從多個(gè)角度尋找證明不等式的思路

西華師范大學(xué) 李 倩 馮長煥

1 原題呈現(xiàn)

題目如果a,b,c均為正數(shù), 則

該不等式中有三個(gè)變量,因此本題屬于三變量不等式證明題.首先應(yīng)該仔細(xì)觀察該不等式的特點(diǎn)、左右兩邊變量的關(guān)系,然后將其進(jìn)行合理的變形、轉(zhuǎn)化,進(jìn)而證明不等式.

2 解法探尋

在不等式求解的過程中,當(dāng)不等式兩邊出現(xiàn)復(fù)雜的關(guān)系式時(shí),要盡量向相對簡單的關(guān)系式轉(zhuǎn)化,這樣有助于找到二者之間的關(guān)系,從而通過關(guān)系式的整合找到解題思路.因此,現(xiàn)探討如下思路.

思路一:觀察左右兩邊,左邊存在b+c,a+b,a+c的組合關(guān)系式,為消去左邊分母,對左邊關(guān)系式進(jìn)行轉(zhuǎn)化.

思路二:對含有分母的項(xiàng)進(jìn)行調(diào)整.

證明：由基本不等式,可得

思路三:利用柯西不等式證明不等式成立.

證明：由柯棲不等式,得

所以有

思路四:利用向量證明不等式.

向量作為高中數(shù)學(xué)的重要知識(shí)點(diǎn),不僅可以給學(xué)生帶來新的認(rèn)識(shí),還可以為解題提供新的思路.證明不等式時(shí),經(jīng)常需要通過一些技巧對不等式進(jìn)行變形處理,否則會(huì)很難證明.運(yùn)用向量知識(shí)可以將問題簡單化,容易證明結(jié)果.柯西不等式是利用向量證明的,由此為解決該問題提供了新的思路與方法.設(shè)向量

于是,有

(a+b+c)2

我們從四種角度出發(fā),得到了四種不同的解題思路.在解題時(shí),從多種角度考慮問題,可以幫助學(xué)生培養(yǎng)創(chuàng)造性思維.創(chuàng)造性思維的核心是發(fā)散性思維.發(fā)散性思維方式是指遇到問題時(shí),能從多角度、多層面、多結(jié)構(gòu)去思考、尋找答案,既不受現(xiàn)有知識(shí)的限制,也不受傳統(tǒng)方法的束縛.當(dāng)然,也可以利用數(shù)學(xué)中的函數(shù)、方程、幾何等知識(shí)尋找新的解題思路與方法.在面對問題時(shí),首先弄清問題是什么,抓住關(guān)鍵信息、圖或者表;其次是多尋找?guī)讉€(gè)解題的突破口,擬定一個(gè)解題計(jì)劃;再次是對問題進(jìn)行解決、證明;最后是檢驗(yàn)解題過程與方法,并反思該方法是否可以解決這一類問題.思路一和思路二相對來說是學(xué)生比較熟悉的,用得比較多的方法;思路三利用柯西-施瓦茨不等式是能最快解決問題的方法;思路四利用空間向量解決該問題是很靈活的方式,但同時(shí)也有一定的局限性.

要解決一道題目,經(jīng)常會(huì)遇到各種各樣的問題,其原因可能有很多,如找不到切入點(diǎn)、知識(shí)掌握不牢固、解決方法不恰當(dāng)、審題不細(xì)致等.因此,教師在課堂教學(xué)中,要激發(fā)學(xué)生主動(dòng)解題的興趣,啟發(fā)學(xué)生的發(fā)散性思維,引導(dǎo)學(xué)生從多角度考慮問題.每當(dāng)學(xué)生想出一種解題方法,教師應(yīng)該給予肯定和鼓勵(lì).通過一題多解可以有效地提高解決數(shù)學(xué)問題的效率,學(xué)生可以根據(jù)自己所熟悉的知識(shí)選擇適合自己的思路來解決問題.