代數(shù)與幾何比翼,技能和素養(yǎng)齊飛
——一道解三角形題的破解

江蘇省丹陽高級(jí)中學(xué) 陳曦遠(yuǎn)

解三角形作為高中數(shù)學(xué)中一個(gè)重要基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn),也是高考數(shù)學(xué)解答題重點(diǎn)考查的題型之一,形式各樣,變化多端,難度中等.此類解三角形問題,可以有效聯(lián)系初中平面幾何與高中三角函數(shù)等相關(guān)知識(shí),結(jié)合創(chuàng)新場(chǎng)景的創(chuàng)設(shè),構(gòu)建一個(gè)合適的橋梁,形成數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的延續(xù)、深入與拓展,是集數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)能力技巧、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)等多方面的一類題型.

1 問題呈現(xiàn)

(2)若b=4,求△ABC面積的最大值.

2 問題分析

2.1 標(biāo)準(zhǔn)答案

命題者提供的標(biāo)準(zhǔn)答案如下:

(2)方法1：二次函數(shù)法.

采用SPSS 19.0軟件對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)學(xué)分析，計(jì)量資料以±s表示，組間比較采用t檢驗(yàn)，組內(nèi)比較采用單因素方差分析；計(jì)數(shù)資料以率（%）表示，采用χ2檢驗(yàn)或秩和檢驗(yàn)，以P ＜ 0.05為差異有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。

2.2 問題剖析

根據(jù)三角形問題背景創(chuàng)設(shè),以兩邊長(zhǎng)的線性關(guān)系為條件,第(1)問中結(jié)合兩個(gè)邊與角的關(guān)系式的確定,進(jìn)而求解相關(guān)內(nèi)角,考查了正弦定理、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式以及三角形的基本性質(zhì)等;第(2)問結(jié)合三角形另一邊長(zhǎng)的確定,進(jìn)而求解三角形面積的最大值,考查了三角形的面積公式、余弦定理、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、三角形的基本性質(zhì)以及二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)等.

3 多解賞析

以上解三角形問題中的第(2)問,除了上述方法1中的二次函數(shù)法這一代數(shù)思維方法,還可以在代數(shù)層面利用其他的一些方法(如坐標(biāo)法、三角函數(shù)法、海倫公式法等)來分析處理與數(shù)學(xué)運(yùn)算;也可以在幾何層面通過構(gòu)建平面幾何圖形,借助軌跡法等來直觀分析與邏輯推理等.

3.1 代數(shù)思維

方法2：坐標(biāo)法.

以AC所在直線為x軸,AC的中垂線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系xOy,則A(-2,0),C(2,0).

方法3：三角函數(shù)法.

解后反思：解決解三角形中的最值問題,經(jīng)常可以借助三角形的內(nèi)角以及正弦定理與余弦定理、面積公式等的應(yīng)用,將對(duì)應(yīng)的問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題,借助三角函數(shù)的公式、圖象與性質(zhì)等的巧妙轉(zhuǎn)化,得以解決對(duì)應(yīng)的最值.

方法4：海倫公式法.

解后反思：解決解三角形中與面積有關(guān)的最值問題,可以利用海倫公式來構(gòu)建對(duì)應(yīng)的表達(dá)式,這也是解決與面積有關(guān)的問題經(jīng)常用來合理構(gòu)建關(guān)系式的一種基本思維方式.在構(gòu)建關(guān)系式的基礎(chǔ)上,或利用函數(shù)性質(zhì),或利用不等式性質(zhì)等來確定最值.

3.2 幾何思維

方法5：軌跡法.

圖1

解后反思：解決解三角形中的最值問題,經(jīng)常回歸到平面幾何圖形的本質(zhì),結(jié)合動(dòng)點(diǎn)的變化規(guī)律或軌跡的確定,利用數(shù)形結(jié)合,直觀分析與邏輯推理,進(jìn)而得以確定最值問題.

4 解后總結(jié)

4.1 規(guī)律總結(jié),思考方向

根據(jù)以上問題及其解析,解決解三角形中最值問題的常規(guī)思考方向有:

(1)用靜止的眼光看圖形.根據(jù)解三角形思維、坐標(biāo)思維、三角函數(shù)思維、公式思維等合理構(gòu)建相關(guān)幾何量的解析式,根據(jù)函數(shù)或方程、三角函數(shù)、不等式等思想(或動(dòng)態(tài))來求解對(duì)應(yīng)的最值問題.

(2)用動(dòng)態(tài)的眼光看圖形.根據(jù)三角形中的數(shù)量關(guān)系,合理構(gòu)建幾何圖形,關(guān)注相關(guān)動(dòng)點(diǎn)的軌跡,結(jié)合對(duì)應(yīng)動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)直線等運(yùn)動(dòng)的軌跡與圖形,數(shù)形結(jié)合,“形”看最值的條件,進(jìn)而得以確定對(duì)應(yīng)的最值問題.

4.2 發(fā)散思維,創(chuàng)新意識(shí)

解數(shù)學(xué)題時(shí),要有探究意識(shí)、推廣意識(shí)、拓展意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)等.如探究問題的解法能否多思維、多方法,問題的特殊場(chǎng)景能否推廣到一般形式,問題的變量能否拓展到更多個(gè)或一般形式的變量問題,問題的應(yīng)用能否更加創(chuàng)新與綜合,等等.教學(xué)中合理引導(dǎo),開啟一個(gè)更加多元、更加廣闊的平臺(tái),進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)學(xué)的思維與方法來解決問題,探究現(xiàn)實(shí)世界.