“導(dǎo)數(shù)的概念”教學(xué)實(shí)錄

上海中學(xué)東校 王 靚

1 教學(xué)目標(biāo)設(shè)置

(1)經(jīng)歷用平均速度“逼近”瞬時(shí)速度的過程,體會(huì)瞬時(shí)速度的本質(zhì)是平均速度的極限,初步體會(huì)極限思想;

(2)通過求自由落體運(yùn)動(dòng)中物體在具體時(shí)刻的瞬時(shí)速度,類比函數(shù)變化率的極限;

(3) 經(jīng)歷由特殊到一般,由量變到質(zhì)變的過程,感悟數(shù)學(xué)抽象與邏輯的魅力.

2 教學(xué)重難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的概念和極限思想.

教學(xué)難點(diǎn)：從求瞬時(shí)速度的具體案例中抽象出導(dǎo)數(shù)概念.

3 學(xué)情分析

學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過瞬時(shí)速度,對瞬時(shí)速度有初步的描述性理解,但對于瞬時(shí)速度的算法比較模糊;同時(shí),在高一年級函數(shù)零點(diǎn)的學(xué)習(xí)中,體會(huì)過利用二分法逼近函數(shù)的零點(diǎn),學(xué)習(xí)過數(shù)列極限的描述性定義.現(xiàn)行的高中數(shù)學(xué)教科書在給出導(dǎo)數(shù)概念之前并沒有嚴(yán)格介紹極限的概念及其運(yùn)算.另一個(gè)認(rèn)知障礙是對導(dǎo)數(shù)符號及其意義的理解,原因在于導(dǎo)數(shù)符號的高度抽象性.

4 教學(xué)過程設(shè)計(jì)

4.1創(chuàng)設(shè)情境

觀看汽車時(shí)速、高鐵時(shí)速、導(dǎo)航時(shí)速三個(gè)發(fā)生在我們身邊的場景,提出問題1.

問題1當(dāng)我們乘坐高鐵時(shí),常常會(huì)在車廂內(nèi)看到如圖1所示的列車信息顯示屏.在列車運(yùn)行中,顯示的速度在不斷的變化,說一說你對圖中“速度350 km/h”的理解.

圖1

生:我覺得是瞬時(shí)速度.

追問1：在物理學(xué)科中,相較于瞬時(shí)速度,你還學(xué)過什么速度?

生:平均速度.

追問2：物理中運(yùn)動(dòng)物體的平均速度和瞬時(shí)速度是如何定義的?

生:平均速度是運(yùn)動(dòng)物體的位移與時(shí)間的比值,瞬時(shí)速度是運(yùn)動(dòng)物體在某一時(shí)刻或某一位置的速度.

追問3：直覺告訴我們,“某一時(shí)刻”或“某一位置”是一個(gè)點(diǎn),一個(gè)點(diǎn)的“位移”等于0.按照“常理”,“某一時(shí)刻的速度”應(yīng)該都等于0,這與物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)相符嗎?問題出在哪里?

生:運(yùn)動(dòng)物體在“某一時(shí)刻”或“某一位置”的時(shí)間也是0.

下面我們以自由落體為例來研究一下.

追問1：求t=2附近的時(shí)間段物體在t=1到t=3內(nèi)的平均速度.

追問2：用20 m/s來表述自由落體運(yùn)動(dòng)中1至3秒的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)是否合理?

生:不合理.

追問3：為什么不合理?試著描述物體在t=1到t=3內(nèi)的速度變化情況.

生：物體在1～3秒內(nèi)的速度越來越快了.

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)用平均速度不能準(zhǔn)確地反映自由落體物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài),僅用一個(gè)時(shí)間段內(nèi)的平均速度難以準(zhǔn)確描述在某時(shí)刻附近時(shí)間段內(nèi)變速運(yùn)動(dòng)的過程,如何精確地對整個(gè)過程進(jìn)行描述,引出研究瞬時(shí)速度的必要性.

