巧用源于教材的變式拓展 提升學(xué)生素養(yǎng)

武威第八中學(xué) 徐殿雄

數(shù)學(xué)教學(xué)離不開解題,掌握數(shù)學(xué)就意味著要善于解題.解題不僅僅是單純的解答或推證出結(jié)果,更重要的是如何探源溯流,找尋試題結(jié)論的本質(zhì),挖掘試題背后蘊(yùn)藏的思想,通過解題引發(fā)學(xué)生思考與交流,提升數(shù)學(xué)思維能力,形成和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

1 從源頭探究

例1求直線l1:3x+4y-2=0和l2:2x+y+2=0的交點(diǎn)坐標(biāo).

解析：l1和l2的交點(diǎn)為M(-2,2).過程略.

評注：這是人教A版普通高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊第70頁例1,基礎(chǔ)題,主要考查兩條直線的交點(diǎn)問題,考查學(xué)生的“數(shù)學(xué)運(yùn)算”核心素養(yǎng),其實(shí)質(zhì)就是聯(lián)立直線方程,求解方程組.

思考：交點(diǎn)為M(-2,2)的直線l1和l2唯一嗎?,若不唯一,如何表示?

眾生:不唯一.

師:我們把過該點(diǎn)的直線叫直線系,如何用方程來表示,請先看下面的探究.

拓廣探究：已知λ為任意實(shí)數(shù),當(dāng)λ變化時(shí),方程3x+4y-2+λ(2x+y+2)=0表示什么圖形?圖形有何特點(diǎn)?

分析1：令3x+4y-2=0且2x+y+2=0,則方程組的解是x=-2,y=2,即方程3x+4y-2+λ(2x+y+2)=0表示過點(diǎn)M(-2,2)的一族直線系.

分析2：令λ=0,1時(shí),分別得到方程3x+4y-2=0和x+y=0,聯(lián)立方程并解得x=-2,y=2,即方程3x+4y-2+λ(2x+y+2)=0表示經(jīng)過點(diǎn)M(-2,2)的一族直線系.

變式不論λ為何值,直線(3+2λ)x+(4+λ)y-(2+2λ)=0都恒過定點(diǎn).

在教學(xué)中從典例出發(fā),適時(shí)改編設(shè)問方式換一副“新面孔”,有助于學(xué)生創(chuàng)新意識和創(chuàng)新精神的培養(yǎng),在變式中抓住題源,似曾相識,更能充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性,開闊視野,發(fā)展核心素養(yǎng).這種含參直線恒過定點(diǎn)的問題在實(shí)際應(yīng)用中較為廣泛,如在圓錐曲線有關(guān)定點(diǎn)、定值問題中常常用到這種方法.

2 從特殊到一般拓展探究

例2已知直線l1:A1x+B1y+C1=0與直線l2:A2x+B2y+C2=0相交,證明方程A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0 (λ∈R)表示過l1與l2交點(diǎn)的直線.

證明：設(shè)P(x0,y0)是直線l1與l2的交點(diǎn),則有A1x0+B1y0+C1=0且A2x0+B2y0+C2=0.于是A1x0+B1y0+C1+λ(A2x0+B2y0+C2)=0(λ∈R),所以D(x0,y0)也是直線A1x+B1y+C1+λ·(A2x+B2y+C2)=0(λ∈R)上的點(diǎn).問題得證.

評注：本題涉及過兩條相交直線交點(diǎn)的直線系方程如何寫;反之,如何求出含參的直線系的交點(diǎn)坐標(biāo).特別地,若P(x0,y0)是兩條互相垂直的直線l1與l2的交點(diǎn),則過點(diǎn)P的直線系方程是y-y0=k(x-x0),即(y-y0)-k(x-x0)=0,應(yīng)用十分廣泛.

先從直線方程的特殊性(x,y的系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)已知)到直線方程一般式(x,y的系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)未知)的變式,再到用變化的觀點(diǎn)去學(xué)習(xí)教材知識,抓住直線“變”與交點(diǎn)“不變”的核心,培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識.同時(shí),這種變式的方法為發(fā)揮教材中習(xí)題的典型性、示范性提供了可借鑒的方法[1].

3 類比聯(lián)想,拓展圓系方程探究

由直線系方程是否可以聯(lián)想到圓系方程呢?回答是肯定的.把“兩條直線相交”改為“兩圓相交”,可以類比寫出圓系方程,這樣可獲得同類知識的相關(guān)結(jié)論并靈活加以運(yùn)用.

例3求圓心在直線x-y-4=0上,并且經(jīng)過圓x2+y2+6x-4=0與圓x2+y2+6y-28=0的交點(diǎn)的圓的方程.

評注：解析2正是例2結(jié)論的推廣,利用此結(jié)論解題能打破常規(guī)思維(如解析1),方法簡便,過程簡潔.

4 類比聯(lián)想,拓展曲線系方程探究

除直線系方程和圓系方程外,我們大膽地聯(lián)想還會(huì)有“橢圓系”“雙曲線系”以及“拋物線系”方程,而這些方程可用“曲線系”方程代表.聯(lián)想、類比獲得同類知識的相關(guān)結(jié)論,能使學(xué)生在解題過程中體會(huì)、理解解決這類問題方法和區(qū)別所在,提高學(xué)生分析問題的能力.

