能量檢測(cè)及特征值全盲檢測(cè)的改進(jìn)算法

吳晉，廖艷蘋(píng)

哈爾濱工程大學(xué) 信息與通信工程學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001

北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)（BeiDou navigation satellite system，BDS）是中國(guó)自行研制且已投入使用的全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)，也是繼美國(guó)全球定位系統(tǒng)（global positioning system，GPS）、俄羅斯格洛納斯（global navigation satellite system，GLONASS）之后的世界上第三大成熟的衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)。但受空間復(fù)雜電磁環(huán)境影響，各種干擾對(duì)衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)的正常運(yùn)行產(chǎn)生了巨大挑戰(zhàn)，因此對(duì)衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)的干擾檢測(cè)問(wèn)題進(jìn)行研究有著重要意義。

干擾檢測(cè)是提升和保障北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)可用性和可靠性的關(guān)鍵，干擾檢測(cè)和抗干擾同根同源，檢測(cè)技術(shù)的發(fā)展也會(huì)改進(jìn)和完善抗干擾技術(shù)，提升導(dǎo)航接收機(jī)在干擾環(huán)境下的定位能力[1]。干擾檢測(cè)常用的方法有匹配濾波檢測(cè)（match filter detection，MFD）[2?3]算法、循環(huán)平穩(wěn)特征檢測(cè)（cyclostationary feature detection，CFD）[4?5]算法和能量檢測(cè)（energy detection，ED）[6?7]算法。匹配濾波檢測(cè)算法需要待檢測(cè)信號(hào)的先驗(yàn)信息；循環(huán)平穩(wěn)特征檢測(cè)算法計(jì)算復(fù)雜度大且計(jì)算時(shí)間長(zhǎng)；而能量檢測(cè)算法無(wú)需接收信號(hào)的先驗(yàn)信息，且計(jì)算復(fù)雜度較低，大大縮短了檢測(cè)時(shí)間，只需將接收信號(hào)的能量與門(mén)限值進(jìn)行比較，從而判斷接收信號(hào)中是否存在干擾。但隨著接收機(jī)靈敏度及接受環(huán)境復(fù)雜度的提高，能量檢測(cè)算法在低干噪比下檢測(cè)概率較差、受噪聲功率不確定性影響較大的問(wèn)題暴露無(wú)遺。為解決以上問(wèn)題，有學(xué)者提出自適應(yīng)雙門(mén)限能量檢測(cè)[8]。本文在理論分析的基礎(chǔ)上，通過(guò)構(gòu)建錯(cuò)誤概率函數(shù)并對(duì)其求極值，得到一種改進(jìn)的能量檢測(cè)算法，在低干噪比條件下大幅提高了檢測(cè)概率，但改進(jìn)后仍無(wú)法解決噪聲功率不確定性帶來(lái)的影響。隨著隨機(jī)矩陣?yán)碚摚╮andom matrix theory，RMT）[9]的發(fā)展，有學(xué)者提出了基于特征值的全盲檢測(cè)算法[10]（ blind detection algorithms，BDA），基于特征值的檢測(cè)在保持能量檢測(cè)算法優(yōu)點(diǎn)的同時(shí)克服了噪聲功率不確定性的問(wèn)題。文獻(xiàn)[11?14]中推導(dǎo)出了經(jīng)典的協(xié)方差絕對(duì)值檢測(cè)（ covariance absolute value detection，CAVD）算法，利用最大和最小特征值構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量，推導(dǎo)出最大最小特征值檢測(cè)（maximum-minimum eigenvalue detection，MMED）算法，文獻(xiàn)[15]對(duì)MMED 做出優(yōu)化，得到新的最大最小特征值檢測(cè)（new maximum-minimum eigenvalue detection，NMMED）算法，檢測(cè)性能得到了提升。但MMED 和NMMED 均沒(méi)有把干擾和噪聲聯(lián)系到一起，本文引入加權(quán)因子，通過(guò)對(duì)其尋找最優(yōu)解，提出加權(quán)融合檢測(cè)算法（weighted fusion detection，WFD），使得檢測(cè)概率有了進(jìn)一步提高。

