輸入飽和下的AUV水平面軌跡跟蹤滑模控制

閆方正,靳華偉,2

(安徽理工大學 1.機械工程學院;2.安徽省礦山智能裝備與技術重點實驗室,安徽 淮南 232001)

二十一世紀是海洋的世紀,全球海洋面積占地球總面積的71%,世界各國都把目光轉向資源豐富的海洋[1]。中國幅員遼闊,管轄海域面積較廣,其海洋資源種類豐富,包括生物資源、油氣資源、海底固體礦產資源等。要開發海洋資源,水下航行器的應用必不可少[2-3]。

自主水下航行器(Autonomous Underwater Vehicle, AUV),擁有體積小、靈活性高、穩定性強、續航能力強、精確度高的優勢,沒有線纜的約束,能夠在大范圍惡劣的水下環境中工作。AUV的軌跡跟蹤控制是指預先規劃航線,確保AUV從初始位置進入航線,并沿著預先規劃的航線到達目的地,在此過程中能夠一直保持穩定[4]。

針對AUV的軌跡跟蹤問題,楊澤文[5]針對AUV軌跡跟蹤的響應速度較慢、系統嚴重抖振、運動軌跡與期望軌跡誤差較大等問題,設計了一種欠驅動AUV水平面軌跡跟蹤控制器。Kong Shihan[6]考慮軌跡跟蹤任務中的欠驅動特性、速度約束和集總擾動,設計了一種由模型預測調速器的控制器組成的控制方案。Gao ZY[7]提出了一種有限時間和固定時間反推控制方案,AUV可以在所有信號均有界的情況下跟蹤給定的航向,并且跟蹤誤差在穩定時間內收斂到零附近。

針對AUV的軌跡跟蹤中出現的擾動問題,Ruikun Xu[8]研究了存在參數不確定性、未知干擾和輸入飽和的情況下,AUV的姿態跟蹤控制的問題。嚴浙平[9]在考慮時變外界干擾條件下,設計在出時變干擾下的欠驅動AUV水平面軌跡跟蹤控制器;李鑫濱[10]針對欠驅動AUV的水平面軌跡跟蹤問題,考慮了外界干擾和輸入受限的情況,提出了基于非線性干擾觀測器和徑向基函數神經網絡的滑模控制器;王金強[11]針對欠驅動AUV的三維路徑跟蹤問題,考慮參數不確定性和外界未知干擾,設計了一種基于神經網絡的反步滑模控制器;劉麗萍[12]考慮環境中的海流速度對AUV的影響,設計了海流觀測器對其進行估計,并基于自適應理論設計了AUV的反演滑模軌跡跟蹤控制器。

針對AUV的軌跡跟蹤中出現的輸入飽和問題,Jiangshuai Huang[13]考慮輸入飽和下欠驅動船舶的全局跟蹤控制問題,設計出一種有限時間偏航控制器。Zhu Guibing[14]同時考慮未知參數、未知有界干擾和輸入飽和,提出了全局穩定魯棒自適應軌跡跟蹤控制方案。Khoshnam Shojaei[15]通過在控制器的設計中使用飽和函數和神經網絡,降低了制動器飽和的風險,補償飽和非線性、不確定參數、未建模動態和波浪、風和洋流引起的環境干擾。

綜上所述,針對AUV控制研究中的執行器輸入飽和及不確定性擾動等問題,大多數學者通過較為復雜的算法,例如神經網絡、模型預測等,設計了較為復雜的控制器去抵消輸入飽和及不確定性擾動帶來的影響;而針對抗飽和輔助系統及擾動觀測器的研究較少。

基于上述問題,本文的貢獻如下。

(1)針對AUV水平面模型存在不確定性擾動的情況,通過設計非線性擾動觀測器估計AUV受到的不確定性擾動,從而降低不確定性擾動所帶來的影響。

(2)引入指令濾波器,消除了對虛擬控制量求導時的微分爆炸現象。

(3)針對AUV所擁有的輸入飽和狀況,設計一個抗飽和的輔助系統,從而抵消AUV輸入飽和的影響,進而提高AUV水平面軌跡跟蹤的穩定性。

1 AUV水平面模型建立

1.1 AUV連續系統水平面模型

對于水下航行器運動,通常需要建立六自由度AUV的動力學和運動學模型。本文研究水下機器人在水平面上的運動空間;忽略水下機器人在豎直方向的運動,考慮AUV在水平面的三個自由度,考慮AUV在水平面上前進速度u、橫漂速度v和偏航角度三個自由度,將空間6自由度運動分解為3自由度水平面運動。利用固定坐標系(定系E)和運動體坐標系(動系B)來描述AUV在水平面的運動,建立AUV水下運動學和動力學模型。AUV水平面坐標變換及軌跡跟蹤示意圖,如圖1所示。

