多元表征，促進學生數學深度學習
——以“認識面積”一課的教學為例

江蘇省鹽城市步鳳小學

朱萬春

數學多元表征是指在數學學習中，既有內隱的心理層面的知識整合與建構，也有外顯的能夠呈現認知過程和認知結果的多樣化的數學表達。數學概念在教學中成為一個難點，多元表征的學習方式在概念教學上使用較多。

最可悲的是肯尼迪，擺譜擺掉了腦袋。肯尼迪是美國歷史上最年輕總統，素好張揚，喜歡排場。他的車隊來到達拉斯，巡游路線本可以在稍偏一點兒的地方通過，他非要在達拉斯最繁華地區通過；本來安排他坐防彈轎車，他卻執意要坐更拉風的敞篷轎車，且車速僅15公里每小時。這就給了殺手絕佳的機會，一聲槍響，要了他的性命。

數學概念是客觀現實中的數量關系和空間形式的本質屬性在人腦中的反映。描述式概念是小學第二學段最主要的表示方式，筆者引導學生通過對動作、圖像、言語等多元表征過程的學習，讓學生經歷概念生成、整理和歸納的過程，幫助學生真正領悟數學概念本質。下面筆者以蘇教版三年級“認識面積”一課的教學為例，談一談教學中如何合理運用多元表征促進學生對數學概念的學習。

一、經歷多元表征過程，建立“面積”的模型

基于“面積”概念的抽象，對學生的認知水平有一定的要求，筆者設計了“直觀—體驗—理解”的認知過程，引導學生從真實情境中直觀發現身邊的地面、黑板面、櫥窗面、數學課本的表面等，從找“面”、摸“面”，到從抽象的長方形、正方形等平面圖形中的識“面”。通過比一比、說一說等活動，初步體驗什么是面的大小；運用圖像表征，豐富面積概念的語言描述，拓展學生對面積的理性認識，深入理解面積的意義。

（一）經歷動作表征，體驗物體的“面”

小學生受思維發展和認知水平的局限，對一些概念難以認知和理解，教師可以創設真實的生活情境，直觀可視地對“面”的概念進行演示，通過模仿引導學生動手操作等，豐富學生的直觀感受，積累操作經驗。

片段1：找一找，摸一摸

師播放視頻。

第二，財務共享服務中心的推行。大數據時代催生了財務共享服務中心，它作為新的財務管理模式旨在簡化或取消各分公司的財務部門，解決企業財務職能建設中投入過于重疊的現象和效率過低的問題。降低人員成本是大數據為企業帶來的便利，但同時也帶來了問題，比如巨大的稅務風險及稅務機會成本。

師：他們在做什么？女生在打掃哪兒？男生呢？

生1：他們在勞動，女生擦黑板，男生拖地。

②槽段開挖完畢，檢查槽位、槽深、槽壁垂直度，合格后方可清槽換漿，槽壁垂直度偏差小于0.4%，清槽后保證槽底沉渣厚度不大于10 cm。

當前，為了土地儲備管理制度的運行有所保障，完善的監督機制是必不可少的。重點強調以下幾個方面：一是提高政府進行土地儲備管理工作的透明度，并定期向社會公開具體管理信息，使政府的各項措施都能受到群眾的有力監督；二是全面規范土地儲備管理的工作環節，要注意的是每個環節都要公開，嚴格按照公開環節具體實施；三是加強監督管理部門的執行力度，明確規范各個監督機構的職責分配，建立起相應的考核制度，定期對相關責任人進行評議。

“面”在生活中無處不在，你還能找到什么“面”？

生2：地面。

師：你真會觀察，讓我們一起來觀察一下地面。

生3：課本封面。

師：你能到前面來“摸”給大家看一看嗎？

生上臺展示。

師：不著急，慢慢摸，從左邊摸到右邊，再繼續，把封面的每個角落都要摸到。下面請同學們伸出手掌，我們一起來摸一摸桌面。還找到什么面了？

生（齊）：課桌面、椅子面……

在當今，應多關注“自我”的觀念越來越被老年人接受，這讓很多老人過于在乎自己的得失和感受，忽略了子女的現實需要和不滿情緒，從而造成了家庭不和諧。

Analysis on the variability of housing pattern under the family pension model

真實的生活情境，拉近了師生的距離，可以激發學生的學習興趣。

師：觀察得真仔細！（師指黑板）老師手指指的就是（ ），黑板邊框一周的總長就是黑板的（ ），手掌摸的就是黑板的（ ）。

（二）經歷圖像表征，感悟物體的“面積”

師：謝謝你，又為我們提供了一種比較面積大小的好方法。

片段2：初識“面積”概念

師：同學們找到這么多“面”，請你們仔細觀察這些“面”，你們發現了什么？

生1：這些“面”的大小不同。

《義務教育數學課程標準（2022 年版）》指出，符號意識主要指能夠感悟符號的數學功能，量感主要指對事物的可測量屬性及大小關系的直觀感知，符號意識和量感是形成抽象能力的經驗基礎。運用圖像、符號多元表征在面積大小比較中可以結合符號表征對可測量圖形的大小關系進行度量，學會在同一度量方法下進行不同比較。

