

例3 （2022·沈陽）如圖6，將矩形紙片ABCD折疊，折痕為MN，點M，N分別在邊AD，BC上，點C，D的對應點分別為點E，F，且點F在矩形內部，MF的延長線交邊BC于點G，EF交邊BC于點H. EN = 2，AB = 4，當點H為GN的三等分點時，MD的長為.

分析：根據點H為GN的三等分點，分兩種情況分別討論，根據折疊的性質和平行線的性質證明∠GMN = ∠MNG，得到MG = NG，再證明△FGH∽△ENH，求出FG的長，過點G作GP⊥AD于點P，如圖7，則PG = AB = 4，設MD = MF = x，根據勾股定理列方程求出x即可.

解：當HN = [13]GN時，GH = 2HN，

由題易得△FGH∽△ENH，∴[FGEN] = [GHHN] = 2，

∴FG = 2EN = 4，

如圖7，過點G作GP⊥AD于點P，則PG = AB = 4，

設MD = MF = x，則MG = GN = x + 4，

∴CG = x + 6，∴PM = 6，

∵GP2 + PM2 = MG2，∴MD = 2[13] - 4；

當GH = [13]GN時，HN = 2GH，同理可得MD = 4.

故填2[13] - 4或4.

（作者單位：沈陽市渾南區第五初級中學）