例4已知曲線C1:f1(x,y)=0與C2:f2(x,y)=0相交,證明方程f1(x,y)+λf2(x,y)=0 (λ∈R)表示過C1與C2交點(diǎn)的曲線.

本題仿照例2容易得證,利用此結(jié)論易求教材第98頁習(xí)題2.5的第7題:求經(jīng)過M(2,-2)以及圓x2+y2-6x=0與x2+y2=4交點(diǎn)的圓的方程.

解法2：設(shè)所求圓的方程為x2+y2-6x+λ(x2+y2-4)=0.因?yàn)镸(2,-2)在圓上,將它代入方程,得λ=1,所以所求圓的方程為x2+y2-3x-2=0.

評注：本題還可以設(shè)出圓的一般方程,將三點(diǎn)坐標(biāo)代入求解.這兩種解法比較,顯然解法2簡捷明了,精彩紛呈.解題的關(guān)鍵是正確設(shè)出圓的方程.這是過兩條曲線交點(diǎn)的曲線系方程的標(biāo)準(zhǔn)形式,也給出了求該曲線恒過某一定點(diǎn)的方法.由易到難、由簡單到復(fù)雜的變化,能使學(xué)生從變中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)題之間的聯(lián)系與本質(zhì)區(qū)別以及題目“難”與“易”的辯證關(guān)系.

5 直線與圓位置關(guān)系中的定點(diǎn)、定值問題

例5已知圓C:(x-1)2+(y-2)2=25,直線l:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0.

(1)求證:直線l恒過定點(diǎn).(2)直線l被圓C截得的弦何時(shí)最長、何時(shí)最短?并求截得的弦長最短時(shí)m的值以及最短弦長.

(1)證明：直線l:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0可化為x+y-4+m(2x+y-7)=0.

所以直線l恒過定點(diǎn)A(3,1).

(2)解：直線l被圓C截得的弦長最長時(shí),直線l過圓心;直線l被圓C截得的弦長最短時(shí),弦心距最大,此時(shí)CA⊥l.

評注：本題考查直線恒過定點(diǎn)與弦長的計(jì)算問題.第(1)問利用例2的結(jié)論可以獲解;第(2)利用圓的特殊性,明確過圓內(nèi)定點(diǎn)的弦何時(shí)最長,又何時(shí)最短,然后利用弦心距、弦之半、半徑構(gòu)成直角三角形獲解.

如果本題第(1)問證明“不論m為何值時(shí),直線l和圓C恒有兩個(gè)交點(diǎn)”,那么只需判斷直線l恒過的定點(diǎn)在圓內(nèi)即可,或聯(lián)立直線和圓的方程,得到含參的關(guān)于x的一元二次方程,再用判別式即可判斷.

6 高考真題再現(xiàn)及其結(jié)論的應(yīng)用

我們發(fā)現(xiàn)教材基礎(chǔ)題與高考選拔題確實(shí)有一定的差異,但不能因此拋開教材,而應(yīng)更加熟練地掌握教材內(nèi)容及其中蘊(yùn)含的方法,這樣才能從容應(yīng)對“源于教材而高于教材”的高考題.

(1)求E的方程;

(2)證明:直線CD過定點(diǎn).

圖1

所以,直線CD的方程為

評注：本題第(1)問主要考查了橢圓的簡單性質(zhì)及方程思想.第(2)問欲證明直線CD過定點(diǎn),首先要求出直線CD的方程,這個(gè)方程是用點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y0作為參變量表示的;其次,需要分別求出C,D兩點(diǎn)的坐標(biāo),而C,D兩點(diǎn)的坐標(biāo)已知條件說得很清楚;最后,用直線方程的點(diǎn)斜式寫出方程,化為y-y0=k(x-x0)的形式,即可說明直線恒過點(diǎn)(x0,y0).證明的目標(biāo)很明確,需要轉(zhuǎn)化思想和推理論證能力,對學(xué)生計(jì)算能力的要求較高.學(xué)生往往對含字母的運(yùn)算望而生畏,心有余而力不足,導(dǎo)致證明半途而廢.

7 結(jié)束語

挖掘教材知識、串聯(lián)教材各考點(diǎn)的知識,根本目的在于讓學(xué)生能夠觸類旁通、融會(huì)貫通,學(xué)會(huì)探索和研究,在交流探究過程中,培養(yǎng)分析問題和解決問題的綜合品質(zhì).圓錐曲線中一個(gè)重要考點(diǎn)就是定點(diǎn)、定值問題,由于隱去題析增強(qiáng)了探索性,所以增加了試題的難度.因此,教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生打牢基礎(chǔ),教會(huì)學(xué)生能夠把教材前后之間的知識點(diǎn)、考點(diǎn)、相互關(guān)聯(lián)點(diǎn)交織成網(wǎng),掌握解題過程中“動(dòng)中求靜,靜中窺動(dòng)”的思維特點(diǎn).通過分析圖形找定點(diǎn)、探索共性尋定點(diǎn)、巧賦值找定點(diǎn)、仔細(xì)觀察猜定點(diǎn)等方法培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用知識的能力.這類問題正因?yàn)樘剿餍詮?qiáng)[2],因而是發(fā)展學(xué)生創(chuàng)新思維、全面提升學(xué)生素質(zhì)的好題材,教學(xué)中一定要充分利用其教學(xué)價(jià)值.