強(qiáng)化學(xué)生的數(shù)感

◇陳 永（江蘇：沭陽縣耿圩中心小學(xué)）

2022 年版《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的最大變化就是讓立德樹人這一教育根本任務(wù)得以落地，課程目標(biāo)以學(xué)生發(fā)展為本，以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)學(xué)生獲得數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)（簡(jiǎn)稱“四基”），發(fā)展運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)與方法發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問題的能力（簡(jiǎn)稱“四能”），形成正確的情感、態(tài)度和價(jià)值觀。

新課標(biāo)指出：義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程應(yīng)使學(xué)生通過數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，形成和發(fā)展面向未來社會(huì)和個(gè)人發(fā)展所需要的核心素養(yǎng)。核心素養(yǎng)是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中逐漸形成和發(fā)展的，不同學(xué)段發(fā)展水平不同。小學(xué)階段，核心素養(yǎng)主要表現(xiàn)為：數(shù)感、量感、符號(hào)意識(shí)、運(yùn)算能力、幾何直觀、空間觀念、推理意識(shí)、數(shù)據(jù)意識(shí)、模型意識(shí)、應(yīng)用意識(shí)、創(chuàng)新意識(shí)。

由此看來，新課標(biāo)把小學(xué)生數(shù)感的培養(yǎng)擺在了首位。數(shù)感主要是指對(duì)于數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關(guān)系及運(yùn)算結(jié)果的直觀感悟。能夠在真實(shí)情境中理解數(shù)的意義，能用數(shù)表示物體的個(gè)數(shù)或事物的順序；能在簡(jiǎn)單的真實(shí)情境中進(jìn)行合理估算，做出合理判斷；能初步體會(huì)并表達(dá)事物蘊(yùn)含的簡(jiǎn)單數(shù)量規(guī)律。數(shù)感是形成抽象能力的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)。建立數(shù)感有助于理解數(shù)的意義和數(shù)量關(guān)系，初步感受數(shù)學(xué)表達(dá)的簡(jiǎn)潔與精確，增強(qiáng)好奇心，培養(yǎng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

那么在日常課堂教學(xué)中，如何根據(jù)教材的內(nèi)容強(qiáng)化小學(xué)生的數(shù)感呢？

一、在數(shù)數(shù)中培養(yǎng)數(shù)感

小學(xué)生數(shù)感的培養(yǎng)是1～3 年級(jí)數(shù)學(xué)的重點(diǎn)，在小學(xué)生日常生活中通過有意無意的數(shù)數(shù)活動(dòng)，讓學(xué)生知道用數(shù)可以表示多少，這樣在數(shù)數(shù)的過程中潛移默化，就會(huì)逐漸對(duì)數(shù)有一個(gè)直觀感悟。小學(xué)生數(shù)數(shù)的難點(diǎn)是滿十進(jìn)一的進(jìn)位數(shù)，來看這樣的例子，十十……，站在孩子角度分析一下為什么會(huì)出現(xiàn)十十呢？兒童數(shù)數(shù)不僅僅是數(shù)，還蘊(yùn)含著簡(jiǎn)單的推理，所以數(shù)數(shù)的過程也是數(shù)感發(fā)展的過程。這是了不起的感覺，來自簡(jiǎn)單地?cái)?shù)數(shù)，而且是自我體悟的過程，遇到這樣的孩子，教師一定要在第一時(shí)間理解孩子的想法，即便你沒想到，也應(yīng)給孩子解釋的機(jī)會(huì)。

再看一萬一萬地?cái)?shù)。四年級(jí)數(shù)學(xué)就有這樣一節(jié)課，課中教師讓孩子自己數(shù)，結(jié)束后有個(gè)孩子站起來說：老師，九萬之后為什么是十萬啊？當(dāng)時(shí)教室哄堂大笑，覺得這個(gè)問題太簡(jiǎn)單，老師也有點(diǎn)莫名其妙，因?yàn)檫@是個(gè)學(xué)優(yōu)生，老師沒有忽略他的感受，就讓他說出自己的想法，結(jié)果他說：根據(jù)我們以前學(xué)的滿十進(jìn)一的方法，只要滿十都要換一個(gè)新的計(jì)數(shù)單位，滿十萬了該換成什么了呢？你看這個(gè)孩子的思考多么深入？他用類推的方法想到要有新的計(jì)數(shù)單位產(chǎn)生，這就是小學(xué)生對(duì)數(shù)的內(nèi)心深刻體驗(yàn)。

