高考類型剖析,線性回歸應用

江蘇省海門中學 李乃洋

線性回歸模型及其應用是高考數學試卷中的一個重要考點.對于兩個變量之間的線性回歸模型與相關關系,全面把握相關概念,正確進行數據分析處理,準確確定線性回歸方程,利用線性回歸方程進行合理決策應用等,都是線性回歸模型及其應用的重要組成部分.因此,應全面系統理解與掌握相關線性回歸模型的概念,進一步加強數學應用意識,提升應用所學知識分析問題和解決問題的能力.

1 概念理解

分析：根據題意,用解釋變量對于預報變量變化的貢獻率R2來表示擬合效果,通過概念的理解,以及R2的性質特征,R2越大表示模型的擬合效果越好,即可確定正確答案為C.

2 信息解讀

例2(多選題)[2023屆福建省莆田市涵江區錦江中學高三(上)第一次月考數學試卷]在“3·15”前,某市物價部門對本市5家商場的同一商品的銷售情況進行調查,其對應的售價x元和銷售量y件對應的數據如表1所示:

表1

B.當x=1時,y的估計值為36.8

C.當售價為5元時,銷售量一定是24件

D.樣本中心點為(10,8)

分析：利用題目的數據,求出對應的均值與相關的參數,并確定對應的回歸方程,再結合線性回歸方程的性質,即可解讀相關信息,給出判斷.

答案:ABD.

3 關系判斷

例3[2023屆四川省眉山市仁壽縣文宮中學高三(上)月考數學試卷(9月份)]某專營店統計了近五年來的創收利潤yi(單位:萬元)與時間ti(單位:年)的相關數據,如表2所示:

表2

依據表2中的數據,請計算相關系數rty,并結合計算結果說明能否用線性回歸模型擬合y與t的關系?(結果精確到0.01,若|rty|>0.8,則表明可用線性回歸模型擬合y與t的關系.)

例4(2023年高考數學全國乙卷理科·17)某廠為比較甲乙兩種工藝對橡膠產品伸縮率的處理效應,進行10次配對試驗,每次配對試驗選用材質相同的兩個橡膠產品,隨機地選其中一個用甲工藝處理,另一個用乙工藝處理,測量處理后的橡膠產品的伸縮率,甲、乙兩種工藝處理后的橡膠產品的伸縮率分別記為x1,y1(i=1,2,……,10),試驗結果如表3:

表3

分析：例3和例4都是根據題意進行計算即可給出判斷,過程略.

4 決策應用

例5[2022—2023學年陜西省榆林十中高二(上)第一次質檢數學試卷]公交公司為增設一個公交起點站,研究某地車輛發車間隔時間x與乘客等候人數y之間的關系,得出以下表4中相應的數據:

表4

從中選取四組數據作線性回歸分析,并用剩下的兩組數據進行檢驗.

(1)試求剩下的兩組數據不相鄰的概率.

(3)創新定義“最佳回歸方程”:借助線性回歸方程預測的數據與實際數據相差不超過1人,則所求的的線性回歸方程是“最佳回歸方程”.試判斷(2)中所求的是“最佳回歸方程”嗎?同時為了使等候的乘客不超過35人,則發車的間隔時間為18 min,是否合適?

解析：(1)設這六組數據分別為1,2,3,4,5,6,那么剩下的兩組的所有可能為(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6),共有15種.

其中“剩下的兩組數據相鄰”的有:(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6),共5種.

所以(2)中所求出的線性回歸方程是“最佳回歸方程”.

由1.4x+9.6≤35,解得x≤18.14.

故間隔時間設置為18 min比較合適.

點評：借助線性回歸方程的求解,并利用條件中相關問題的設置(本題中為“最佳回歸方程”),合理求解對應的數據并加以正確決策與判斷.特別在對一些實際應用問題進行決策與判斷時,要有數據依據與基礎.

線性回歸模型及其應用是根植于現實場景中,結合實際應用問題的創設,綜合統計中的數據信息與數據分析,對線性回歸的相關概念、數據處理、關系判斷以及決策應用等巧妙設置問題,考查線性回歸的相關知識、數學思想方法和數學能力等,實現創新應用.