機器人在軌組裝結構的耦合動力學與步態優化1)

楊勝麗 吳志剛 孟得山,2) 李慶軍 邵 可

* (中山大學航空航天學院,廣東深圳 518107)

? (西北工業大學民航學院,西安 710072)

引言

空間望遠鏡、通信天線、太陽帆等大型航天器是未來空間任務的主要發展方向之一[1-4].但由于其尺度大,運載火箭無法一次帶入太空,因此可將其分解為多個組裝模塊,由運載火箭載入太空在軌組裝,航天員在軌組裝大型航天器難度大且十分危險,采用機器人在軌組裝是大型航天結構最有發展潛力的方式之一[5-7].

各國正在積極研發用于自主組裝的空間機器人系統[8],目前常見的在軌組裝機器人分為自裝配機器人和附著型裝配機器人[9],典型的自裝配機器人有軌道快車、機器人裝配與服務基礎設施(CIRAS)、地球同步軌道衛星機器人服務(RSGS)[10-12],這類機器人的操作范圍受工作空間限制,不適用于大型航天結構的組裝.而附著型裝配機器人可在航天器表面自主移動,工作范圍能夠覆蓋整個航天器.比較典型的附著型裝配機器人有雙足各向同性晶格定位探索者機器人BILL-E、仿人型機器人Robonaut 2、空間結構附屬移動機器人Skyworker 和三分支機器人[13-17].其中三分支機器人具備操作靈活、適應性強等特點,采用其依附在結構表面行走組裝是大型航天器在軌建造的有效途徑.然而,航天器結構的大型化和柔性化使得其抗變形能力很弱,一旦受到外部激勵很容易激發結構振動并且很難自行衰減下來[18-19].當機器人依附在結構表面行走組裝時,機器人行走不當可能激發結構大幅振動.因此機器人在軌組裝過程中的動力學與結構振動控制問題對于大型航天器的構建至關重要[20].

國內外學者開展了針對機器人在軌裝配過程中的動力學與控制問題的研究.武廷課等[21]考慮多臂機器人與薄膜天線的耦合作用,分別利用單向遞推組集方法和有限元方法建立多臂機器人的動力學模型和空間薄膜天線系統的動力學模型,通過調整機器人末端柔性阻尼執行器對薄膜天線的振動進行抑制.劉菲[22]通過約束力算法建立多臂機器人在大型航天器表面移動的動力學模型,采用依賴系統模型和參數的反饋線性化與PD 控制方法,針對多臂機器人移動過程設計能跟蹤期望軌跡的控制器.王啟生等[23-24]采用自然坐標法和絕對節點坐標法建立了雙臂空間機器人在軌組裝超大型結構過程中的動力學模型,分析了系統參數對組裝過程動力學響應的影響,并通過軌跡規劃和軌跡跟蹤控制實現機器人空間組裝超大型結構的動力學仿真.陳鋼等[25]針對多臂機器人抓取穩定性的接觸力不平衡與接觸振動問題,提出了力分配與柔順控制策略.榮吉利等[26]將大型空間結構視為剛柔多體系統,分別采用自然坐標法和絕對節點坐標法對剛性構建和柔性桁架結構進行建模,并采用擺線運動插值函數作為控制方程提高展開過程的穩定性.Tang 等[27]使用達朗貝爾原理結合歐拉-伯努利梁理論建立大型柔性細長桁架結構攜帶機械臂的動力學模型.盧國新[28]建立了空間柔性基座機器人的剛柔耦合動力學模型,并通過分析柔性基座振動與機器人運動的關系,提出了一種有效提高機器人運動控制精度并抑制基座振動的控制方法.李輝[29]采用基于鉸接體概念的空間向量法對空間站多臂機器人進行動力學建模.Reyhanoglu等[30]使用拉格朗日方法建立了柔性結構上安裝剛性機械臂的非線性動力學模型,并采用基于Lyapunov的反饋控制法來抑制柔性結構的振動.Yao 等[31]針對機械臂操作大型柔性模塊的振動問題,提出了一種用于柔性模塊軌跡跟蹤中振動最小化的兩重時間尺度控制方案.

上述研究工作主要面向的是組裝過程中機器人基座固定不動與空間結構的耦合動力學及控制問題.目前針對行走移動機器人與空間結構的耦合動力學與振動抑制問題的研究較少.周威亞等[32]將機器人在空間結構上的移動情況等效為脈沖載荷按交替步加載到空間結構上,并結合卡爾曼濾波算法設計了一種能夠有效抑制組裝過程中空間桁架結構振動的線型二次型最優振動控制器.Cao 等[33]將在軌裝配機器人的運動類比于經典的車橋耦合動力學模型進行描述.Swei 等[34]建立了一種行走在大型柔性結構上的機器人-結構耦合動力學模型,并提出了一種結合標準全狀態反饋運動控制器和自適應控制器以實現機器人的軌跡跟蹤.但是,上述工作均只研究了機器人相對于結構接觸位置變化時的動力學與控制問題,并未考慮機器人行走運動過程中包含機器人關節運動和行走移動兩個不同的運動過程.