小學(xué)生在學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)、小數(shù)之前，大致經(jīng)歷了三個(gè)階段數(shù)的認(rèn)識(shí)：20 以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)、百千數(shù)的認(rèn)識(shí)、較大數(shù)的認(rèn)識(shí)，這三個(gè)階段對(duì)數(shù)感的培養(yǎng)各有側(cè)重，20 以內(nèi)側(cè)重?cái)?shù)字，百千數(shù)重點(diǎn)是位值，較大數(shù)主要是數(shù)級(jí)。教材中對(duì)“位值”的物化主要有兩種：一種是小棒，用捆表示十，用根表示一；第二種是點(diǎn)、線、面、體的方格圖，借助直觀認(rèn)識(shí)數(shù)的組成，然后用半抽象的計(jì)數(shù)器幫助學(xué)生建立“位值”的感知、模型；而較大數(shù)的認(rèn)識(shí)，主要是建立“數(shù)級(jí)”的概念，讓學(xué)生體會(huì)“數(shù)級(jí)”本質(zhì)是前一階段的延伸。我們可以借助個(gè)級(jí)的幾千幾百幾十幾推出萬級(jí)的幾千幾百幾十幾萬和億級(jí)的幾千幾百幾十幾億，這樣的教學(xué)，以個(gè)級(jí)的幾千幾百幾十幾個(gè)為支撐，逐步升級(jí)，讓學(xué)生在四位一級(jí)的不斷提升中，獲得大數(shù)的表象。學(xué)生經(jīng)歷三個(gè)階段的學(xué)習(xí)后，從數(shù)字到位值再到數(shù)級(jí)，數(shù)感逐漸豐富起來。

二、在讀數(shù)中滲透數(shù)感

比如233，可表達(dá)的就是讀寫，先從直觀的小方塊開始，理解它的組成，再抽象成直觀到半直觀的模型，學(xué)生在理解這個(gè)數(shù)的意義、讀出這個(gè)數(shù)時(shí)，經(jīng)歷了對(duì)位值的體驗(yàn)，它是從“滿十進(jìn)一”的計(jì)數(shù)過程的物化開始的。也許有的教師會(huì)說，讀數(shù)也能讀出數(shù)的感覺嗎？請(qǐng)看例題。

5678讀作（）千（）百（）十（）；

一個(gè)數(shù)由5 個(gè)千，6 個(gè)百，7 個(gè)十，8 個(gè)一組成；這個(gè)數(shù)是：（ ）

5678=（ ）×1000+（ ）×100+（ ）×10+（）。

第1 題，會(huì)讀數(shù)的學(xué)生都能正確填寫；第2題，部分學(xué)生就要對(duì)照數(shù)位順序表慢慢寫了；第3 題，有的學(xué)生就不知如何是好了。這樣的題目，從許多學(xué)生的角度認(rèn)為是一題比一題抽象形式化。現(xiàn)在將三題放在一起對(duì)比，不難發(fā)現(xiàn)它們?cè)瓉硎且换厥拢灰獣?huì)讀數(shù)，就應(yīng)該都能正確回答。那么，為什么卻感覺一題比一題難，難度從何而來？就是因?yàn)橐徊糠謱W(xué)生雖能正確讀出五千六百七十八，卻就像小和尚念經(jīng)，有口無心，并沒有意識(shí)到五千就是5 個(gè)千，就是5×1000……有的學(xué)生總在想讀數(shù)法則，注意力都在想我怎么能把數(shù)讀正確，而不是邊讀邊理解這個(gè)數(shù)的組成。

