“傳球”問題縱橫談

山東省桓臺(tái)第一中學(xué) 蘇同安

對(duì)于數(shù)學(xué)問題,不能僅滿足于會(huì)做或是用了幾種方法解出;對(duì)于課堂教學(xué)容量也不能只是用“題量”或內(nèi)容的多少,甚至是交流的多少來體現(xiàn).課堂教學(xué)更重要的是在注重過程的基礎(chǔ)上產(chǎn)生了多少有價(jià)值的“思維量”,是否進(jìn)行了或“追根求源”或“橫縱拓展”的探究活動(dòng).下面通過在教學(xué)中對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)問題的思考和探究來說明這一點(diǎn).

1 問題呈現(xiàn)

問題甲、乙、丙三人傳球,由甲開始發(fā)球,并作為第一次傳球,經(jīng)過5次傳球后,球仍回到甲手中,則不同的傳球方式共有多少種?

下面闡述在課堂教學(xué)中,如何引領(lǐng)學(xué)生從對(duì)問題的各種解決方法入手,由特殊到一般、橫向到縱向來進(jìn)行思考、探究和總結(jié).希望對(duì)探究和解決其他數(shù)學(xué)問題帶來一些啟迪作用,幫助學(xué)生更加深刻地認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)問題的本質(zhì),體悟數(shù)學(xué)思想方法的價(jià)值.

2 幾種解法

以下是上述問題的幾種解決方法.

方法一：樹圖列舉法.

甲第一次傳球是給乙的傳球方式(如圖1所示), 共5種情況.

圖1

同理,甲若第一次傳球是給丙,則同樣有5種方式.故所有傳球方式共10種.

方法二：分類圖解法.

甲、乙、丙三人按圖2所示位置站立.

圖2

下面列出甲第一次傳球是給乙的傳球方式,共5種情況,如圖3-1,3-2,3-3,3-4,3-5所示.

圖3-1

圖3-2

圖3-3

圖3-4

圖3-5

同理,甲若第一次傳球是給丙,則同樣有5種方式.故所有傳球方式共10種.

方法三：排列組合法

記“乙”與“丙”為“非甲”,則甲開始傳球,經(jīng)過五次傳球,共有六個(gè)位置,如圖4所示.

圖4

3 橫向聯(lián)系

排列組合問題的“實(shí)際背景”可能會(huì)多種多樣,但很多問題的本質(zhì)是一樣的.關(guān)注和探究數(shù)學(xué)問題的本質(zhì),會(huì)大大促進(jìn)數(shù)學(xué)思維能力、抽象概括能力以及解決問題能力的提高.因此,可利用某些典型問題,引領(lǐng)學(xué)生“適當(dāng)”地進(jìn)行橫向聯(lián)系,探究一些背景不同但本質(zhì)相同的數(shù)學(xué)問題.

涂色問題在如圖5所示的六個(gè)方格里涂上紅、黃、藍(lán)三種顏色,要求相鄰兩個(gè)方格不同色,第1與第6兩格均為紅色,則涂色方法有多少種?(“第1與第6兩格均為紅色”與“球回到甲手中”本質(zhì)相同.)

圖5

排數(shù)問題用1,2,3這三個(gè)數(shù)字排成六位整數(shù),要求首位和末位排1,且任意相鄰的兩個(gè)數(shù)字不相同,則可以得到多少個(gè)不同的六位整數(shù)?(“首位和末位排1”與“球回到甲手中”本質(zhì)相同.)

安排問題甲、乙、丙三人值班六天,每天一人值班,每個(gè)人值兩天班.其中,第一天和最后一天由甲值班,且相鄰兩天不能是同一人.則共有多少種不同的值班方式?

(“第一天和最后一天由甲值班”與“球回到甲手中”本質(zhì)相同.)

對(duì)于上述問題,既可運(yùn)用傳球問題中的解法來解決,又可根據(jù)此題的情境,生成貼近問題實(shí)際的解法.比如涂色問題,可有如下解法:

綜上可知,共有4+4+2=10種涂色方案.

其他問題,本質(zhì)相同,就不做詳細(xì)解答了.

