經歷建模過程 培養模型意識
——“分數除以整數”教學片段與思考

江蘇省常州經開區實驗小學

經 輝

小學階段偏重于培養學生的“模型意識”，即對數學模型的初步感悟、運用，而初中階段偏重于培養學生的“模型觀念”。數學建模是數學研究的主要方法之一，建模思維是數學的基礎思維之一。一個系統的數學建模過程，就是從數學的角度觀察具體情境中的現象、提出具體問題，進而運用數學的思想解釋現象、構建模式，然后再處理具體現象，最后用數學語言加以表述。

“分數除以整數”是蘇教版數學六年級上冊第四單元“分數除法”的起始課。運算課要處理好算理和算法的關系。算理解決為什么這樣算的問題，算法解決怎樣算的問題。只有在理解算理的基礎上得出算法，繼而優化算法，熟練算法，才是計算教學的基本路徑，也是培養學生計算課模型意識的需要。

片段一：任務驅動，運用模型解決問題

課件出示：說一說數量關系，并根據數量關系列式。

（1）量杯里裝有800 毫升果汁，平均分給2 個學生，問每個學生飲用了多少毫升果汁？

（2）量杯里裝有0.4 升果汁，平均分給2 個學生，問每個學生飲用了多少升果汁？

師：請同學們先說一說，再完成學習單。

生1：我選第（1）題，總毫升數÷學生數=每個學生飲用的毫升數，算式是800÷2=400（毫升）。

生2：我選第（2）題，總升數÷學生數=每個學生飲用的升數，算式是0.4÷2=0.2（升）。

生3：我選第（3）題，總升數÷學生數=每個學生飲用的升數，算式是。

師：這三題有什么相同點？

生1：數量關系都是相同的，都是把總數平均分成兩份，求每份是多少。

生2：如果將一整數或小數平均分為多份，求每份是多少，應該用除法求解。

【思考】教師精心設計一個“分果汁”的大問題情境，將整數除以整數、小數除以整數和分數除以整數融入教學素材中，目的是改變學生被動學習的狀態，促使學生積極調動已有的知識儲備來解決問題，并主動進行知識關聯，建構知識結構。這3 個問題的解決都運用了“總數÷份數=每份數”這一數量關系模型，問題（1）（2）無論是數量關系還是算法都是學生已經掌握的，將問題（3）納入學生熟悉的問題情境與數量關系的模型中，將舊知識與新知識、舊經驗與新經驗建立聯系，借助已有經驗解決新問題的這一過程其實就是運用已有模型解決問題的過程，并且將已有模型由整數除以整數、小數除以整數擴展到分數除以整數，以后還會擴展到整數除以分數、分數除以整數。這一片段的設計能促進學生思維方式、知識結構和情感態度價值觀的相互作用，使學生建構有結構的、發展的認知系統，并體會到模型的價值。

片段二：圖形結合，形成算法感悟模型

各小組匯報。

小組3：結合圖1，橫著分，利用整數除法的意義，可以理解為把升平均分成2 份，就是把4 個（計數單位）平均分成2 份，每份有2 個，就是。

圖1

小組4：結合圖2，豎著分，就是把分數的分子分母同時擴大2 倍，，分數單位是，把8 個平均分成2 份，每份有4 個，就是。

圖2

師：從這兩組同學的發言中，我們不難發現，除法計算就是把計數單位不斷細分。

師：同學們的算法真多，你們分別是怎樣算的呢？生交流。

師（小結）：分數除以整數，可以轉化成我們曾經學過的整數除法或小數除法；可以用分子除以整數作分子，分母固定不變；可以將除以某個數轉化成乘這個數的倒數。

【思考】自主探索是學生感悟的基礎。針對小學生的思維特性，教師可以采取手腦并用、數形結合的教學策略，有意識地把“圖”和“式”對照起來并加以分析與講解，有助于學生建立圖像語言與數學語言之間的緊密聯系，從而有效降低難度。教學中，教師放手讓學生自主探索計算方法，再引導學生用已有的知識和經驗解釋自己的思考過程，學生由具體情境中的數量過渡到從計數單位的層面認識和解決分數除以整數，感受到分數除法也是像整數除法、小數除法一樣將計數單位不斷細分。可見，學生的思維從具體逐步走向抽象。學生因為經歷了充分的探究，所以能產生多種計算方法，多種計算方法的交流也能使學生充分感受到遷移轉化的思想。

