立體幾何中幾類典型作圖問題的探究

曾獻峰 林清利

(福建省莆田第一中學)

立體幾何初步是高中數學的重要學習內容,包括基本立體圖形、空間點、線、面的位置關系,是培養學生數學抽象、直觀想象、邏輯推理、數學運算等數學核心素養的重要載體.在解決某些立體幾何問題時,需要在較為復雜的空間圖形中分析直線、平面的位置關系,構造出特定的幾何元素或幾何模型,這些都需要學生具備較高的作圖能力,能夠綜合運用4個基本事實及其推論,結合位置關系的判定定理、性質定理進行探究求解.在教學中教師應重視學生作圖技能的訓練,實施作圖的過程其實也是學生對幾何圖形特征的理解探究過程,是有邏輯地思考過程,是運用幾何語言發展邏輯素養的過程.下面對一些立體幾何作圖問題從作圖操作和作圖依據兩個方面加以探析.

1.線與面的交點探究

圖1

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圖2

圖2

圖2

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圖2

圖2

圖2

圖2

【評注】直線l與平面α的交點G的作圖依據:若l∩α=G,l?β,α∩β=m,則l∩m=G.

證明：G∈l?β,又G∈α,α∩β=m,由基本事實3:如果兩個不重合的平面有一個公共點,那么它們有且只有一條過該點的公共直線,可知G∈m,所以l∩m=G.

上述表明,過直線l作一個平面β與平面α相交,所得交線m與直線l的交點即為l與α的交點.通過“平面化”的思想,把直線l納入到平面β內,將線面交點轉化為同一個平面β內兩條直線的交點.由于平面β取法不唯一,會有多種作圖方式,但殊途同歸,所得交點是唯一確定的,如圖3所示,過直線B1D的平面A1B1CD與平面A1BC1交于直線A1E,則A1E與B1D的交點也為點G.

圖3

圖3

圖3

圖3

圖3

圖3

2.線與線的交點探究

【例2】如圖1所示,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為6,點O在BC上,且BO=2OC,過點O的直線l與直線AA1,C1D1分別交于M,N兩點,求MN的值.

【評注】直線l與兩異面直線a,b同時相交的作圖依據:

若a與b為異面直線,l∩a=M,l∩b=N,l?α,a?α,則b∩α=N.

證明：∵a?α,a與b為異面直線,∴b?α.

又l∩b=N,∴N∈b,N∈l.

∵l?α,∴N∈α,∴b∩α=N.

上述表明,線線交點問題可轉化為線面交點.對本題而言,直線l與AA1確定平面AA1O1O,它與D1C1的交點N即為直線l與D1C1的交點.由線面交點作圖依據可知,A1O1與直線D1C1的交點即為所求的點N,延長NO與直線AA1相交得點M.本題的難點在于M,N的位置未知,需要先虛設點M,N待定出想象中的MN示意圖,再進行分析推理.雖然空間中線線轉來轉去,看似復雜,但如果能夠把它們納入到一些平面上,則能盡快地找到問題的突破口,將空間問題轉化為平面問題,這是“平面化”的思想.

3.面面交線與截面探究

【例3】正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F,H分別是線段CC1,BB1,D1C1的中點,畫出圖1,圖2,圖3中陰影部分所在的平面與平面ABCD的交線.

【解析】(1)如圖4所示,延長D1E與DC的延長線相交于點M,連接AM,則直線AM即為所求交線(其中CM=CD);

圖4

圖4

圖4

(2)如圖5所示,過A作直線PQ∥BD交CD延長線于點Q,交CB延長線于點P,則直線PQ即為所求交線(其中CD=DQ,CB=BP);

圖5

圖5

圖5

(3)如圖6所示,過點H作HO垂直DC于點O,延長OB,HF交于點N,則直線AN即為所求交線(其中BN=BO).