不僅是整數(shù)，其實(shí)分?jǐn)?shù)也能讀出數(shù)感。我們來看2/3 怎么寫的：先寫分?jǐn)?shù)線，再平均分成3份，也就是三分天下的意思，表示其中的2 份，讀作三分之二，三份之中的兩份，慢慢體會(huì)一下，其實(shí)讀寫的過程也就是理解分?jǐn)?shù)意義的過程，反過來說，在讀的過程中已經(jīng)體現(xiàn)了2/3 的意義，即讀出了數(shù)感的功能。因此我們?cè)诮虒W(xué)分?jǐn)?shù)時(shí)候，不僅要強(qiáng)調(diào)單位1 的等份，更要重視分?jǐn)?shù)和書寫順序，書寫過程與分?jǐn)?shù)的生成過程一致，就是確保讀與寫的一致性。作為數(shù)學(xué)教師，我們要有意識(shí)地設(shè)計(jì)一些讀數(shù)活動(dòng)，幫助學(xué)生獲得關(guān)于分?jǐn)?shù)的感覺，增進(jìn)對(duì)分?jǐn)?shù)意義的理解。

還有分?jǐn)?shù)乘除法的教學(xué)，我們來看這樣的例子：36×3/4，我們?cè)谧x算式的過程中就能體會(huì)到就是求36的3/4是多少，那計(jì)算的時(shí)候就很自然地把36 平均分成4 份，再求其中的3 份。分?jǐn)?shù)乘整數(shù)的算法就被你讀出來了；再看36÷3/4，我們知道除法是乘法的逆運(yùn)算，這算式就可以理解為已知一個(gè)數(shù)的3/4 是36，求這個(gè)數(shù)。根據(jù)對(duì)3/4 意義的理解，也就是一個(gè)數(shù)被平均分成4 份，3 份是36，那4 份是多少？學(xué)生就能想到先用36除以3求出一份，再乘4份。

三、在比較中發(fā)展數(shù)感

“比較是一切理解和思維的基礎(chǔ)，我們正是通過比較來了解世界上的一切。”數(shù)的大小比較，不僅能讓學(xué)生理解數(shù)，更能加深學(xué)生對(duì)數(shù)的實(shí)際意義的理解，學(xué)生在比較中有了多、少、多一些、少一些、相當(dāng)于這樣的幾倍的認(rèn)識(shí)，使數(shù)感得到進(jìn)一步發(fā)展。看似簡(jiǎn)單，其實(shí)包含許多數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)思考在里面。

讓我們先來看4 大于6 的數(shù)學(xué)故事。6＞4的插圖是6 只小鵝與4 只母鵝，盡管畫了四條一一對(duì)應(yīng)的虛線，通過實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)不少學(xué)生還是認(rèn)為“4 大于6”。他們的理由是1 只母鵝都可能比6 只小鵝大，何況4 只母鵝呢，他們認(rèn)為4 只母鵝又大又重，怎么可能比6 只又輕又小的小鵝小呢。通過前面我們對(duì)抽象的理解，我們應(yīng)該知道，這就是孩子們沒有具備從具體的實(shí)物中抽象出數(shù)這一能力，因?yàn)槌橄蟊旧砭褪潜容^難的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，就一年級(jí)小學(xué)生而言，他們還難以徹底擺脫量（特別是質(zhì)量）對(duì)抽象出數(shù)的干擾。通過幾輪實(shí)驗(yàn)下來，最后教師把4 只母鵝改成了4 只小鴨，回避了不同量的干擾。許多年過去了，這個(gè)故事之所以會(huì)出現(xiàn)在許多場(chǎng)合，我覺得是因?yàn)樗芙o我們很多提醒與思考，更需要教師持續(xù)的教學(xué)努力。