目前對于機器人行走步態對空間柔性結構的動力學響應影響缺乏深入分析討論.本文以如圖1 所示的三分支空間機器人在軌組裝空間太陽能電站為研究對象,研究考慮機器人關節運動和行走移動的機器人與結構耦合動力學問題.基于拉格朗日方程和歐拉-伯努利梁模型建立機器人與結構的耦合動力學模型,推導結構振動與機器人運動的關系,分析結構在機器人在不同運動下的動力學響應,并進一步研究通過步態優化調整機器人運動以抑制空間結構振動.以期為機器人行走組裝大型空間結構的動力學建模與結構的振動抑制工作提供參考.

圖1 三分支機器人在軌組裝空間太陽能電站示意圖Fig.1 Schematic diagram of three-branch robot on-orbit assembly of space solar power plant

1 機器人-結構耦合動力學建模

1.1 研究對象

三分支機器人如圖2 所示,機器人由3 個分支和末端操作工具組成,每個分支包含一個3 自由度機械臂和一個末端工具.任意兩分支可組成一個6 自由度機械臂,每兩個分支之間機械臂的構型完全一樣.本文選擇由分支1 和分支2 構成的6 自由度機械臂來進行分析.根據修正D-H 法確定機器人的D-H 參數如表1 所示,其詳細運動學推導見文獻[17].

表1 D-H 參數表Table 1 D-H parameter

機器人行走在結構上的耦合系統如圖3 所示.機器人通過末端工具與結構在接觸點處連接,接觸點不變時,機器人與結構之間的相互作用力隨著機器人關節的運動而改變,隨著機器人在結構上移動,機器人與結構之間的相互作用力隨著接觸點位置的改變而改變.通過分時復用3 個分支可以實現機器人依附在結構上靈活移動并執行模塊運輸與裝配任務.本文以空間結構-單個組裝機器人系統為研究對象,建立機器人-結構耦合動力學方程,研究行走移動組裝機器人與其組裝結構的耦合動力學.

圖3 機器人-結構耦合系統Fig.3 Robot-structure coupling system

1.2 三分支機器人動力學

相較于大型空間結構而言,三分支機器人尺寸小、剛度大,因此將機器人簡化為多剛體系統,并對機器人作以下幾點假設: (1)假設機器人的3 個分支末端的空間旋轉關節處于鎖定狀態;(2)忽略關節柔性、摩擦和微重力等因素的影響.于是耦合系統中的機器人可簡化為如圖4 所示的簡化模型.其中,mi,Ii,li,i=1,2,···,7;表示各部件的質量、慣性矩及連桿長度.θi和τi表示三分支機器人各關節角度和施加于各關節的力矩,i=1,2,···,6;z(x,t)表示空間結構與機器人分支末端接觸位置處在豎直方向的變形量,fz表示機器人與結構間的相互作用力.

使用拉格朗日方程建立其動力學模型

其中,L為拉格朗日算子,T為系統的總動能,V為系統的總勢能,Q為廣義力,q為廣義坐標.系統總動能為機器人各連桿動能的總和,同理,系統總勢能為機器人各個連桿勢能的總和.通過推導得到耦合系統中機器人的動力學方程為

其中,Hb為分支末端等效的機器人質量,Hbm為機器人與結構之間的耦合慣性矩陣,Hm為三分支機器人的慣性矩陣,z為結構在豎直方向的變形,θ為機器人的各關節向量,Cb為結構的非線性速度相關項,Cm為機器人的非線性速度相關項,fz為結構與機器人之間的相互作用力,τ為三分支機器人的關節力矩.式(2)的動力學方程是高度耦合非線性的,并且機器人與結構之間的相互作用力fz未知,因此需要進一步結合結構動力學方程來分析.