生2：是面積。

師板書：面積。

師：今天我們就一起來研究面積。如班級櫥窗面的大小就是櫥窗面的面積。門面的大小就是門面的面積。數學課本封面的大小指的是……

生3：數學課本封面的面積。

師：咱們說了這么多“面”的面積，用一句話表達就是這些物體的“面的大小”，就是這些物體“面”的面積。

師：請同學們也找2 個“面”，比一比它們面積的大小，和同桌說一說。

生交流。

師：剛才我們比較出了許多“面”面積的大小，蒙上眼睛你還能比出來嗎？接著我們來玩摸“面”的游戲。

學生通過圖像表征從平面到立體，空間想象物體面積的表征，從規則到不規則物體，由立體實物抽象出圖像，在比一比、說一說等活動中初步體驗面積的概念，完善學生對面積含義的理解，感受數學學習的快樂。

（三）經歷言語表征，探索物體的“面積”

通過互動交流、合作探究，教師引導學生在找一找、摸一摸、比一比的過程中用數學語言描述“面的大小”“面積的意義”，用言語表征簡約、精確地描述物體面積，構建“面積”概念；引導學生感悟數學與現實世界的交流方式。

片段3：在比較中鞏固“面積”概念

微商品牌很難活過3年，就是因為不能通過熟人圈賣貨，把生意鏈條真正打通。很多年前，就有業內人士說，如果做微商的話，能想到的是通過朋友圈賣游艇。嗯，這個倒有可能成功。所以，進入微商，要了解微商目前的核心不是賣產品，而是賣造富夢想，忽悠一批人跟你沒命的發展代理。這跟直銷有點像，也是微商一直被人詬病的地方。明白并接受微商的本質以后，再說3個基礎點。

師：現在我們知道了物體表面的面積有大有小，下面請同學們將剛剛摸的“面”畫下來。

生展示（圖略）。

師：這樣的方法我們以前也遇到過，在比輕重的時候，就是用小質量量大質量，比長短的時候，用小長度量大長度，你們看，原來知識之間都是相通的。

（1）對比圖1 中兩個圖形的相同之處。

圖1

（2）比較圖2 中兩個圖形的不同之處。

世界以痛吻我，我或許不能報之以歌，但我可以做些什么繼續活下去。活得好壞也許不重要，慶幸的是，我活著。那些遭遇生活打擊卻依然活著的人們，就像大海中航行的小船，不管是迷途還是停滯，只要還在航行，只要還沒有沉默，茫茫大海上就總會有燈塔，在努力向他們投射光亮。

圖2

小結：周長研究的是線的長短，面積研究的是面的大小。

在“面積”概念形成的過程中，引入生活“真實情境”，基于三年級學生的心理發展，引導學生經歷動作表征、圖像表征后，使學生通過言語表征，建立“面積”概念。教師出示兩組圖形，搭建引發沖突的腳手架，讓學生在判斷、重構中感受面積與周長的不同，培養學生從具象圖形認知“面”有大有小，面積也有大小。

二、重視表征轉換，內化“面積”的理解

動作、圖像、言語等不同表征的轉換呈現了學生不同的思維角度和水平。“認識面積”教學顯然運用了多元表征，如動手操作、圖像表示、言語解釋與學習背景等都有直接的聯系。同時，學生學習需要高階思維層次的符號、數據等表征進行交流反饋，進一步促成各種表征的轉換，建立不同表征的認知聯結，經歷面積大小的度量過程，初步感知面積度量單位統一的必要性，形成量感。

（一）運用多元表征，內化“面積”度量

師：看來“面”有大有小，這些“面”的大小指的是什么？

片段4：比較面積大小

（1）觀察法

師：你能一眼看出圖3 中四個平面圖形誰的面積最小嗎？

圖3

生1：③號。

（1）下面的場景哪些與面積有關呢？（圖略）

（2）重疊法

師：誰的面積最大？你們還有什么辦法可以比較出來嗎？

生2：瞧，把幾個圖形重疊后就能看出④號最大了。

《義務教育數學課程標準（2022 年版）》指出，空間觀念主要是對空間物體的形狀、大小及位置關系的認識。學生對面積概念的理解比較陌生，已學周長的概念對于學生認識面積具有負遷移。學生在學習“物體面的大小就是面積”時,教師可以從實物或立體圖形中抽象出圖形、符號等，經過學生觀察，將這些圖像轉化為數學思想表征，形成圖像表征，讓學生充分經歷對“面”的大小的感知活動,結合實例形成對面積的真實體驗。

（3）測量法

師：還剩①號和②號，誰大誰小呢？確定嗎？究竟哪個面積大呢？你們有什么辦法來比一比。

師：來試一試。能比出來嗎？或者你還有什么其他的方法嗎？老師請了一些我們數學學習上的好伙伴，看看能不能幫助我們（師出示小正方形、小圓片、方格紙），請你們選擇一種材料擺一擺、數一數、比一比，把結果填到學習記錄單上。