追問4：能否用數(shù)據(jù)支持物體在1到3秒內(nèi)的速度越來越快的結(jié)論?

生1:如果把這段時(shí)間分成[1,2]與[2,3]兩段,那么在這兩個(gè)時(shí)間段內(nèi)自由落體的平均速度分別是15 m/s與25 m/s.

生2:如果以0.5 s為間隔把[1,3]分成4個(gè)時(shí)間段,可以得出這4個(gè)時(shí)間段內(nèi)的平均速度分別是12.5 m/s,17.5 m/s,22.5 m/s,27.5 m/s.

師:隨著時(shí)間段的不斷細(xì)分,自由落體的物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)得到了越來越精確的描述.

追問5：如何求自由落體運(yùn)動(dòng)中物體在t=2時(shí)的瞬時(shí)速度?瞬時(shí)速度與平均速度有什么關(guān)系?

生:用很短時(shí)間段的平均速度來近似得到瞬時(shí)速度.

師:事實(shí)上,物理實(shí)驗(yàn)中測量運(yùn)動(dòng)物體的瞬時(shí)速度確實(shí)是這樣做的.物理實(shí)驗(yàn)中的光電門和打點(diǎn)計(jì)時(shí)器都是通過測量很短時(shí)間內(nèi)的平均速度近似估計(jì)瞬時(shí)速度.

追問6：求物體在t=2時(shí)的瞬時(shí)速度,很短的時(shí)間間隔如何表述?你能舉幾個(gè)例子嗎?

生1:[1,3],[1.9,2.1],[1.99,2.01],等等.

生2:[2,2.1] ,[2,2.01],[2,2.001],等等.

生3:可以取[2,2+t],然后對t的取不同的值,讓其越來越小.

為了研究方便,我們在t=2之前或之后任取一個(gè)時(shí)刻2+h,將時(shí)間段記為[2+h,2](h<0)或[2,2+h](h>0).

設(shè)計(jì)意圖：通過問題引導(dǎo)學(xué)生思考,從學(xué)生已知的平均速度出發(fā),去探究未知的瞬時(shí)速度;通過縮短時(shí)間區(qū)間,用平均速度逼近瞬時(shí)速度的方法,培養(yǎng)學(xué)生分析、解決問題的能力.

對不同時(shí)間段長度值|h|,t=2附近時(shí)間段的平均速度如下:

表1

表2

追問7：觀察表1,表2,能否給出自己的發(fā)現(xiàn)?

同一圖形出現(xiàn)在連續(xù)幾張課件中時(shí)，圖形位置應(yīng)固定不變，避免注意力的分散.體現(xiàn)了認(rèn)知負(fù)荷理論的一致性原則.[19—21] 在課件播放過程中，學(xué)生比較容易關(guān)注動(dòng)態(tài)的圖形，位置發(fā)生改變，使相鄰兩頁課件產(chǎn)生振動(dòng)效果，不利于學(xué)生注意力的集中.勾股定理課件制作過程中，同一圖形出現(xiàn)在連續(xù)幾張課件中時(shí)，圖形位置應(yīng)固定，減少視覺對圖形位置改變的處理，降低視覺產(chǎn)生的認(rèn)知負(fù)荷.

追問8：你認(rèn)為通過上述列表計(jì)算得出瞬時(shí)速度的過程可靠嗎?可否用數(shù)學(xué)的計(jì)算與推理證實(shí)我們的判斷?

追問9：趨近一詞是否用數(shù)學(xué)符號語言來表達(dá)?

生:可以用極限.

追問10：非常好!我們在數(shù)列的學(xué)習(xí)中學(xué)過極限,那么仿照數(shù)列的極限表達(dá),你認(rèn)為這里應(yīng)該怎么表達(dá)呢?

生:可以將其表達(dá)為

師:很好,t=2時(shí)的瞬時(shí)速度就是這樣表示.