1.3 空間結構動力學

機器人運動會對空間結構產生激勵,由于機器人與結構在接觸點固連,因此激勵與機器人和結構間的相互作用力大小相等,方向相反.將空間結構等效為歐拉-伯努利懸臂梁,則空間結構在xr處受到機器人對結構施加的激勵作用時的橫向振動方程為

式中,ρ為梁的密度,Ι為截面對中性軸的慣性矩,A為梁的橫截面積,E為彈性模量,-fzδ(x-xr) 表示結構在xr處所受的力,δ為狄拉克函數.假設EI和ρA都為常值,使用Ritz-Galerkin 方法,梁的橫向變形可近似為

式中,Φi(x)表示第i階模態的振型函數,vi(t)表示廣義坐標(或變形量),n表示保留的模態階數.對于長度為l懸臂梁,其振型函數為

其中,μil為特征方程cos(μl)·cos(μl)=-1 的解.因此將式(4)代入梁的橫向振動方程式(3)得到

式(6) 左右同時乘以Φj(x),并沿梁長l對x積分,有

寫成矩陣形式有

式中

其中,Ms ,Ks表示結構的等效質量矩陣和等效剛度矩陣.

1.4 機器人-結構耦合動力學建模

由式(4)給出空間結構在xr處的橫向變形寫成矩陣形式為

將式(11)代入組裝過程中的機器人動力學方程式(2),并與結構動力學方程聯立可化簡得到機器人與結構的耦合動力學方程

通過式(12)的下半部分可推導出機器人關節運動與結構模態坐標之間的關系

化簡得到

其中,Mc為耦合質量矩陣;Fc為機器人運動產生的模態載荷激勵.式(14)為機器人運動與結構振動(模態坐標)之間的關系,對其進行求解可求出耦合系統中機器人運動對結構振動的影響.

2 機器人行走步態軌跡優化

2.1 蠕動步態規劃過程

機器人的蠕動運動步態的運動過程和規劃流程如圖5 所示.其中ts表示步態周期,ls表示運動步長,hs表示抬起高度;紅色、黃色和藍色圓點分別表示a,b和c點.

圖5 機器人蠕動步態運動規劃Fig.5 Robot creeping gait motion planning

具體的蠕動步態規劃過程如下.

(1) 機器人處于初始位置,左側分支記為分支1,右側分支記為分支2,兩分支均固定在結構上,分支2 末端位于開始位置a點,分支1 與分支2 的姿態對稱,各關節角的絕對值相等.此時機器人處于狀態1,記為RD1.

(2) 分支1 末端保持與結構固連,分支2 末端操作工具釋放,關節1,2,3 和4 協調運動,直至分支2 末端運動至中間位置b點,機器人由RD1 轉換為狀態2,記為RD2.

(3) 分支1 末端繼續保持固定,直至分支2 末端運動到目標結構位置c點,同時將分支2 末端與結構固連,此時機器人由RD2 轉換為狀態3,記為RD3.

(4) 分支2 末端保持固定,同時釋放分支1 末端,關節1,2,3 和4 協調運動使機器人運動至與RD2 對稱,此時機器人各關節角度與RD2 對稱,機器人處于狀態4,記為RD4.

(5) 分支2 末端繼續保持固定,分支1 末端運動至結構目標位置,然后將分支1 末端與結構固定,此時機器人除了相對于結構的位置與RD1 不同外,機器人的各關節角和姿態與RD1 完全相同.至此,機器人完成了一個蠕動步態周期的運動,一個步態周期時間記為ts;分支1 末端移動的距離為機器人行走的步長,記作ls;分支末端經過中間點時的抬起高度記為hs.

由蠕動步態的運動規劃可知,一個步態周期分為前半個周期分支2 末端邁出與后半個周期分支1 末端收回兩個過程.在前半個周期中,機器人從RD1 運動至RD2 再運動至RD3,即分支2 末端在伸展過程中分別在t0時刻、t1時刻和t2時刻經過初始位置a點、中間位置b點和目標位置c點,對3 個位置進行逆運動學[17]求解可得到機器人前半個周期運動過程中各狀態對應的各關節角度.后半個周期運動過程中機器人的姿態與前半個周期對稱.因此機器人一個蠕動步態周期內各狀態對應的各關節角度如表2 所示.

表2 蠕動步態各時刻各關節角度Table 2 Angle of each joint at each moment of creeping gait

使用通過中間路徑點的軌跡規劃方式對機器人各關節軌跡進行軌跡規劃.假設分支2 末端經過a點和c點的速度為零.由于機器人做的是周期性運動,因此機器人各關節的軌跡也是周期性的.

2.2 基于5 次多項式與有限項余弦傅里葉級數之和的關節軌跡參數化

由機器人-結構耦合動力學方程可知,結構的橫向振動能夠通過機器人的關節運動軌跡求解,結構振動會影響機器人的末端軌跡跟蹤,因此需要對機器人-結構耦合系統中空間結構的振動進行抑制.本節對機器人蠕動步態進行軌跡優化調整,使得機器人運動對結構產生的擾動減小,從而能夠穩定高效地完成空間結構的在軌組裝任務.本節采用含參數的軌跡規劃函數結合粒子群優化算法對機器人的運動步態進行優化,即對關節空間的角度、角速度、角加速度進行軌跡規劃,主要步驟如下.

