土力學中飽和土滲流固結理論的教學方法研究

徐令宇 張杰 陳煒昀 高洪梅

摘? 要：Terzaghi飽和土單向固結理論的提出標志著土力學成為一門獨立學科，土的滲透及固結是土力學教學的重點，同時也是教學難點。為使學生更為形象掌握和理解該知識點，該文提出一種數學方程與數值模型相結合的教學方法，從Biot滲透固結理論的偏微分方程出發，在通用有限元軟件中建立并驗證數值計算模型。通過滲流固結方程的介紹和說明，理解“滲流”和“固結”的過程及區別和聯系?；跀抵到Y果，形象說明達西定律中“水頭”的概念。

關鍵詞：土力學；飽和土滲流固結理論；教學方法；數值計算；有限元

中圖分類號：G642? ? ? ? 文獻標志碼：A? ? ? ? ? 文章編號：2096-000X（2023）21-0083-04

Abstract： The emergence of Terzaghi seepage consolidation theory in Soil Mechanicsmarks that Soil Mechanics has become an independent subject. In order to make students grasp and understand the theory more vividly， this paper initially presents partial differential equations （PDEs） of the theory， and then proposes a numerical calculation model based on general finite element software.This paper introduces and explains the seepage consolidation equation， let students understand the process of "seepage" and "consolidation" and the difference and connection. At the same time， based on the numerical results， the concept of "water head" in Darcy's law is illustrated.

Keywords： Soil Mechanics; seepage consolidation theory of saturated soil; teaching method; numerical calculation; finite element

Terzaghi飽和土單向固結理論的提出標志著土力學成為一門獨立學科，是巖土工程問題研究的基礎，該知識點是土力學教學的重點，也是教學難點[1]。為了讓學生更容易掌握該知識難點，已有文獻探討了多種土力學教學方法或者教學模式。伊盼盼[2]建議采用內化式教學模式，目標是讓學生意識到自己處于教學中的主體。楊兵等[3-4]建議以實例帶動理論教學，激發學生學習興趣，進一步建議增加觀看、分析失敗的工程案例，讓學生意識到理論重要性，同時通過對土力學試驗方案創新設計也能夠激發學生的學習熱情。在疫情形勢下，加瑞等[5]利用在線課程資源，開展基于“互聯網+”的線上線下混合式教學改革，同時建議充分利用國家虛擬仿真實驗教學項目共享平臺上的虛擬仿真實驗開展線上實驗教學。綜上可以看出，目前土力學教學主要集中于宏觀方法的研究，較少涉及對土力學中重難點問題提出實操性方法。

本文針對土的滲透固結理論這一重要知識點，提出一種數學方程與數值模型相結合的教學方法，讓學生學會求解土力學中的數學方程，從理論角度理解實際工程問題。通過滲流固結方程的介紹和說明，理解“滲流”和“固結”的過程、區別和聯系?；跀抵到Y果，形象說明了達西定律中“水頭”的概念。通過本文的講解，將土力學中的有效應力原理、達西定律、固結理論有機的串聯起來，有助于提高學生學習興趣和學習效率。

一? 滲流固結控制方程

Biot[6]提出了經典的飽和土的滲流固結方程，將土的變形與土的滲流耦合在一起。本文將以二維固結為例，詳細介紹了其微分控制方程，并在COMSOL Multiphysics軟件建立數值模型，將模型退化為一維情形，將計算結果與Terzaghi飽和土單向固結方程解析解進行了對比。

（一）? 固相控制方程

公式（1）和公式（2）分別給出了固相在水平向和豎向力的平衡方程，該方程引入了有效應力原理：總應力為有效應力和孔壓之和，即隱含了土體為完全飽和的假定。因此，σx和σz分別為水平向和豎向有效應力，p為孔隙水壓力。豎向力的平衡方程考慮了自重作用，ρ為飽和土的密度，g為重力加速度，τxz為剪應力。

（1）

（2）

假定土層為均質、各向同性的彈性體，通過引入彈性本構方程，應力和應變的表達式寫為

（3）

式中：εx、εz和γxz分別為x方向正應變、z方向正應變及工程剪應變。K和G分別為體積模量和剪切模量，可寫成彈性模量和泊松比的表達式

應變可通過位移求出，定義為

（6）

式中：u和w分別為x和z方向的位移。

（二）? 液相控制方程

地下水滲流的驅動力是水頭差，壓力水頭H定義為

（7）

式中：γw為水的重度；p/γw代表壓力水頭。

根據流體連續性條件，假定土顆粒和水是不可壓縮的，可得到滲透速度與體應變εv的關系式

（8）

式中：vx和vz分別為x方向和z方向的滲透速度，t為時間。

根據線彈性理論，εv的表達式為

（9）

根據達西定律，滲透速度表示為

（10）

式中：kx和kz分別為x方向和z方向滲透系數。把式（9）和式（10）帶入到公式（8）中，可以得到

若令式（11）右側為零，即不考慮土體變形，方程退化為著名的拉普拉斯方程，也就是土力學教材中提到的平面滲流的控制方程。結合邊界條件，即可聯合求解式（1）、式（2）、式（11），得到u、w及p。這些邊界包括已知水頭邊界和法向流速邊界。下面結合Terzaghi飽和土單向固結求解來說明。

