利用不等式求最值常見題型的解法探討

云南省昆明市石林縣第一中學 王 強

利用不等式求最值的題型有很多,解法多種多樣.有些題型可能有多種解法,但有些題型可能會令我們束手無策,怎樣才能找到這些題型的解法呢?這就需要我們能夠抓住題中的條件式、求值式的結構特征找到它們的解法!下面就以一些常見題型為例來探討這些題型的解法.

1 題型一:條件式為二次式,求值式為一次式

對于“已知x2+my2+kxy=p,求x+ny的最值”,可以先將條件式變形,再用柯西不等式,如例2.

例1已知x>0,y>0,且x2+2y2=9,則x+4y的最大值為.

故x+4y的最大值為9.

方法點睛：利用柯西不等式降次,實現由條件式向求值式的轉化.

例2已知實數x,y滿足4x2+y2+xy=1,求4x+y的最大值.

方法點睛：通過配方將條件式轉化為兩項平方和的形式,再用柯西不等式實現由條件式向求值式的轉化.

2 題型二:條件式為一次式、二次式,求值式為分式且分母為一次式、二次式

方法點睛：先對求值式的分母進行升次變形,再用權方和不等式實現求值式向條件式的轉化.

方法點睛：先找出條件式與求值式分母之間的關系,再用權方和不等式實現由求值式向條件式的轉化.

3 題型三:求值式為齊次分式

方法點睛：先化作比值,再將比值換元,實現由二元變量向一元變量的轉化,再用均值不等式求最值.

4 題型四:求值式為和(積)的形式,條件式可變形為積(和)的形式

對于“求(x+m)+p(y+n)型式子的最值”,可以將已知條件變形為(x+m)(y+n)=k;對于“求(x+m)(y+n)型式子的最值”,可以將已知條件變形為(x+m)+p(y+n)=l.

例6已知0

故選答案:C.

上文結合具體實例探討了利用不等式求最值常見題型的解法,但由于利用不等式求最值的題型比較多,特征也多種多樣,解題方法也不只有上述幾種,因此,我們應該在平常的解題過程中不斷發現、積累,養成良好的解題習慣.