第三定義創(chuàng)設(shè),軌跡性質(zhì)應(yīng)用
——基于幾道教材習題的探究

江蘇省吳江平望中學 潘妙妙

蘇聯(lián)數(shù)學教育家奧加涅相說過:“必須重視很多習題潛在著進一步擴展其數(shù)學功能、發(fā)展功能和教育功能的可行性.”特別是高中數(shù)學教材,是高中數(shù)學教學與學習的根源所在,也是高考命題的背景與根基.認真鉆研教材,領(lǐng)悟教材的意圖與內(nèi)涵,對教學資源進行必要的整合與拓展是高中數(shù)學教學與學習的關(guān)鍵所在.

1 源于教材

習題[普通高中數(shù)學必修一(人教A版)第三章“圓錐曲線的方程”中第146頁復習參考題第11題]已知△ABC的兩個頂點A,B的坐標分別是(-5,0),(5,0),且AC,BC所在直線的斜率之積等于m(m≠0),求頂點C的軌跡.

以上三道例(習)題研究的都是:平面上異于兩定點的動點,其與兩定點所構(gòu)成的直線的斜率之積等于非零常數(shù),根據(jù)常數(shù)取值的變化情況,對應(yīng)的軌跡為橢圓(或雙曲線)問題.而不同問題中具體常數(shù)的取值情況,與對應(yīng)的軌跡(橢圓或雙曲線)之間存在何種關(guān)系或?qū)?yīng)聯(lián)系呢?其是否與圓的方程之間存在某種關(guān)系?是否與初中學習過的涉及圓的圓周角定理、圓的垂徑定理等存在某種關(guān)系?

2 探究拓展

以上展示的是求動點軌跡方程的問題,而問題實質(zhì)與背景就是橢圓(或雙曲線)的“第三定義”,以及與之對應(yīng)的軌跡方程和相應(yīng)的性質(zhì)問題等.

2.1 第三定義

橢圓(或雙曲線)第三定義:平面內(nèi)與兩個定點A(-a,0),B(a,0)連線的斜率的乘積等于常數(shù)e2-1的點的軌跡叫做橢圓(或雙曲線).其中兩個定點A(-a,0),B(a,0)分別為橢圓(或雙曲線)的頂點.

當常數(shù)e2-1小于0且不等于-1時,對應(yīng)動點的軌跡為橢圓;當常數(shù)e2-1大于0時,對應(yīng)動點的軌跡為雙曲線.

2.2 軌跡問題

(1)若λ<-1或-1<λ<0,則動點P的軌跡為橢圓(除A,B兩點外);

(2)若λ>0,則動點P的軌跡為雙曲線(除A,B兩點外);

(3)若λ=-1,則動點P的軌跡為圓(除A,B兩點外).

2.3 性質(zhì)問題

推論1(圓周角定理的推廣)若AB為“有心圓錐曲線”(圓e=0,橢圓01)的“直徑”(過對稱中心的弦),M為曲線上異于點A,B的任意動點,則kAM·kBM=e2-1.

推論2(圓的垂徑定理的推廣)若M為“有心圓錐曲線”(圓e=0,橢圓01)的弦AB的中點,其中弦AB不過曲線中心O且不平行于對稱軸,則kAB·kOM=e2-1.

3 鏈接高考

解析：設(shè)Q關(guān)于x軸的對應(yīng)點為M,則kAP·kAQ=-kAP·kAM.

點評：高考題常常源于教材而高于教材,是在高中數(shù)學教材的基礎(chǔ)上合理創(chuàng)設(shè),并進一步加以變式拓展與能力提升,很好地考查學生的“四基”落實情況,以及數(shù)學能力與數(shù)學品質(zhì).

4 教學啟示

4.1 回歸教材,深挖內(nèi)涵

教材中的例(習)題等,都是不同時期背景下教學與研究的精華與積累,具有很好的示范與引領(lǐng)作用.新高考命題方針下,更多的高考真題都出自高中數(shù)學教材中的例(習)題,借助教材中例(習)題加以背景創(chuàng)設(shè)、情境改編、變式應(yīng)用、拓展提升等,并進一步綜合此類例(習)題的背景、知識、思想、方法、技巧與策略等,既源于教材,又高于教材,充分體現(xiàn)了傳承與發(fā)展.

4.2 以“本”為“本”,提升能力

在高中數(shù)學教學中,回歸教材,以其為藍本,以“本”為“本”,吃準吃透,鏈接教材前后相關(guān)知識,合理并正確構(gòu)建起高中數(shù)學相關(guān)知識的網(wǎng)絡(luò)體系與知識框架,不斷挖掘數(shù)學知識的本源與內(nèi)涵,滲透數(shù)學思想方法和核心素養(yǎng),讓平時的數(shù)學教學真正為高考提供有效的動力與能力支持,全面提升學生數(shù)學能力,促其養(yǎng)成良好的數(shù)學品質(zhì)與習慣.