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生從表格直觀感受逼近過程后,教師再引導(dǎo)學(xué)生利用運(yùn)算來發(fā)現(xiàn)代數(shù)規(guī)律,滲透數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).數(shù)學(xué)是培養(yǎng)理性思維的重要載體,學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)離不開運(yùn)算推理和演繹證明.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的結(jié)果需要用數(shù)學(xué)的運(yùn)算推理加以驗(yàn)證,體現(xiàn)了理論與實(shí)踐的統(tǒng)一,更讓人信服.同時(shí),培養(yǎng)學(xué)生崇尚數(shù)學(xué)的理性精神和審慎的思維習(xí)慣.

追問11：自由落體運(yùn)動(dòng)中,物體下落的距離d(單位:m)與時(shí)間t(單位:s)近似滿足函數(shù)關(guān)系d=5t2.試求物體在t=1時(shí)的瞬時(shí)速度.

經(jīng)過計(jì)算學(xué)生得出:t=1時(shí)的瞬時(shí)速度為

設(shè)計(jì)意圖：期望學(xué)生通過類比,掌握表達(dá)式的結(jié)構(gòu),并加深對結(jié)構(gòu)的認(rèn)識,為下一步用字母表達(dá)數(shù)字做好鋪墊.

追問12：我們已經(jīng)計(jì)算出t=1 s,t=2 s的瞬時(shí)速度,那么對于某一時(shí)刻t=t0,你能計(jì)算出瞬時(shí)速度嗎?

學(xué)生通過計(jì)算得出:

設(shè)計(jì)意圖：從特殊到一般,通過運(yùn)算求瞬時(shí)速度的過程,為抽象概括導(dǎo)數(shù)概念提煉出一個(gè)極限模型.

追問13：10t0與前面實(shí)驗(yàn)及證明的結(jié)論是否具有一致性?

生:代入t=1 s,t=2 s,發(fā)現(xiàn)與前面的結(jié)果一致.

追問14：10t0與物理學(xué)中自由落體運(yùn)動(dòng)的速度公式是否具有一致性?

生:物理中的自由落體速度公式為v=gt,其中g(shù)為重力加速度,近似取g=10 m/s2時(shí)結(jié)果一致.

設(shè)計(jì)意圖：通過上述問題得到了自由落體運(yùn)動(dòng)在任一時(shí)刻t=t0處的瞬時(shí)速度為10t0,也就是自由落體運(yùn)動(dòng)在任意時(shí)刻t=t0處的導(dǎo)數(shù).這說明導(dǎo)數(shù)是普遍存在的,可以在自由落體物體的任意運(yùn)動(dòng)時(shí)刻找到它.該過程體現(xiàn)了由特殊到一般、由具體到抽象的數(shù)學(xué)思想方法,為導(dǎo)函數(shù)概念的形成做好了鋪墊.同時(shí),通過數(shù)學(xué)運(yùn)算得到的結(jié)論與學(xué)生熟知的物理中自由落體運(yùn)動(dòng)的速度結(jié)論一致,再一次讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)作為基礎(chǔ)學(xué)科的重要性.

4.2 抽象概念

問題3如何從數(shù)學(xué)角度對以上解決問題的方法進(jìn)行更一般的描述?

追問1：如果研究更一般的問題,函數(shù)y=f(x)在x=x0的瞬時(shí)變化率如何表示?

追問2：根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義,你能用導(dǎo)數(shù)來重述自由落體運(yùn)動(dòng)問題的結(jié)論嗎?

生:自由落體運(yùn)動(dòng)物體在t=2時(shí)的瞬時(shí)速度就是其下落距離d(t)在t=2時(shí)的導(dǎo)數(shù)值,即為d′(2).

4.3 例題講解

例1已知在使用某種殺菌劑t小時(shí)后室內(nèi)的細(xì)菌數(shù)量為f(t)=-103t2+104t+105.

(1)求f′(10);

(2)f′(10)的實(shí)際意義是什么?