圖1 AUV水平面坐標變換及軌跡跟蹤示意圖

AUV水平面運動學及動力學模型,如式(1)所示。

(1)

式(1)中,η=[x,y,Ψ]表示AUV在固定坐標系{E}下的位置向量,由AUV的實際位置(x,y)及其偏航角Ψ組成,Ψ是AUV的航向與ox軸方向的夾角,取逆時針方向為正;v=[u,v,r]表示在運動坐標系下的AUV速度向量,u為前進速度、v為橫漂速度、r為偏航角速度;τ=[τu,τv,τr]T為AUV的控制輸入,τu為前進方向控制力、τv為橫漂方向控制力、τr為偏航方向控制力矩;Δ=[Δu,Δv,Δr]T∈R3為在運動坐標系下由海流引起的環境干擾,M為可逆的正定對稱矩陣,表示包括附加質量的慣性矩陣;C(v)∈R3×3表示科里奧利及向心力矩陣;D(v)∈R3×3是非線性水動力阻尼矩陣;通過旋轉矩陣R(Ψ)可將運動體坐標系轉換為固定坐標系,且R(Ψ)R-1(Ψ)=I3,即R-1(Ψ)=RT(Ψ),R(Ψ)旋轉矩陣表達形式如式(2)所示。

(2)

同時,M、C(v)∈R3×3、D(v)∈R3×3表達形式如式(3)-式(5)所示。

(3)

(4)

(5)

1.2 AUV水平面控制系統設計

本文基于Lyapunov理論和Backstepping理論,為了對AUV進行軌跡跟蹤控制,在反步法中結合滑模變結構控制理論,閉環控制系統構建如圖2所示。

圖2 軌跡跟蹤控制流程圖

在AUV模型存在執行器輸入飽和及不確定性擾動的情況下,會使AUV軌跡跟蹤的誤差較大。為降低輸入飽和對AUV軌跡跟蹤運動的影響,設計抗飽和輔助系統對其執行器輸入飽和進行補償;設計非線性擾動觀測器來估計AUV受到的不確定性擾動,以降低不確定性擾動對AUV控制的影響;為克服對虛擬控制律求導過程中會出現“微分爆炸”現象,在此引入指令濾波來克服此缺點;最后,再根據AUV水平面運動學及動力學模型,結合滑模變結構控制理論,設計AUV軌跡跟蹤滑模控制器。

2 AUV水平面軌跡跟蹤反步控制

2.1 擾動觀測器設計

為觀測水平面的不確定性擾動,基于Lyapunov理論和Backstepping理論及AUV水平面運動學及動力學模型,設τ=[τ1,τ2,τ3],定義干擾觀測器設計的輔助變量為Ξ,設該輔助變量Ξ如式(6)所示。

Ξ=v-χ

(6)

式(6)中,對χ求導,有:

(7)

式(7)中,λi=R3×3(i=1,2,3)為觀測器的輔助狀態矩陣,為對角矩陣,且λ2>ρ;

式(6)對時間求導如式(8)所示。

(8)

將擾動觀測器設計如式(9)所示。

(9)

為了證明擾動觀測器的性能,定義擾動觀測器的估計誤差如式(10)所示。

(10)

將式(9)代入式(10)可得式(11)。

(11)

由式(11)可知,該擾動觀測器的觀測值可以保證收斂。

選擇Lyapunov函數如式(12)所示。

(12)

對式(12)求導如式(13)所示。

=ΞT(-λ1Ξ+λ2sgn(Ξ)-Δ)

≤λ1(ΞTΞ)

≤0

(13)

2.2 反步滑模控制器設計

本小節將基于Lyapunov理論和Backstepping理論,由AUV水平面運動學及動力學模型來設計AUV水平面軌跡跟蹤滑模閉環控制器,并設計抗飽和輔助系統來補償執行器輸入飽和。

由AUV水平面運動學及動力學模型式(1)可得式(14)。

(14)

第一步,設置AUV水平面運動軌跡期望為ηd,定義AUV軌跡跟蹤位置誤差向量e1,建立水平面軌跡誤差方程如式(15)所示。

e1=η-ηd

(15)

并將式(14)代入式(15)并對其求導,可得式(16)。

(16)