點(diǎn)評(píng)：上述給出的幾類問題中,有的問題可引導(dǎo)學(xué)生編制.這樣做不只是為了解幾個(gè)題,更重要的是讓學(xué)生通過這個(gè)過程,利用不同的背景進(jìn)一步認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)思想方法的本質(zhì),提高數(shù)學(xué)思維能力、抽象概括能力以及解決問題的能力.

當(dāng)然，在科研上光是“異想天開”是萬(wàn)萬(wàn)不行的。“異想天開”只是提供一個(gè)設(shè)想，而設(shè)想只是對(duì)問題的一個(gè)超前、大膽的預(yù)測(cè)，必須靠實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)手段加以證明。實(shí)現(xiàn)創(chuàng)新突破的覃重軍也一再?gòu)?qiáng)調(diào)自己的“大膽猜想”，是經(jīng)過了一系列嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)實(shí)驗(yàn)才最終得以成功實(shí)現(xiàn)的。

4 縱向拓展

上述傳球問題中只有3人,傳球也只有5次,還應(yīng)根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況,引領(lǐng)學(xué)生將問題“逐步”推廣到一般情況,首先將“5次”傳球推廣到“n次”傳球.

拓展問題1甲、乙、丙三人開始傳球,由甲開始發(fā)球,并作為第一次傳球,經(jīng)過n次傳球后,球仍回到甲手中,則不同的傳球方式共有多少種?

解析：設(shè)經(jīng)過n次傳球后,球在甲手中的不同方法有an種,不在甲手中的方法有bn種.

顯然a1=0 , 并且an+bn=2n.

經(jīng)過n次傳球后,球在甲手中,此時(shí)有an種方法.這說明第n-1次傳球后球沒在甲手中,此時(shí)有bn-1種方法,再?gòu)牟辉诩资种袀鞯郊资种兄挥幸环N途徑,即1種方法.

所以bn-1×1=an,即an=bn-1.

又因?yàn)閍n-1+bn-1=2n-1,所以an+an-1=2n-1.

又a1=0 ,則問題轉(zhuǎn)化為求數(shù)列的通項(xiàng)公式.

再把問題中的“3人”推廣到“m人”,就可把問題縱向推廣到更為一般的情況.

拓展問題2有m個(gè)人做傳球游戲,每個(gè)人可將球傳給任何一人,由甲開始發(fā)球,并作為第一次傳球,經(jīng)過n次傳球后,球仍回到甲手中,則不同的傳球方式共有多少種?

解析：設(shè)經(jīng)過n次傳球后,球在甲手中的不同方法有an種,不在甲手中的方法有bn種.

顯然a1=0 , 并且an+bn=(m-1)n.

經(jīng)過n次傳球后,球在甲手中,此時(shí)有an種方法.這說明第n-1次傳球后球沒在甲手中,此時(shí)有bn-1種方法,再?gòu)牟辉诩资种袀鞯郊资种兄挥幸环N途徑,即1種方法.

所以bn-1×1=an,即an=bn-1.

又因?yàn)閍n-1+bn-1=(m-1)n-1,所以

an+an-1=(m-1)n-1.

又a1=0,則問題轉(zhuǎn)化為求數(shù)列的通項(xiàng)公式.

通過對(duì)三人傳球問題的橫向和縱向的思考和探究,既初步認(rèn)識(shí)到了此類數(shù)學(xué)問題的本質(zhì),又感受到了數(shù)學(xué)知識(shí)之間的廣泛聯(lián)系.這對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)和解決數(shù)學(xué)問題有較好的啟發(fā)作用,同時(shí)讓學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識(shí)到——對(duì)待數(shù)學(xué)“問題”不能只是孤立地去解決,而應(yīng)該用“聯(lián)系”和“運(yùn)動(dòng)”的眼光去研究它.退,能得到問題的“本源”;進(jìn),可拓展出其“一般性”,從而通過“追根求源”或“橫縱拓展”的探究活動(dòng),來體現(xiàn)思維過程和思想方法的“全景”.從這樣的過程中方可體悟出數(shù)學(xué)的真諦,從而進(jìn)入神奇的數(shù)學(xué)世界中——聽數(shù)與式奏響的神奇韻律,看圖與形編織的美麗彩虹.