解：(1)當(dāng)h≠0時(shí),在使用殺菌劑10小時(shí)附近的時(shí)間段[10+h,10](h<0)或者[10,10+h](h>0)內(nèi),細(xì)菌數(shù)量關(guān)于時(shí)間的平均變化率為

=-104-103h.

(2)f′(10)的實(shí)際意義是細(xì)菌數(shù)量在t=10時(shí)的瞬時(shí)變化率.它表明在t=10附近,細(xì)菌數(shù)量大約以每小時(shí)104的速率減少.

思考：能否求出t=t0時(shí)的f′(t0)?

設(shè)計(jì)意圖：此例題為教材中的例1,但將教材中f(t)=105+104t-103t2改為f(t)=-103t2+104t+105,這樣書寫更規(guī)范,更有利于學(xué)生計(jì)算.雖然本題的運(yùn)算量較大,但未對具體數(shù)據(jù)進(jìn)行優(yōu)化,主要原因有兩個(gè)方面.一是考慮在未來科學(xué)研究中的數(shù)據(jù)大多是繁復(fù)的,二是一定量的運(yùn)算是提升學(xué)生運(yùn)算素養(yǎng)的訓(xùn)練.

練習(xí)1將原油精煉為汽油、柴油、塑膠等各種不同產(chǎn)品,需要對原油進(jìn)行冷卻和加熱,已知在第x小時(shí)時(shí),原油的溫度(單位:℃)為f(x)=x2-7x+15(0≤x≤8).經(jīng)過計(jì)算可知f′(2)=-3,f′(6)=5.試說明它們的意義.

練習(xí)2閱讀下列情境,并嘗試用自己的語言解釋相應(yīng)導(dǎo)數(shù)的實(shí)際意義:

(1)豎直向上發(fā)射的火箭熄火時(shí)的上升速度為100 m/s,此后其位移H(單位:m)與時(shí)間t(單位:s)近似滿足函數(shù)關(guān)系H(t)=100t-5t2,H′(2)=80;

追問：根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義,你能用導(dǎo)數(shù)來解釋復(fù)興號列車顯示屏上的350 km/h的意義嗎?

生:復(fù)興號列車在8∶03那一瞬間的瞬時(shí)速度是350 km/h,也就是列車的位移關(guān)于時(shí)間的函數(shù)在那一時(shí)刻的導(dǎo)數(shù)值是350.

師:復(fù)興號是我國自主研發(fā)的具有獨(dú)立知識產(chǎn)權(quán)的新一代高速列車,2022年北京冬奧會(huì)的復(fù)興號專列成為了一張國家名片,冬奧會(huì)期間各國的記者和運(yùn)動(dòng)員搭乘“瑞雪迎春”復(fù)興號感受到了中國速度與冰雪激情.

設(shè)計(jì)意圖：《微積分的力量》一書中寫到,我們不必為了理解微積分的重要性而學(xué)習(xí)如何做運(yùn)算,就像我們不必為了享用美食而學(xué)習(xí)如何做佳肴一樣,在導(dǎo)數(shù)概念的第一課時(shí)中,理解導(dǎo)數(shù)的概念及意義更重要,而學(xué)會(huì)求導(dǎo)以及如何計(jì)算不是本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn).同時(shí),通過以上物理、化學(xué)、生物、地理中的實(shí)例感受導(dǎo)數(shù)主要用來刻畫運(yùn)動(dòng)和變化,以及微積分在自然科學(xué)及社會(huì)科學(xué)中的廣泛應(yīng)用,深入體會(huì)“數(shù)學(xué)是一切科學(xué)的語言”.

