高中數(shù)學(xué)教學(xué)中化歸思想的有效應(yīng)用

福建省閩侯縣第一中學(xué) 張 平

新課標(biāo)強(qiáng)調(diào),數(shù)學(xué)思想是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的“四基”之一,是培育學(xué)生核心素養(yǎng)的重要依據(jù),也是增強(qiáng)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題能力的有效途徑,其中,化歸思想形式簡(jiǎn)單、容易理解,具有重要的應(yīng)用價(jià)值.

1 化歸思想及其應(yīng)用價(jià)值分析

“化歸思想”是轉(zhuǎn)化思想與歸納思想的統(tǒng)稱(chēng),也是一種高效的數(shù)學(xué)解題思維方法.從數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐維度看,化歸思想的運(yùn)用表現(xiàn)為“問(wèn)題轉(zhuǎn)化與歸納”上,即針對(duì)一個(gè)難度較大的問(wèn)題A,通過(guò)轉(zhuǎn)化為相對(duì)容易解決的問(wèn)題B,在求出問(wèn)題B的過(guò)程中掌握方法,形成經(jīng)驗(yàn),再還原到問(wèn)題A的解決上.當(dāng)然,從問(wèn)題A到問(wèn)題B的轉(zhuǎn)化過(guò)程,以及從問(wèn)題B到問(wèn)題A的還原過(guò)程,是可以經(jīng)歷多重步驟的,如圖1所示.

圖1 化歸思想應(yīng)用示意圖

數(shù)學(xué)化歸思想的應(yīng)用價(jià)值主要體現(xiàn)在三個(gè)方面.

1.1 從復(fù)雜到簡(jiǎn)單的化歸

數(shù)學(xué)化歸思想最顯著的價(jià)值就是“化復(fù)雜為簡(jiǎn)單”,其具體方法很多,如“抽象變具象”“個(gè)性變標(biāo)準(zhǔn)”“數(shù)變形或形變數(shù)”“高層次變低層次”等.在高中數(shù)學(xué)教學(xué)的應(yīng)用過(guò)程中,從復(fù)雜到簡(jiǎn)單的化歸要保持靈活性原則,避免學(xué)生陷入思維定式,否則就違悖了化歸思想應(yīng)用的初衷.具體來(lái)說(shuō),可以將逆向思維、降階思維等滲透到“從復(fù)雜到簡(jiǎn)單的化歸”中去.

例如,在一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)存在三條拋物線,y=x2+4ax-4a+3,y=x2+2ax-2a和y=x2+(a-1)+a2,其中至少有一條拋物線與x軸存在公共點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

結(jié)合題意分析,“與x軸存在公共點(diǎn)”意味著三個(gè)方程的判別式至少有一個(gè)應(yīng)大于等于0.采用正向思維解答,需要分類(lèi)判斷判別式大于等于0的情況,不難看出計(jì)算量很大;結(jié)合化歸思想與逆向思維分析,只需要考慮三條拋物線都和x軸不存在公共點(diǎn)的情況即可,即正確答案就是三個(gè)判別式“均小于0情況”的補(bǔ)集.

1.2 從隱含到已知的化歸

進(jìn)入高中之后,數(shù)學(xué)課程所表現(xiàn)出的抽象性特點(diǎn)更強(qiáng)烈,在許多問(wèn)題的解決上,僅從表面難以得到充足的條件與信息.化歸思想的應(yīng)用價(jià)值之一,則是體現(xiàn)在“從隱含到已知”的轉(zhuǎn)化上,本質(zhì)上來(lái)說(shuō),也是對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的訓(xùn)練,引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)規(guī)律,進(jìn)一步發(fā)掘隱含條件,反客為主.

1.3 從特殊到一般的化歸

事實(shí)上,在數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中,經(jīng)常會(huì)利用一些特殊情況來(lái)發(fā)現(xiàn)一般性結(jié)論,如在學(xué)習(xí)勾股定理時(shí),“勾三股四弦五”就是直角三角形的“特殊三邊關(guān)系”,但通過(guò)這一特殊的數(shù)學(xué)現(xiàn)象可以推導(dǎo)出a2+b2=c2的一般性結(jié)論.從學(xué)生學(xué)習(xí)角度出發(fā),特殊性數(shù)學(xué)問(wèn)題的解答往往相對(duì)比較容易,例如正弦、正切、余弦等的學(xué)習(xí)中,涉及特殊角(如30°,45°)時(shí)答案就很容易聯(lián)想到,當(dāng)然也存在相反的情況,即特殊性問(wèn)題難度較高、一般性問(wèn)題相對(duì)容易,這就涉及到從特殊到一般的化歸操作.因此,采用化歸思想中“從特殊到一般”的方式,同樣可以起到降低難度、簡(jiǎn)化過(guò)程的效果.

例如,人教A版高中數(shù)學(xué)必修一“指數(shù)函數(shù)的概念”學(xué)習(xí)完畢后,教材中提供了一系列利用指數(shù)函數(shù)比較大小的問(wèn)題供學(xué)生練習(xí).類(lèi)似“2 0212 022”和“2 0222 021”這樣的情況,直接計(jì)算困難很大,可以先將這種“特殊性問(wèn)題”做一般化處理.將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為nn+1和(n+1)n比較大小的問(wèn)題,則:當(dāng)n為1時(shí),1<2;當(dāng)n為2時(shí),8<9;當(dāng)n為3時(shí),81>64,當(dāng)n為4時(shí),1 024>625;…….通過(guò)對(duì)一般化問(wèn)題的窮舉,最終可以認(rèn)為當(dāng)n≥3時(shí),nn+1>(n+1)n.將這一結(jié)論應(yīng)用于比較“2 0212 022”和“2 0222 021”大小的特殊情況下,從而判斷出2 0212 022>2 0222 021.