圖6

圖6

【評注】面與面的交線作圖依據:若△AD1E所在的平面α與平面ABC有一個公共點A,則有且只有一條過點A的公共直線l,若D1E∥平面ABC,則l∥D1E;若D1E∩平面ABC=P,則直線AP即為所求交線.

證明：由基本事實3可知α∩平面ABC=l,且A∈l.若D1E∥平面ABC,則由平面AD1E∩平面ABC=l,D1E?平面AD1E,可得l∥D1E;若D1E∩平面ABC=P,則由基本事實2:如果一條直線上兩個點在一個平面內,那么這條直線就在這個面內,可知l=AP.

對本題而言,每個三角形所在平面均與底面交于點A,延長三角形的第三邊(不含公共點A的邊),若與底面不相交,則交線平行于第三邊(如圖5中PQ);若相交,則得另一個公共點,從而得到交線(如圖4中AM,圖6中AN);因此,可將上述方法稱為“延長線”法.另外,由于圖6中直線HF并不在正方體表面,是一條處于“空中”的線,要研究其與底面交點N的位置會有些難捉摸,繼續以“平面化”思想為指導,采用投影法(HO,FB⊥底面ABC)創設出平面HOBF,這樣在梯形HOBF中就可以很好地考查HF與OB的交點N了.

研究幾何體的截面問題就是研究面面交線問題,若要探究作出圖6中平面AHF與正方體的截面,可按如下方法:延長AF,A1B1交于點G;延長GH,A1D1交于點R,GH交B1C1于點T;連接AR交DD1于點S,則所求截面為五邊形AFTHS.通過“延長線法”,選擇從正方體面上的線AF出發,經延長后與棱所在的直線相交得交點,如此重復,不斷產生新的交點,直至得到所有的“截點”:F,T,H,S,A,連接得截面AFTHS(如圖7).這是截面的一種比較方便有效的作法.

圖7

圖7

4.線面平行探究

【例4】如圖1所示,三棱柱ABC-A1B1C1中,P,Q分別為棱AA1,AC的中點,在平面ABC內過點A作AM//平面PQB1交BC于點M,寫出作圖步驟.

【解析】解法一:如圖2,在平面ABB1A1內,過點A作AN∥B1P交BB1于點N,連接BQ,在△BB1Q中,作NH∥B1Q交BQ于點H,連接AH并延長交BC于點M,連接AM,則AM為所求作的直線.

解法二:如圖3,在平面ABB1A1內,連接A1B,過點A作AN∥B1P交A1B于點N,連接A1C,在△A1BC中,過點N作NM∥A1C交BC于點M,連接AM,則AM為所求作的直線.

解法三:如圖4,延長BA,B1P交于點R,連接RQ并延長交BC于點K,在△ABC中,過點A作AM∥QK交BC于點M,連接AM,則AM為所求作的直線.

解法四:如圖5,延長PQ,C1C交于點N,連接B1N與BC交于點R,連接QR,在△ABC中,過A作AM∥QR交BC于點M,連接AM,則AM為所求作的直線.

解法五:如圖6,連接BQ,取BQ中點R,B1Q的中點S,連接RS,AR,PS,則四邊形APSR是平行四邊形,延長AR交BC于點M,則AM為所求作的直線.

解法六:如圖7,取CC1,BB1中點E,F,連接EF,EP,PF,取EP中點G,連接FG,取FG中點H,連接PH交EF于點N,過N作NM∥BF交BC于點M,連接AM,則AM為所求作的直線.

【評注】在平面β內過點A作直線l∥平面α的兩種重要作圖方式:

方式一:構造線線平行.若l∥α,l?β,α∩β=m,則l∥m,根據線面平行的性質,只需在平面β內過點A作一條和β與α的交線m平行的直線就是所求作的直線l,再根據線面平行的判定容易證明l∥α.如解法三,解法四的作法.