Step1: 根據機器人-結構耦合動力學方程,推導機器人運動與結構振動之間的關系;

Step2: 構造含參數的關節軌跡函數,以其中的待定參數作為待優化變量,軌跡規劃問題轉化為待定參數尋優問題;

Step3: 根據結構振動與關節運動的關系,構造使結構產生最小殘余振動的目標函數;

Step4: 利用粒子群優化算法尋找使得目標函數最小的關節軌跡參數,將該參數代入關節軌跡函數即可求得能夠抑制結構振動的關節軌跡.

5 次多項式插值常被用于通過中間路徑點運動的關節角度規劃,多項式函數完全能夠滿足通過中間路徑點運動的邊界條件,但包含激發系統共振的不必要的高次諧波,并且多項式函數無法通過增加多項式的項來保證求解的收斂性,只用5 次多項式對通過中間路徑點的運動進行軌跡規劃也不能達到很好的抑制結構振動效果;然而傅里葉級數展開式能夠通過增加項數來保證收斂,但無法滿足邊界條件.因此結合兩個函數的優勢考慮采用5 次多項式與有限項余弦傅里葉之和的方式對關節角度進行軌跡規劃.

下式為各關節角度軌跡表達式

對于這個多項式而言,根據蠕動步態的初始終止各個關節的角度信息,可使用式(16)的邊界條件進行約束

將5 次多項式的5 次項系數a15,a25和傅里葉級數系數λ1m和λ2m作為需要設計的變量,則5 次多項式的剩余前4 項系數a10,a11,a12,a13,a14,a20,a21,a22,a23,a24可根據設計系數和式(16)的邊界條件求得.因此,當傅里葉級數系數λim(i=1,2;m=1,2,···,M)和5 次項系數ai5(i=1,2)確定了,關節軌跡的角度、角速度和角加速度也就確定了.于是,機器人軌跡規劃問題即轉化為確定待定參數ai5和λim的問題.

2.3 基于粒子群優化算法的軌跡參數優化

結構的橫向振動能夠通過機器人的運動軌跡求解,機器人各個關節采用前面介紹的軌跡規劃方式,因此結構的振動可通過待定參數來描述.假定待定參數用λ來描述,則結構的振動位移可表示為

為了避免機器人運動過程中產生過大的加速度對機器人的穩定性造成影響,構造出的關節軌跡除了需要滿足使結構振動最小的目標外,還需要限制機器人運動過程中各關節的角加速度.因此,構造如下目標函數

式中,zmax(λ)為在待定參數下結構的最大振動位移,(λ)為各關節角加速度的最大值,kz和ka為加權系數,使不同量綱的物理量經過加權后能進行疊加,一般由誤差容許范圍來設定加權系數.kz表示結構殘余振動位移的最大允許值,ka表示機器人運動過程中各關節角加速度的最大允許值.優化的目的是使目標函數最小.

3 仿真分析

為研究空間機器人在大型空間結構上行走移動時對空間結構耦合動力學響應的影響,以機器人蠕動運動步態為例,研究空間結構在蠕動步態行走下的耦合動力學響應,并通過軌跡參數化結合粒子群優化算法找到能夠減小空間結構振動的運動軌跡參數.假設懸臂梁的長度為10 m,密度為122 kg/m3,橫截面積為1 m2,截面慣性矩為2.08×10-2m4,彈性模量為24.5 MPa.三分支組裝機器人的質量和幾何參數見表3.

表3 三分支組裝機器人的參數Table 3 Parameters of the three-branch assembly robot

3.1 機器人行走時的耦合動力學響應分析

空間結構在機器人蠕動步態行走運動下的橫向振動可由機器人-結構耦合的動力學方程式(14)求解.為了研究機器人以蠕動步態在結構上運動對結構振動的影響,本節采用5 次多項式插值軌跡規劃方式在關節空間對機器人運動步態進行軌跡規劃,仿真得到空間結構在機器人以不同行走步頻、步長及不同的抬起高度下的動力學響應.

圖6 為機器人從結構中間位置向自由端行走5 步之后停止運動過程中結構的動力學響應,機器人運動的步態周期為4 s,前20 s 為機器人行走過程中的結構振動,后10 s 為結構的殘余振動.其中圖6(a)為結構的整體變形,圖6(b)為結構末端的振動位移.其中實線表示機器人行走過程的結構振動,虛線表示機器人停止運動后結構的殘余振動.從圖中可以看出,機器人的運動激發了結構振動,隨著機器人向自由端行走的過程中,由于振動的疊加使得結構振動的振幅逐漸增大,并且當機器人運動停止時,結構會持續振動.