2 高中數(shù)學(xué)教學(xué)中化歸思想的有效應(yīng)用

2.1 新課教學(xué)中化歸思想的應(yīng)用

基于前文對(duì)數(shù)學(xué)化歸思想價(jià)值的分析,不難看出其在高中數(shù)學(xué)新課教學(xué)中的重要應(yīng)用意義.一方面,高中數(shù)學(xué)教材在知識(shí)點(diǎn)的設(shè)置、分布上,采取的是分章節(jié)、單元的形式,這是國(guó)內(nèi)各個(gè)版本數(shù)學(xué)教材的共同點(diǎn),其優(yōu)勢(shì)是突出知識(shí)主題,但無(wú)形中造成了知識(shí)點(diǎn)的“隔閡”與獨(dú)立.利用化歸思想有利于增強(qiáng)新舊知識(shí)的關(guān)聯(lián),例如在“一元二次方程”的教學(xué)活動(dòng)中,利用化歸思想對(duì)一元二次問(wèn)題進(jìn)行降維,利用“十字相乘法”將其轉(zhuǎn)化成一元一次方程的形式.另一方面,在化歸思想的引導(dǎo)下,學(xué)生對(duì)新概念、新定理、新公式等的理解難度更小,例如在高中階段的重點(diǎn)知識(shí)模塊“函數(shù)”的教學(xué)過(guò)程中,可以采取“數(shù)變形”的化歸方法,將函數(shù)解析式轉(zhuǎn)化成對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖象.

2.2 習(xí)題教學(xué)中化歸思想的應(yīng)用

“習(xí)題教學(xué)”是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的常態(tài)化機(jī)制,既包括常規(guī)課程中穿插的習(xí)題講解環(huán)節(jié),又包括專(zhuān)門(mén)的“習(xí)題課”.在這樣的教學(xué)情境中,化歸思想的運(yùn)用是非常普遍的,具體應(yīng)用方式如“變式訓(xùn)練”“一題多解”“數(shù)形轉(zhuǎn)化”等.值得注意的是,習(xí)題教學(xué)中應(yīng)用化歸思想的關(guān)鍵,在于引導(dǎo)學(xué)生自主探索,而不能教師簡(jiǎn)單、粗暴地把思路交給學(xué)生.

例如,利用化歸思想展開(kāi)變式訓(xùn)練,圖2為四面體ABCD,其中B,C,D三點(diǎn)位置的三個(gè)角之和分別為180°,證明AB=CD,AC=BD,AD=BC.

圖2

通過(guò)觀察,直接基于四面體證明的難度很大,利用化歸思想對(duì)立體圖降維,轉(zhuǎn)化為圖3的形式(從點(diǎn)A將四面體“剪開(kāi)”),再通過(guò)變式將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題.變式之后得到的條件中,可知A1B=A2B,A1C=A3C,A2D=A3D,加上“三個(gè)角之和為180°”的原題條件,即新生成的圖形為平面三角形,證明過(guò)程就非常簡(jiǎn)單了.

圖3

2.3 復(fù)習(xí)教學(xué)中化歸思想的應(yīng)用

復(fù)習(xí)課是高中數(shù)學(xué)的重要課型之一,它的主要價(jià)值體現(xiàn)在“知識(shí)梳理”,即將高中階段所學(xué)習(xí)的知識(shí)系統(tǒng)化、組織化,形成清晰的網(wǎng)絡(luò)框架.將化歸思想滲透其中,一方面有助于增強(qiáng)知識(shí)點(diǎn)之間的關(guān)聯(lián)、對(duì)比,避免學(xué)生在知識(shí)運(yùn)用過(guò)程中產(chǎn)生混淆,以此更牢固地掌握數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì).另一方面,化歸思想有助于增強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)的遷移能力,特別是在“從特殊到一般”的數(shù)學(xué)問(wèn)題上,借助化歸思想將碎片化、差異化的知識(shí)點(diǎn)轉(zhuǎn)化成“學(xué)習(xí)支架”.

以人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)第四章“數(shù)列”的復(fù)習(xí)課為例,整章復(fù)習(xí)內(nèi)容主要包括數(shù)列的概念、等差數(shù)列、等比數(shù)列三部分.其中,后兩部分可以視為“數(shù)列的概念”在不同維度的發(fā)展,教師可以選擇兩種數(shù)列的共性要素即“通項(xiàng)公式”,按照化歸思想(由特殊到一般)梳理知識(shí)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)(如圖4).

圖4 數(shù)列知識(shí)結(jié)構(gòu)圖

綜上所述,化歸思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中具有廣泛的應(yīng)用范圍,除了新課傳授、習(xí)題教學(xué)、課堂復(fù)習(xí)等場(chǎng)景中,還可以依據(jù)高中數(shù)學(xué)主要知識(shí)模塊(如函數(shù)、數(shù)列、解析幾何等)展開(kāi)專(zhuān)門(mén)訓(xùn)練.在這一過(guò)程中,教師要注重化歸思想運(yùn)用的引導(dǎo),采取“自主、合作、探究”等學(xué)習(xí)方法,在觸類(lèi)旁通、舉一反三的思維框架下突顯化歸思想的應(yīng)用價(jià)值,也能夠很好地避免學(xué)生陷入定式思維的局囿.