1 能量檢測(cè)算法及其改進(jìn)

1.1 能量檢測(cè)算法

ED 算法通過(guò)比較接收信號(hào)的能量與設(shè)定門(mén)限值的大小來(lái)確定干擾是否存在，其算法原理如圖1所示。

圖1 能量檢測(cè)算法原理

圖1中，r(i)為接收信號(hào)采樣后的數(shù)字信號(hào)，PN為采樣信號(hào)的信號(hào)功率，其表達(dá)式為

能量檢測(cè)算法的關(guān)鍵在于門(mén)限值T的確定，其實(shí)質(zhì)上是一個(gè)二元假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題，因此可以通過(guò)二元假設(shè)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ屯茖?dǎo)出門(mén)限值，此二元假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題模型為

式中：r(i)為采樣后的數(shù)字信號(hào)，N為采樣點(diǎn)數(shù)，j(i)為干擾信號(hào)采樣點(diǎn)，n(i)為噪聲信號(hào)采樣點(diǎn)，i=1,2,···,N。

根據(jù)檢測(cè)統(tǒng)計(jì)量的概率分布，可以求出能量檢測(cè)算法在門(mén)限值為T(mén)時(shí)的干擾檢測(cè)概率Pd和虛警概率Pf分別為

式中： σ2為噪聲功率；為Q函數(shù)，又稱(chēng)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的右尾函數(shù)。

根據(jù)式（2）可知，在給定虛警概率Pf的情況下，對(duì)應(yīng)的檢測(cè)門(mén)限值T為

將式（3）代入式（1）可得：

從式（1）、式（3）和式（4）可以看出，影響檢測(cè)概率的主要因素有虛警概率、門(mén)限值和干噪比。

改進(jìn)的能量檢測(cè)算法從門(mén)限值出發(fā)，通過(guò)構(gòu)造錯(cuò)誤概率函數(shù)并對(duì)其求極值來(lái)計(jì)算門(mén)限值T。

1.2 改進(jìn)的能量檢測(cè)算法

二元假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題有4 種可能結(jié)果，其中檢測(cè)錯(cuò)誤的情況有2 種：在H0條件下判定為H1，概率記為P(H1|H0)，也稱(chēng)為虛警概率Pf；在H1條件下判定為H0，概率記為P(H0|H1)，也稱(chēng)為漏檢概率Pm。

即

利用變限積分函數(shù)求導(dǎo)公式對(duì)式（6）求極值可以推導(dǎo)出使Pe(T)最小的門(mén)限值為

2 加權(quán)融合檢測(cè)算法

為解決噪聲功率不確定性帶來(lái)的影響，考慮BDA。BDA 以隨機(jī)矩陣?yán)碚摓榛A(chǔ)，通過(guò)特征值包含的信息不同來(lái)判斷是否存在干擾信號(hào)。基于隨機(jī)矩陣?yán)碚摰臋z測(cè)算法流程如圖2 所示。

圖2 隨機(jī)矩陣?yán)碚摍z測(cè)算法流程

全盲檢測(cè)算法分為2 類(lèi)：一是基于協(xié)方差矩陣本身進(jìn)行檢測(cè)，二是基于協(xié)方差矩陣特征值進(jìn)行檢測(cè)。前者需要計(jì)算矩陣中所有元素絕對(duì)值的和，計(jì)算量較大；后者對(duì)協(xié)方差矩陣求特征值來(lái)進(jìn)行干擾檢測(cè)，主要包括MMED 和NMMED 等。

MMED 和NMMED 的檢測(cè)統(tǒng)計(jì)量一致：

式中λmax和 λmin分別為協(xié)方差矩陣Kr(N)的最大、最小特征值。Kr(N)在H0時(shí)是Wishart 矩陣，其最大最小特征值有如下定理和近似服從一階Tracy-Widom 分布，其中：

