立足“三新”背景,強化“四基”應用,培養核心素養*
——“復數”大單元復習設計與安排

江蘇省灌云高級中學 孫 紅

在新教材(人民教育出版社2019年國家教材委員會專家委員會審核通過)、新課程(《普通高中數學課程標準(2017年版2020年修訂》)、新高考“三新”背景下,“復數”大單元的復習教學設計更加側重于“四基”層面,合理創設知識網絡與體系,注重復數概念的基礎性,凸顯復數運算公式的應用性,拓展數學思維的靈活性,聯系復雜創新場景與數學文化等,有效進行大單元復習教學設計與安排[1].

1 構建知識網絡,厘清單元系統

涉及“復數”大單元知識模塊,關鍵在于構建復數的概念、運算與應用等的知識網絡,“串聯”起各個知識點之間的聯系,形成各個節點,全面厘清單元系統,為知識的進一步理解與深化,以及綜合應用等創設條件[2].

以上“復數”單元的知識網絡(如圖1)中,從數學基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗這“四基”的不同視角來展開,并加以聯系,關注學生對“四基”的落實情況,以及發現問題、提出問題、分析問題與解決問題能力的培養與提升情況,重視數學核心素養的養成與發展.

圖1

2 重視概念學習,辨析區別聯系

“復數”大單元中涉及較多的概念,正確學習并理解對應的概念,以及不同概念之間的區別與聯系,特別是相互之間的差異,為解決問題提供條件.

這里主要涉及復數、實數、虛數、純虛數、共軛復數、復數相等等相關概念,關鍵在于厘清對應的概念與實質,并能合理辨析它們之間的區別與聯系.

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

分析：從創新定義入手,結合復數的四則運算,確定參數的值,并結合共軛復數的概念以及復數的幾何意義等來轉化與應用.

解析：由z=(2+ai)i=-a+2i,結合創新定義“等部復數”,可知-a=2,解得a=-2,即z=2+2i.

故選擇答案:A.

點評：這里通過創新定義,巧妙把眾多的復數概念融合其中,包括復數的實部與虛部、共軛復數、復數的幾何意義等,結合復數的四則運算加以綜合,合理辨析概念,巧妙求解.

“復數”大單元中除了本單元內的基本概念外,經常會通過數學文化場景、創新定義創設等方式引入一些新的概念.解題時要與已知概念進行對比與分析,進而加以正確理解與巧妙應用,實現知識與思維的全面發展.

3 強化復數“公式”,增強數學運算

“復數”大單元中,正確理解并掌握復數的四則運算的,可為進一步的復數運算與應用奠定基礎.這里主要涉及復數的加法、減法運算及其幾何意義,以及復數的乘法與除法運算等,還有復數范圍內的實系數一元二次方程問題等[3].

例2若實系數一元二次方程x2-2x+3=0的兩個根為α和β,則|α|+|β|=________.

分析：根據題目條件,利用實系數一元二次方程的求根公式直接求解兩個根α和β,再利用復數的模的求解來分析與處理;也可以利用實系數一元二次方程虛根成對(互為共軛復數)的性質確定兩虛根的和與積,引入參數并結合復數模的公式來分析與求解.

解法2：(性質轉化法)由判別式Δ=b2-4ac=(-2)2-4×1×3=-8<0,知實系數一元二次方程虛根成對,且互為共軛復數.

設α=a+bi,a,b∈R,則β=a-bi.

由韋達定理,可知α+β=2a=2,αβ=a2+b2=3.

點評：實際解決復數范圍內的實系數一元二次方程問題時,可借助復數的四則運算加以剖析與應用,也可以直接利用相關的性質加以轉化與應用.這也是新教材中的一個明確要求.

“復數”大單元中,復數范圍內的實系數一元二次方程問題,在新教材中直接作為例題來設置,通過例題的解析,歸納總結出復數范圍內實系數一元二次方程的求根公式,并給出明確要求,這與原來舊教材中作為課外補充知識形成鮮明的對比.

4 開拓數學場景,關注數學文化

“復數”大單元中,由于復數自身的知識結構特點以及數學文化背景,此部分的試題經常與數學文化加以巧妙融合,以創新情境來合理設置,成為高考命題中的一道具有基本特色的風景線.

例3歐拉公式eiθ=cosθ+i sinθ把自然對數的底數e、虛數單位i、三角函數cosθ和sinθ聯系在一起,充分體現了數學的和諧美,被譽為“數學中的天橋”,若復數z滿足(e2 023iπ+i)·z=i,則z的虛部是________,|z|=________.

分析：根據題設中的歐拉公式計算出e2 023iπ的值,結合關系式的變形,以及復數的除法運算得到復數z,再利用復數的相關概念求得z的虛部與復數的模|z|.

解析：由eiθ=cosθ+i sinθ,可得

e2 023iπ=cos 2 023π+i sin 2 023π=-1.

故填答案:

點評：以數學文化中的創新情境給出歐拉公式,結合復數三角形式與指數形式來創設問題,結合關系式的變形與轉化,利用復數代數形式的四則運算來進行運算求解,并結合相關的概念來實現問題的融合與創新.

5 優化數學思維,關注推理應用

“復數”大單元中涉及較多的數學思維,如函數與方程思想、數形結合思想、類比思想等,都是解決復數問題中比較常用的數學思維.全面拓展并應用數學思維,可以使得數學知識的學習更加牢固,數學問題的解決更加簡捷.

例4化簡:(cosθ+i sinθ)2,(cosθ+i sinθ)3,(cosθ+i sinθ)4,由此猜想一般的結論:(cosθ+i sinθ)n=________(n∈Z).

分析：例4其實就是復數三角形式的乘方運算,是高中數學教材中的選講內容之一,具體解決問題時,可以利用復數的四則運算與三角函數關系式加以化簡,通過歸納總結,猜想而得出結果.

解析：由(cosθ+i sinθ)2=(cosθ+i sinθ)(cosθ+i sinθ)=cos 2θ+i sin 2θ,

(cosθ+i sinθ)3=(cos 2θ+i sin 2θ)(cosθ+i sinθ)=cos 3θ+i sin 3θ,

(cosθ+i sinθ)4=(cos 3θ+i sin 3θ)(cosθ+i sinθ)=cos 4θ+i sin 4θ,

歸納猜想,可得(cosθ+i sinθ)n=cosnθ+i sinnθ.

故填答案:cosnθ+sinnθ.

點評：根據題設條件先確定前面若干問題,進而找到規律,歸納、猜想出一般性的結論.同時,這也給我們提供了一種解題思路——當“無路可走”時,可考慮多探究前面若干問題,歸納出規律并大膽猜想后再給出證明.這種解法雖操作簡單,但需較強的觀察、分析和歸納等關鍵能力.

在“三新”(新教材、新課程、新高考)背景下,進一步落實“雙減”政策與新改革理念,積極貫徹《總體方案》要求.“復數”大單元復習教學設計與安排,在尋求基礎、本質、能力、創新等的基礎上,更多側重數學基礎與關鍵能力的考查,堅持開放創新與核心素養導向,更加注重數學創新意識與創新應用[4].