4.4 數(shù)學(xué)文化

師:這節(jié)課中,由物理中的瞬時(shí)速度抽象出導(dǎo)數(shù)概念的這一過程,歷史上第一個(gè)發(fā)現(xiàn)的人是牛頓.1666年英國倫敦突發(fā)鼠疫,牛頓所在的劍橋大學(xué)也被迫封校,牛頓被隔離在鄉(xiāng)下的家中,潛心研究,才有了這樣震驚世界的發(fā)現(xiàn),世人都稱牛頓為居家隔離型的天才少年,所以大家即使被疫情所擾,一旦被隔離在家,也不用過分擔(dān)心,如果潛心研究,說不定這是一次改變世界的機(jī)會(huì).

設(shè)計(jì)意圖：簡述牛頓從物理學(xué)的角度發(fā)明微積分的故事,另一位發(fā)明人萊布尼茨是從數(shù)學(xué)角度發(fā)明了微積分.要求學(xué)生上網(wǎng)查詢相關(guān)歷史.

4.5 課堂小結(jié)

通過一種現(xiàn)象——從“平均變化率”到“瞬時(shí)變化率”:

利用一種運(yùn)算——極限;引入一個(gè)概念——導(dǎo)數(shù).

從而使一個(gè)難以描述的問題得到了準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)表達(dá),以此為根基建立了整個(gè)微積分的大廈.

4.6 拓展思考

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②f(x)=|x|,x0=0.

5 教學(xué)體會(huì)與思考

概念課要舍得花時(shí)間讓學(xué)生細(xì)細(xì)體會(huì)概念的發(fā)生、發(fā)展過程,品味概念生成的每一個(gè)環(huán)節(jié)實(shí)則對學(xué)生的創(chuàng)新意識及審慎思辨的態(tài)度的影響是深遠(yuǎn)的.結(jié)合課例,筆者認(rèn)為概念課要做到以下三點(diǎn).

5.1 選擇恰到好處的情境

5.2 提出促進(jìn)思維的問題

問題指引著數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本方向,數(shù)學(xué)的基本知識、基本思想方法及數(shù)學(xué)解題策略都是基于一系列的問題產(chǎn)生的.

本節(jié)課教師在自由落體問題的探究過程中利用“問題串”串起研究的必要性(追問1-4)、如何展開研究(追問5-6)、研究過程(追問7-11)、研究結(jié)論(追問12)以及研究結(jié)論正確性論證(追問13-14)的過程.通過14個(gè)問題引領(lǐng)學(xué)生展開具有深度的思維活動(dòng),問題由淺入深,逐漸提升問題層次,最終深入數(shù)學(xué)的本質(zhì).教師提出問題的質(zhì)量決定了教學(xué)的質(zhì)量與效率,所以設(shè)計(jì)合理的“問題串”引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行基于思維的自主探究,是教師“潤物細(xì)無聲”的親身示范,是教師對學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)滲透的良好時(shí)機(jī).

5.3 遵循數(shù)學(xué)抽象的過程

從教學(xué)過程來說,教師在概念課的課堂教學(xué)中的抽象過程遵循了實(shí)物層面的抽象(自由落體運(yùn)動(dòng)在2 s處的瞬時(shí)速度)—初步概括的抽象(瞬時(shí)速度到瞬時(shí)變化率抽象)—符號層面的抽象(導(dǎo)數(shù)的概念及導(dǎo)數(shù)符號語言的理解)—系統(tǒng)化層面的抽象(基于導(dǎo)數(shù)定義及導(dǎo)數(shù)實(shí)際意義理解的例1及練習(xí)1,2)這一過程,教科書中的抽象過程是生硬的沒有過渡的,而課堂教學(xué)的優(yōu)勢就是教師用豐富的教學(xué)行為將各抽象之間的過渡銜接得更加符合學(xué)生的認(rèn)知能力.

在課堂教學(xué)中,教師要用自己的行為為學(xué)生做出良好的示范及引導(dǎo),潛移默化地發(fā)展學(xué)生分析、解決問題的能力,將數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的培養(yǎng)落實(shí)在教學(xué)行為中.基于數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)培育的教學(xué)實(shí)踐研究一直在路上,期待更多教師不斷地探索、實(shí)踐、交流.