四、在計(jì)算中強(qiáng)化數(shù)感

我們的孩子遇到9÷12.5 %，4÷25%這些口算題，一口就能說出它的得數(shù)，沒有哪個(gè)孩子還在進(jìn)行計(jì)算，這都得益于我們對(duì)這些0.125，25%這些數(shù)的敏感程度；再有就是簡(jiǎn)便計(jì)算125×32，孩子們都能靈活地利用乘法結(jié)合律進(jìn)行巧算，提高計(jì)算速度與正確率，有了數(shù)感就能靈活地計(jì)算，反過來，在計(jì)算中進(jìn)一步強(qiáng)化數(shù)感，它是相輔相成的。再看看42 除以3，小棒圖先分捆，再分根，也就是從高位除起的道理，幫助學(xué)生理解第一次除后，剩下的1 個(gè)十和2 個(gè)一合起來繼續(xù)除的算理。在這個(gè)過程中，小棒圖起到兩個(gè)作用，首先是將抽象的算式變得直觀，將計(jì)算法則變得生動(dòng)；其次，幫助不同層次的學(xué)生在認(rèn)知上找到“齊點(diǎn)”，明白這樣計(jì)算的道理，較好地掌握除法計(jì)算的基本法則。

五、在推理中激活數(shù)感

先來看，我們認(rèn)數(shù)都是通過計(jì)數(shù)單位開始，個(gè)、十、百、千、萬，那較大的數(shù)呢？即使是借助直觀的模型學(xué)生也很難感受到它的多少，也就是說對(duì)于萬以上數(shù)，依靠幾何直觀來感受大小效果甚微。那如何建立大數(shù)的表象呢？

讓我們看《一億有多大》案例，先復(fù)習(xí)說說，關(guān)于一億你知道多少？然后讓學(xué)生先數(shù)出100本練習(xí)本大約用了90 秒，然后推算：數(shù)1 萬本大約要用100×90＝9000（秒），數(shù)1億本大約要用9000×10000＝90000000（秒），最后用計(jì)算器完成“秒”換算成“年”的運(yùn)算：90000000÷60÷60÷24÷365≈2.85（年）。

活動(dòng)結(jié)束后問執(zhí)教者“一億有多大？”，說不出所以然，最后只能用課本的舉例來回答。如：一億本練習(xí)本要數(shù)三年。那關(guān)于一億有多大，并沒有建立一定的表象。讓我們反思這節(jié)課，建立一億有多大的概念主要靠什么？對(duì)，推算，就素養(yǎng)而言，你要對(duì)一億有感覺，那只能靠推算獲得的一10000 個(gè)10000 是一億，也就是說大數(shù)的理解要靠概念、靠推理而不是聯(lián)系情境了，因?yàn)楝F(xiàn)實(shí)情境太大，難以構(gòu)成數(shù)量。

所以教學(xué)這節(jié)課，我們的立足點(diǎn)不能停留在通過活動(dòng)培養(yǎng)數(shù)感，而是讓學(xué)生感受真正的數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)不靠實(shí)驗(yàn)，而是靠推理獲得，這才是數(shù)學(xué)真正的精髓，也是數(shù)學(xué)最本質(zhì)的特征。這也是認(rèn)證推理是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要方面的典型課例，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上，如果我們的學(xué)生只相信眼見為實(shí)，缺少抽象的推理能力，那他在數(shù)學(xué)這條道路上就很難走得遠(yuǎn)。

生活是知識(shí)的源泉。小學(xué)生數(shù)感的習(xí)得不是一蹴而就的，而是一個(gè)長期的過程，這就需要我們抓住生活中的一切機(jī)會(huì)，引導(dǎo)學(xué)生觀察生活，發(fā)現(xiàn)問題，在生活的探究中尋求解決問題的有效方法。也只有當(dāng)他們將所學(xué)知識(shí)與現(xiàn)實(shí)生活聯(lián)系起來，他們才能更好地理解知識(shí)、運(yùn)用知識(shí)。小學(xué)數(shù)學(xué)新教材創(chuàng)設(shè)了很多生活情境，我們要善于引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)就存在于每個(gè)人的生活中，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光看待和理解日常生活中的問題，習(xí)慣于用數(shù)學(xué)的知識(shí)來感受生活、解決問題，數(shù)感才能不斷得到提升和培養(yǎng)。讓我們?cè)跀?shù)的世界里徜徉，讓小學(xué)生的數(shù)感培養(yǎng)根植于日常的學(xué)習(xí)和生活中。