圖6 動力學響應與末端位移Fig.6 The dynamic response and the end displacement

圖7(a)～圖7(c)分別為機器人不同步頻、不同行走步長以及不同抬起高度下結構末端的振動位移,從仿真結果可以看出,機器人運動步頻越快,結構振幅越大.由于機器人運動一步過程中涉及兩個不同分支末端分別在結構的不同位置處對結構產生載荷激勵,所以機器人運動步頻接近結構基頻(0.36 Hz)的兩倍時結構振幅最大.此外,機器人運動的步長越長、抬起的高度越高,結構的振幅越大.

圖7 結構末端振動位移Fig.7 Vibration displacement at the end of the structure

3.2 軌跡優化仿真結果

為了研究機器人如何行走產生的結構振動最小.本節首先分析了兩種不同軌跡規劃方式對結構動力學響應影響,然后采用第2.3 節的優化方法優化得到使結構振動最小的機器人軌跡.其中軌跡規劃方式分別采用5 次多項式插值規劃式

和5-3 組合多項式插值規劃式

軌跡優化方法中的傅里葉級數項數M=3,結構振動位移的最大允許值kz=0.005 m,機器人運動過程中各關節角加速度的最大允許值ka=π rad/s2.在尋找優化參數的PSO 算法中,種群粒子數和最大迭代次數分別為48 和2000,待優化參數范圍為ai5∈[-2,2],i=1,2,λim∈[-10,10],m=1,2,3.本節的一個蠕動步態周期取6 s,機器人從中間位置向自由端行走5 步,總的仿真時間為50 s,后20 s 用于研究殘余振動的情況.

圖8 和圖9 為采用不同軌跡規劃方式運動一個步態周期的各關節角度和加速度曲線.關節角度曲線表明3 種不同軌跡規劃方式下機器人各關節都能都運動至目標位置.角加速度曲線表明采用軌跡優化方法規劃出的關節角加速度比5-3 組合多項式和5 次多項式軌跡規劃的小.同時,軌跡優化方法還調動了軌跡規劃方法中未使用到的第3 個分支上關節5 和關節6.

圖8 不同軌跡規劃方式下機器人各關節角度Fig.8 Angle of each joint of the robot under different trajectory planning methods

圖9 不同軌跡規劃方式下機器人各關節角加速度Fig.9 Angular acceleration of each joint of the robot under different trajectory planning methods

圖9 不同軌跡規劃方式下機器人各關節角加速度 (續)Fig.9 Angular acceleration of each joint of the robot under different trajectory planning methods (continued)

圖10 為機器人不同行走方式下結構末端點的振動位移.從圖中可以看出,采用軌跡優化方法規劃的機器人運動方式激發的結構振動比未優化的兩種軌跡規劃方式小.由此可得出結構的振動與機器人的運動方式息息相關,當軌跡規劃出的機器人運動加速度越小,結構振動越小.此外,冗余的第3 分支對結構的振動抑制也起了一定作用.因此,可通過機器人步態軌跡優化的方式來抑制機器人行走運動過程中結構的振動.

圖10 結構的末端點位移Fig.10 The end point displacement of the structure

4 結論

面向機器人行走組裝大型空間結構的任務需求,本文建立了一種移動機器人與結構的耦合動力學分析模型,對機器人在不同蠕動步態下的結構動力學響應進行了仿真分析,并且提出了采用機器人步態優化的方式來抑制結構振動.仿真結果表明,結構振動與機器人的運動步頻、步長且抬起高度以及軌跡規劃方式息息相關.當機器人行走的步頻越快、步長越長且抬起高度越高,其激發的結構振動越大.并且當步頻接近結構的固有頻率的兩倍時會激發共振,導致結構產生較大振動.此外,基于5 次多項式與有限項余弦傅里葉級數之和的軌跡優化方法比常規的5-3 組合多項式和5 次多項式規劃步態所激發的結構振動要小,并且能夠有效利用行走移動中冗余的第3 分支.因此,對于依附在空間結構上行走移動的組裝機器人,在設計其運動步態時應使其加速度盡量小并避免運動步頻與結構固有頻率的兩倍相近.同時,在保障運動安全穩定的前提下盡可能減小抬起高度和運動步長.此外,機器人通過步態軌跡優化有效抑制了結構振動.下一步將研究空間結構表面移動機器人與大型柔性結構之間的分布式協同振動控制問題.