式中：N為采樣點(diǎn)數(shù)，L為平滑因子。

MMED 和NMMED 算法中，虛警概率的表達(dá)式為

MMED 利用最大特征值的分布確定門(mén)限值，將式（7）中 λmin代入式（8）得：

式中一階Tracy-Widom 分布FTW(t)的表達(dá)式為

式中q(u)為非線(xiàn)性微分方程q′′(u)=uq(u)+2q3(u)的解。目前FTW(t)并沒(méi)有封閉的表達(dá)式，但有一些離散值可以利用[16]，部分?jǐn)?shù)值如表1 所示。

表1 一階Tracy-Widom 分布的數(shù)值表

由式（9）可得，MMED 門(mén)限值為

NMMED 利用最小特征值的分布確定門(mén)限值，將式（8）中的λmax代入式（7）得：

由式（10）可得，NMMED 門(mén)限值為

MMED 利用最大特征值的分布來(lái)確定門(mén)限值，NMMED 利用最小特征值的分布確定門(mén)限值。但只利用最大或最小特征值都不能較全面地反映接收信號(hào)的特征，因此提出加權(quán)融合算法，即門(mén)限值為

式中 α 和 β為加權(quán)因子， 且滿(mǎn)足α ≥0 、β ≥0、α+β=1。

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

設(shè)置仿真參數(shù)為采樣頻率100 MHz，采樣點(diǎn)數(shù)N=2 000，干噪比?30~5 dB，步進(jìn)0.5 dB，干擾類(lèi)型為壓制式干擾，虛警概率為Pf=0.1。

圖3為能量檢測(cè)算法、自適應(yīng)雙門(mén)限能量檢測(cè)算法和改進(jìn)算法的檢測(cè)結(jié)果對(duì)比。

圖3 檢測(cè)結(jié)果對(duì)比

由圖3 可知，雙門(mén)限能量檢測(cè)和改進(jìn)的能量檢測(cè)算法都有效提高了低干噪比下的檢測(cè)概率，但雙門(mén)限能量檢測(cè)在?14~?5 dB 檢測(cè)性能較差，而改進(jìn)算法以高虛警概率為代價(jià)，實(shí)際虛警概率如圖4 所示。

圖4 改進(jìn)算法與ED 的實(shí)際虛警概率

以上檢測(cè)算法均假設(shè)信道中只有高斯白噪聲，屬于半盲檢測(cè)算法（semi-blind detection algorithms，SDA），實(shí)際噪聲情況比較復(fù)雜，因此提出了加權(quán)融合檢測(cè)（weighted fusion detection，WFD）算法。

WFD 需選擇合適的加權(quán)因子 α，檢測(cè)概率隨α的變化曲線(xiàn)如圖5 所示。

圖5 不同加權(quán)因子下的檢測(cè)結(jié)果

從圖5 可知，當(dāng)α=0.05時(shí)，檢測(cè)概率最大，因此加權(quán)因子的選擇為α=0.05，β=0.95。

WFD 算法與其他算法的檢測(cè)結(jié)果對(duì)比如圖6所示。

圖6 4 種算法檢測(cè)結(jié)果對(duì)比

由圖6 可知，特征值加權(quán)融合算法下的檢測(cè)結(jié)果明顯優(yōu)于其他幾種算法，且克服了噪聲功率不確定性帶來(lái)的影響。

4 結(jié)論

1）本文從能量檢測(cè)算法中存在的兩大不足出發(fā)，改進(jìn)的能量檢測(cè)算法通過(guò)構(gòu)造錯(cuò)誤概率函數(shù)并求極值，有效提高了低干噪比下的檢測(cè)概率，但ED 和改進(jìn)算法均屬于SDA，即檢測(cè)性能受噪聲功率不確定性影響較大，因此采用BDA。

2）在MMED 和NMMED 的基礎(chǔ)上提出加權(quán)融合檢測(cè)算法，通過(guò)仿真找到加權(quán)因子的最優(yōu)解，結(jié)果表明該算法在保證恒虛警概率的同時(shí)，檢測(cè)概率明顯高于ED、MMED 以及NMMED。