（三）? Terzaghi飽和土單向固結算例

本文首先在COMSOL Multiphysics軟件建立Terzaghi飽和土單向固結方程數值模型，模型土如圖1所示。Terzaghi飽和土單向固結理論為一維情形，在有限元軟件中僅設置豎向滲流，公式（11）退化為

（12）

通過添加固體力學和一般形式偏微分方程兩個物理場，將土的變形與土的滲流耦合在一起。需要同設置邊界條件，來滿足偏微分方程的求解，具體為：①設置模型頂面單面排水（公式（13））；②模型兩側不透水且水平位移為零（公式（14））；③模型底部不透水且約束水平位移和豎向位移（公式（15））。初始條件為公式（16），施加的均布荷載為p0=100 kPa。

p=0，z=H ，? ? ? ? ? ? ? ? （13）

p=p0，t=0 ， （16）

式中：l為土柱模型寬度；H為土柱模型深度。根據上述滲流固結方程、邊界條件及初始條件，文獻[7]給出了土層任意深度z不同時刻t的孔隙水壓力解析解

式中：m為正奇數，Cv為土的固結系數；Tv為無因次的時間因數；Es為壓縮模量；p0為土柱頂部施加的壓力。

假設一維固結模型尺寸寬度l為1 m，深度H為10 m的長方形土柱，土體密度ρ為1.72×103 kg/m3，滲透系數k為1.75×10-7 m/s，泊松比v為0.3，壓縮模量Es為3.4 MPa。圖2給出了t=100 s時刻孔隙水壓力分布圖，可以看到，數值解和解析解基本吻合，驗證了數值模型的正確性。

二? 二維滲流算例與結果分析

下面將利用上述數值模型計算一個二維滲流算例，計算模型及網格如圖3所示。土體模型尺寸長l=50 m，深H=40 m，模型中間有一個不透水擋墻，擋墻寬2 m，插入深度為19 m，擋墻上游水頭H1=10 m，擋墻下游水頭H2=2 m。計算的土體參數與“Terzaghi飽和土單向固結算例”小節相同。

在有限元計算中，僅考慮滲流場，因此固體邊界全部約束（即u=w=0），僅考慮流體邊界，計算模型兩側及底部采用不透水邊界（即? ? ? ? ? ），上下游邊界為已知水頭邊界。

上游水頭邊界條件

p=ρwgH1，z=H 。? ? ? ? （19）

下游水頭邊界條件

p=ρwgH2，z=H ，? ? ? ? ? ? （20）

式中：ρw為水的密度，g為重力加速度。

圖4給出了有限元計算出的等勢線和流線，同時給出每個等勢線的水頭值。可以看出以下幾點。

1）AB和GH分別為首位兩條等勢線，對應公式（19）和公式（20）所示的邊界處水頭。

2）BCEFG和AJIKH為不透水邊界，是兩條邊界處的流線，所有等勢線均勻流線垂直。

3）由于計算模型為對稱模型，EI等勢線值為6 m，是首尾等勢線的均值。

三? 結論

本文針對土的滲透固結理論這一重要知識點，提出一種數學方程與數值模型相結合的教學方法。通過土的滲流固結偏微分方程介紹，理解“滲流”和“固結”的過程及區別和聯系。在通用有限元軟件中建立數值模型，并利用Terzaghi飽和土單向固結解析解進行了驗證。通過二維滲流算例，形象說明了達西定律中“水頭”的概念。本文將土力學中的有效應力原理、達西定律、固結理論有機的串聯起來，有助于提高學生學習興趣和學習效率。

參考文獻：

[1] 趙成剛，李艦，宋朝陽，等.土力學理論需要發展與變革[J].巖土工程學報，2018，40（8）：1383-1394.

[2] 伊盼盼.開發內化教學方法在《土力學》中的應用[J].當代教育實踐與教學研究，2015（11）：211.

[3] 楊兵，茍錦程，侯江榮.新時期土力學教學方法探索[J].教育現代化，2019，6（89）：33-34.

[4] 楊兵，侯江榮.土力學課程教學現狀及教學方法思考[J].教育教學論壇，2020（11）：219-220.

[5] 加瑞，雷華陽，劉景錦，等.土力學課堂和實驗教學改革的探索與實踐[J].高等建筑教育，2021，30（6）：39-46.

[6] BIOT M A. General theory of three-dimensional consolidation[J]. Journal of Applied Physics，1941（12）： 155-164.

[7] 趙明華.土力學與基礎工程[M].武漢：武漢理工大學出版社，2014.