片段三：異中求同，優化算法建構模型

層次一：自由選擇算法

師：請同學們在作業單上獨立計算。

展示算法：

師：剛才，同學們有三種不同的算法，上面的每一道題都可以有三種不同的算法嗎？請同學們先小組討論。

生交流。

小組5：我們發現有些方法并不是對所有的題都有用，但是轉化成乘整數倒數的方法對這四道題都有用。……

層次二：選擇合適的算法

師：分數除以整數，都能轉化成乘這個整數的倒數嗎？嘗試用這種方法計算以下各題。

呈現算法：

生交流。

生1：我認為分數除以整數都可以轉化成乘這個數的倒數。這6 道題和前面的幾道題都可以。

生2：我想知道這個n 可以表示什么數？

生3：可以表示任何數。

生4：我認為n 不能表示任何數，0 就不可以，0 不能作除數，也不能作分母。

生5：n 可以表示除0 外的任何數。

生6：分數除以一個數（0 除外）一般都可以用分數乘這個數的倒數來計算。

師：分數除以整數（0 除外）通常可轉換為乘這個數的倒數，也就是說分數除以某個數相當于乘這個數的倒數。

【思考】運算訓練是數學運算教學的重要內容，是學生掌握基本知識、基本技能和提高能力的重要手段。數學運算既然是一種技能，就需要學生在不斷的練習中鞏固，并掌握一定的計算技巧，從而提高計算的速度和正確率。層次一，讓學生自由選擇算法，明確分數轉化成整數只能適用于具體情境中，分數轉化成小數和“用分子除以整數作分子，分母不變”這兩種方法也有局限，如這題就不適用。通過交流對比，學生感悟到分數除以整數都可轉換成乘這個數的倒數來運算；層次二，用層次一中習得的一般算法進行訓練，特別是這一題組的練習，把許多最簡單的一般方法，逐步上升到一類型題的計算，并從不同的算式中找尋到一般方法：將分數除以一個數，和乘上這個數的倒數建立聯系。這是學生在大量的計算及不斷的思考中，逐步形成的數學運算模型。

片段四：多維溝通，算法關聯完善模型

（一）溝通聯系，推廣算理

出示：填一填，說說你有什么發現。

生回答：

師：你發現了什么？

生：整數除以整數，小數除以整數也都可轉化成乘這個數的倒數來運算。

師：不管是整數、小數還是分數除以整數（0 除外），都相當于乘這個整數的倒數。

（二）溝通對比，完善結構

出示：算一算，比一比。

師：獨立思考，同桌驗證。

師：說一說在計算時，你有什么要提醒大家的？

生：在計算時，一定要看清運算符號，千萬不要把分數乘整數也轉化成乘這個數的倒數。

（三）聯系生活，縱向延伸

師：你能提一個問題并解答嗎？

生1：我的問題是，這架客機平均1 秒鐘飛行多少千米？

生2：我的問題是，平均每千米需要飛行多少秒？

師：分數除以整數等于乘這個整數的倒數，那么整數除以分數又該怎么計算呢？下節課我們接著學習。

【思考】對比溝通是一種判斷不同事物或事件存在的差異的數學思考方式，教師要注意運用對比式題組，讓學生不斷加深對計算方法的認識，感受內在關聯，發現一些計算的一般方法，從而提高靈活選擇計算方法的能力。，800÷2=800×（ ）=（ ），0.4÷2=0.4×（ ）=（ ），以這三題呼應開頭，橫向比較，通過觀察思考三種運算方法的共性，可以找到關于整數除法、小數除法，還有分數除法的算理與方法上的共同點。后面幾組題目，主要是分數乘法與分數除法的縱向比較，明確乘除法計算的異同，打通乘除法之間的關系。分數除法計算包含本節課學到的分數除以整數，以及下節課要學到的整數除以分數和分數除以分數，最后兩題的設置，意在幫助學生深入了解分數除以整數的概念，掌握分數除以整數的計算模型，提升他們對整數除以分數算法遷移的探究能力。