HPM視角下談對數的起源

廣東省中山市龍山中學 陳 玉 彭 硯

HPM 全稱為“History and Pedagogy of Mathematics”,意思是在數學教學中融入數學史,用數學史的教育功能,全面發展學生的數學素養.了解知識的發生、發展過程,對學生數學能力的培養能起到很重要的作用.

但HPM在中學數學教學中一直處于”高評價,低應用”的尷尬位置,知網上有很多數學史在實踐中的應用這類型的論文,但在課堂中的應用情況還有待考察.

筆者從各種途徑收集了關于對數起源的歷史材料,并根據自己的理解進行梳理,然后用HPM方法中的順應式對對數概念的教學進行深入淺出的教學設計,從學生容易理解的角度對歷史材料進行改編.

1 歷史材料

關于對數的起源歷史材料有很多,最著名的就是以下兩個問題.材料1——布拉赫的困擾是對數起源的最根本原因:用來解決計算量大的問題.材料2——納皮爾的對數是公認的對數起源的過程:納皮爾對數的發現,實際上是參數方程的化簡過程.

1.1 布拉赫的困擾

第谷·布拉赫是16世紀下半葉丹麥的一位天文學家,他的主要研究工作是進行大量精密的天文觀測,以便為航海的人們確定船只的位置.在觀測后會得到很多數據,這些數據通常是雜亂無章的,處理數據就成了他最頭疼的一件事情.比如,下面是他要處理的幾個運算:

(1)32×1 024; (2)8 192÷32;

前面三個很容易,是我們熟悉的四則運算,第四個就不那個好算.按我們現在的知識,用筆算開平方其實也能算,但在以前是沒有這樣的知識的.

事實上,即使是常規的加減乘除與乘方運算,但如果要計算的數值很大,花費的時間就要增加,運算也會變得枯燥無味.距今三百多年前,十六七世紀的數學家經常要進行大量的關于天文和航海數據的計算,如299 792.468×31 536 000,其中,299 792.468是光在真空中的速度 (單位:km/s),31 536 000是一年的總秒數,顯然這個計算更加麻煩.

1.2 納皮爾的對數

假設在一次運動中,有兩個沿兩條線運動的質點.

如圖1,假設AB的長度為107單位,CD無限長,點P從點A向點B運動,同時點Q從點C向點D運動.點P的初速度為107,設PB=x(t),在運動的過程中,點P的速度與x(t)成正比,設比例系數為1,點P的速度為x(t).點Q做勻速直線運動,速度為107.設CQ=y.這是納皮爾構造的一個幾何模型.

圖1

解得x(t)=C·e-t.當t=0時,x(0)=107,代入得C=107.因此有x(t)=107e-t.

而點Q在射線CD上做勻速直線運動,則y(t)=107t.將y定義為x的對數,有y=Nap logx.

之后,納皮爾就用這個定義編制出了對數表,雖然花了大量的時間,但是在數學運算上取得了很大的進步.不過,剛開始時納皮爾選用的底數是一個相對較為復雜的數,并不好用.后來英國數學家布里格斯專程拜訪了納皮爾,并建議將底數改為10,因為這更加符合人們使用十進制的習慣.所以納皮爾又花了很多時間編制以10為底的對數表格,終于在1617年完成.人們一直都用這樣的對數表格進行各種各樣的復雜計算.

2 “對數概念的引入”教學設計與實施

2.1 教學分析

(1)教學背景.對數的引入是高中數學的一個難點,大部分學生對于對數的理解有很大的困難.HPM的提出和發展給了高中教師一個新的突破口,一種新的教學方法.課本中都是從指數的問題去引出對數,但從歷史上來看,對數的發明比指數要早.從上文可以看出,只要設計合理,讓學生了解知識的發生、發展過程,對學生的認知發展有非常大的幫助.

(2)學情分析.“對數的概念”是 2022年人教版必修第一冊第四章第三小節第一課時的內容, 在此之前學生已經學習了指數和指數函數,對指數的運算方法也有所了解.本節課的內容既有利于學生對指數有關知識的復習,也有利于對數的運算和對數函數的學習.學生在追根溯源的過程中體會數學史的魅力,體會數學知識的重要性.

(3)教學目標.知識目標:理解對數的概念,懂得指數和對數的互化.能力目標:培養邏輯推理能力和數學運算能力.情感、態度和價值觀:從歷史發展過程中去了解對數產生的意義,引發學習的渴望,自然而然地引出對數的概念.

(4)教學重難點.重點是對數的起源和對數的概念.難點是對數與指數的互化.

2.2 教學過程

教師:今天我們學習對數的概念.對數的產生最早是為了解決計算的問題.大家看一個例子.

學生:計算器也很難算出來!

教師:為了解決這個問題,數學家們引進了一個符號:“lg”,讀作:以10為底的對數.運用它的一些運算法則,除法運算可以變為減法運算,指數可以“下來”變系數.

(板書.給出參考數據:lg 3=0.477,1g 10=1.)

設計意圖：采用順應式改編了歷史材料1——布拉赫的困擾,讓學生初步了解對數對于計算的重要意義,認識到對數在“簡化運算”中的作用;引發學生學習的強烈愿望,為第二課時“對數的運算”做好鋪墊.

例2納皮爾精確的對數定義來源于一個運動的幾何模型.為了便于同學們更好理解,我們簡化了他的模型.假設有兩個沿兩條直線運動的質點.點P從起點A開始在線段AB上運動,同時點Q從起點C開始沿射線CD運動.設點P與終點B的距離PB=x(t),點Q與起點C的距離CQ=y(t).測量后知道:x(t)=2t,y(t)=3t.

(1)當點P運動了一段時間,PB=2時,點Q的位置?

(2)當點P運動了一段時間,PB=3時,點Q的位置?

學生:(1)當x=2時,t=1,則y=3.

教師:會解嗎?

學生搖頭.

教師:為了解決這個問題,我們引進對數的概念.把t稱為是以2為底3的對數.

設計意圖：采用順應式改編了歷史材料2——納皮爾的對數,避免了繁雜的分析,問題通俗易懂,直接引出對數的概念的重要性,順理成章地進行對數概念的講解,也為以后學習對數函數的概念埋下伏筆.

教師:一般地,如果ax=N(a>0,且a≠1),那么把指數x叫做以a為底N的對數,記作x=logaN,a叫做對數的底數,N叫做真數.(強調了x是指數.)

當a>0,且a≠1時,ax=N?x=logaN.

教師:對于例3的第(2)問,大家試試,現在能解決嗎?

學生:t=log23,則y=3log23.

教師:總結一下,對數是什么?

學生:①logaN是一個數;②這個數記為x,則x=logaN滿足ax=N(x在指數位置).

設計意圖：課堂小結非常重要,它是學生學了一節課后對知識的梳理.根據教學經驗可以知道,學生第一次接觸對數是很難理解的.總結對數的本質是非常有必要的.

上文只是對數概念引入的教學設計,接下來的教學內容就是用課本的題目鞏固和練習,在此就不詳細說明.

HPM的引入使學生對對數概念的理解更加深刻,對對數意義的領悟更加透徹.一開始問題的提出,造成學生心理的疑問,在適當的時候及時解決,學生有一種茅塞頓開的感覺.