師：都完成了嗎？請同學們一起來交流一下。

生1：我們小組是用小正方形測量的，長方形用了8個小正方形，正方形用了9 個小正方形。得出正方形的面積大。

下頜阻生第三磨牙拔除術是口腔科門診常見手術。由于下頜阻生第三磨牙變異性比較大，存在多種阻生情況，且局部解剖結構復雜，手術操作視野局限，因此，拔除難度較大[2]。錐形束CT是專門針對口腔臨床應用的CT三維成像技術，能夠清楚、真實地反映口腔和面部，尤其骨性組織的三維結構及空間位置關系[3]。應用錐形束CT觀察阻生第三磨牙區域解剖三維立體影像，可使手術定位更加準確，從而最大程度避免手術并發癥，還可以縮短手術時間，減少患者痛苦。

生2：我們是用小圓片測量的，長方形用了8 個小圓片，正方形用了9 個小圓片。得出正方形面積大。

生3：我們小組是用方格紙測量的，長方形用了32個小方格，正方形用了36 個小方格。得出正方形的面積大。

師：剛剛我們用小正方形、小圓片、方格紙，都能比較面積大小，仔細觀察，它們有什么相同的地方嗎？

生4：我們是用小的面積測量大的面積。

師：是的，其實我們都是在用小的面積測量大的面積。

1.服務供給擴容。在全區推進日常健身休閑活動普及工作，將傳統的休閑產品改造為適宜休閑、娛樂、度假的高端產品。因地制宜地發展山地、水上、汽車、摩托車、航空等戶外運動，并發展特色運動，推動“互聯網+健身休閑”融合發展。各地市可參照《實施意見》開展研究制定戶外運動健身規劃，加速推進全區山地戶外運動基地、海洋和內陸水上運動基地建設；打造“1+6”自駕路線和營地網絡；推動航空飛行營地和俱樂部的發展，加快發展民族傳統體育運動。

師（板書）：測量法。

師（小結）：這些平面圖形也有各自的大小，所以平面圖形的大小就是平面圖形的面積大小。我們挑幾個來研究。

將面積置身于度量之中，豐富了學生對度量概念的感知，使其進一步體會到了面積的本質含義，體驗了建立標準的價值，同時也孕伏了面積就是面積單位的個數累加，為下節課的學習做了鋪墊。

（二）聚焦多元表征，升華“面積”認知

以跨學科學習為主，筆者創設了勞動生活情境主題，采用主題式學習方式，聚焦多元表征解決實際問題，內化“面積”意義認識，在交流展示中讓學生說一說、做一做、想一想、寫一寫，使學生充分經歷從感性認識升華到理性認識的過程，形成“面積模型”。

片段5：運用多元表征，開展主題學習

圖3（a）為實驗室中使用固定設備固定手機對兩個動態物體進行拍攝，模擬固定式相機在多動態目標下的情形。而兩個動態物體的運動軌跡是不同的，因此兩個運動物體所對應的虛擬相機運動軌跡也是不一樣的，所以采用目標跟蹤技術跟蹤我們想要得到的單個運動目標。在跟蹤的同時，消除背景對重構的影響，對于靜止的背景而言，相機的姿態是不變的，如果想要從序列圖像中重構動態物體，就需要消除背景對計算虛擬相機軌跡的影響。

為使港珠澳大橋橋墩警示標志能穩定工作，始終處于良好狀態，并能在陰雨天氣下連續工作20個日歷天，需要對標志的供電系統進行精心的設計，包括燈器的選用，電池的選用、配置，太陽能板的選用、配置；輸電電纜的選用等。

師：同學真棒，通過摸一摸、說一說、比一比的活動，很快就認識了面積，現在讓我們帶著數學知識一起回到熱鬧的勞動場景中吧！

怎樣捕捉人物的“神”；各種燈光的打法；氛圍營造；強大的后期處理；攝影美學理論；市場現狀和流行趨勢；現場拍攝及創作指導；犀利點評；獲獎經驗；等等。

師：你們真會觀察！面積相差比較大時，看一看就可以比較。

①擦玻璃

②給賀卡貼花邊

③拖地

④圍柵欄

（2）圖4 中，哪個圖形的面積最大？

圖4

師：請同學們在學習單上完成。

匯報：第③塊地有點特別，你是怎樣數出16 格的呢？

（3）“農具變變變”。（圖略）

師：小鏟子的面積是多少？現在呢？仔細看，它變成了一個小叉子，面積是多少？同學們真是火眼金睛。瞧，它又變成了一個灑水壺，面積又是多少？

（4）統一標準。

師：三年級同學勞動的內容是擦墻面，看看他們都領到了什么任務？聰明的同學們，你們知道誰分得的墻面面積最大嗎？確定嗎？好，讓我們去現場看一看。怎么樣？這是為什么呢？

（5）小結

師：請同學們回顧一下，我們是怎么認識面積的呢？首先我們在黑板上找到面，又在生活中的物體上認識了面和面積，然后我們用不同的方法比較了幾個圖形面積的大小，最后又在我們熟悉的勞動場景中運用面積的知識解決了問題。

師：現在你們認識面積了嗎？那你們知道，面積是怎么來的嗎？

生交流。