構建李雅普諾夫函數V1如式(17)所示。

(17)

對式(17)求導如式(18)所示。

(18)

(19)

式(19)中,c1∈R3×3為正定對角矩陣。

為了得到β的導數,解決Backstepping的微分爆炸問題,我們引入指令濾波,指令濾波方程如式(20)所示。

(20)

根據式(20),得到的濾波誤差向量如式(21)所示。

γ=α-β

(21)

第二步,定義AUV速度跟蹤誤差向量e2,建立水平面速度誤差方程如式(22)所示。

e2=υ-α

(22)

將式(22)代入式(18),如式(23)所示。

=e1(R(Ψ)(e2+γ)-c1e1)

(23)

為使速度跟蹤誤差向量e2趨于穩定,設計積分滑模面s如式(24)所示。

(24)

對式(24)求導可得式(25)。

(25)

為了提高AUV控制系統收斂效率以及動態響,應設計趨近律如式(26)所示。

(26)

式(26)中,k>0,ε>0為待設計參數,0<ξ<1。

結合李雅普諾夫理論和反步法,構建李雅普諾夫函數V2如式(27)所示。

(27)

對式(27)求導,如式(28)所示。

(28)

(29)

將式(29)代入式(28),如式(30)所示。

(30)

(31)

AUV運動的過程中通常存在著制動器輸入飽和的問題,為了消除該影響,設計如下抗飽和系統來補償制動器輸入飽和如式(32)所示。

(32)

式(32)中,dτ=satτ-τ為輸入誤差,k>0,κ是一個較小的正參數;

由此在制動器存在輸入飽和情況下,可將其控制律設計如式(33)所示。

(33)

2.3 穩定性分析

本小節將基于Lyapunov理論和Backstepping理論,分析滑動面及抗飽和系統的穩定性。

為證明積分面s及抗飽和系統w的穩定性,構建李雅普諾夫函數V3如式(34)所示。

(34)

對式(34)求導可得式(35)。

(35)

考慮在輸入飽和的情況時,以下式子成立,如式(36)和式(37)所示。

(36)

(37)

將式(36)和式(37)代入式(35),并整理如式(38)所示。

(38)

又由不等式關系,可得式(39)。

(39)

所以,可將式(39)整理為式(40)。

(40)

(41)

基于上述穩定性分析證明:AUV水平面的軌跡跟蹤控制在控制律式(33)的作用下,能夠達到控制目標,即該控制系統能夠實現穩定運行。

3 AUV水平面仿真研究

3.1 模型參數

為證明控制器的有效性和魯棒性,對設計的基于擾動觀測器的AUV水平面軌跡跟蹤滑模控制器進行了仿真分析,在Matlab/Simulink軟件上進行運動仿真,仿真中所用到的AUV模型參數如表1所示。

表1 AUV主要模型參數

3.2 仿真結果

為了進一步驗證所設計控制器的有效性,故設計一組水平面復合軌跡進行跟蹤,設其軌跡方程如式(42)所示。

(42)

在仿真環境的設定中,將外界擾動設定為連續的擾動,即:Δ1=10,Δ2=0.3。所設計的控制器參數為c1=5,c2=2,σ=0.1。濾波器參數為f=25,ζ=0.7。抗飽和輔助系統參數為k=10,κ=0.01。

如圖3和圖4所示,AUV可以快速跟蹤目標軌跡,跟蹤誤差較小,最終趨于零。如圖5所示,AUV可以快速到達期望速度并保持恒定速度進行跟蹤。如圖6所示,AUV軌跡跟蹤控制輸入也在控制的范圍內,并且相對平緩。

圖3 AUV軌跡跟蹤曲線

圖5 AUV速度跟蹤曲線

圖6 AUV軌跡跟蹤控制輸入

4 結論

本文針對AUV在水平面的軌跡跟蹤問題,設計擾動觀測器觀測水中的不確定性擾動;存在執行器輸入飽和的情況下,設計抗飽和輔助系統抵消執行器輸入飽和;通過Backstepping理論與動態滑模控制理論,設計了AUV水平面軌跡跟蹤控制器;其仿真結果表明,本文所設計的控制器可以實現AUV在水平面上軌跡跟蹤,并跟蹤其速度誤差,使AUV能夠保持穩定的航速,快速跟蹤上期望軌跡,且跟蹤誤差很小,最終趨向于0;本文設計的抗飽和輔助系統能使AUV輸入穩定在一個有限的邊界內,從而提高了AUV的控制精度,使AUV的軌跡跟蹤達到了理想的效果。