方式二:構造面面平行.若l?γ,γ∥α,則l∥α.依此,作出過點A且平行于平面α的平面γ,則γ與β的交線即為所求的直線l.比如解法一,解法二;解法五是通過構造平行四邊形APSR巧證;解法六是先作出與平面ABC平行的平面PEF,再作出它與平面PQB1的交線PN,最后將其平行轉移到平面ABC中的直線AM.根據作圖步驟容易算得CM=2MB.

5.線線垂直探究

【例5】如圖1所示,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2,若點P是AA1的中點,M為正方體表面上的動點,若D1M⊥CP,求M的軌跡長度.

【評注】線線垂直的作圖依據:如果平面內一條直線與一條斜線在這個平面內的射影垂直,那么它與這條斜線垂直,這是三垂線定理.就本題而言,若存在M1,M2使得D1M1⊥CP,D1M2⊥CP,D1M1∩D1M2=D1,則CP⊥平面D1M1M2,因此問題的本質是過點D1作出直線CP的垂面,依據線面垂直的判定定理只需作兩條相交直線與CP垂直即可.CP在平面A1B1C1D1上的射影為A1C1,B1D1⊥A1C1,由三垂線定理有B1D1⊥CP;同樣,CP在平面A1B1BA上的射影為BP,B1N⊥BP,由三垂線定理有B1N⊥CP,又QN∥B1D1,從而得到平面D1B1N與正方體的截面為D1B1NQ.三垂線定理是作線線垂直的一個十分有利的工具.

6.面的垂線探究

【例6】如圖1所示,正方體ABCD-A1B1C1D1棱CC1的中點E,求直線A1D與平面EDB所成的角的正弦值.

【評注】平面α的垂線l作圖依據:若m?α,m⊥β,α∩β=n,l?β且l⊥n,則l⊥α.

證明：m?α,m⊥β,則β⊥α,又α∩β=n,l⊥n,l?β,則l⊥α.

即依據面面垂直的性質構造出面的垂線:如圖3所示,先作出平面α內某條直線m的垂面β,再在平面β內作α與β交線n的垂線即為所求的直線l.對本題而言,先作出平面EDB內直線BD的垂面A1ACC1,再得到平面A1ACC1∩平面BDE=EO,最后過A1作EO的垂線交于點O,則A1O為平面EDB的垂線,又△A1DB為等邊三角形易得A1D與平面EDB所成的角為60°.

7.基于已知模型探究幾何體

【例7】如圖1,正四面體A-BCD的棱長為1,E,F分別是AB,AC的中點,求過E,F,C,D四點的球O的半徑.

【評注】將幾何體嵌入到已知模型中進行研究也是一種重要的作圖方式,“補形法”正是基于此,用整體與局部的思維思考問題.以正方體為載體研究正四面體,可以很方便地借助正方體的幾何性質研究正四面體的線線、線面的位置關系.對本題而言,需要作出的圖形有:線段EF,CD的垂直平分面,面面交線AQ,平面EFC(即平面ABC)的垂線O1O等,這些均是前面一些作圖方法的綜合應用,經“平面化”后最終將問題轉化為研究平面圖形——矩形APQD,再從對角線AQ上尋找滿足OO1⊥AO1的點O的位置.

基于同樣的想法,類比正四面體與正方體的關系,我們可用平行六面體來研究四面體.例如:

四面體A-BCD滿足AB⊥CD,BD⊥AC,求證:AD⊥BC.

證明:如圖5,將四面體嵌入到平行六面體AEBF-GCHD中,∵AB⊥CD,CD∥EF,∴四邊形AEBF為菱形.∵BD⊥AC,同理可得四邊形AGCE為菱形,∴四邊形AFDG為菱形,∴AD⊥GF,又BC∥GF,∴AD⊥BC.

(Ⅰ)求A到平面A1BC的距離;

(Ⅱ)設D為A1C的中點,AA1=AB,平面A1BC⊥平面ABB1A1,求二面角A-BD-C的正弦值.

【評注】本題源自人教A版教材必修第二冊P160例10的三棱錐模型,命題者將其補形為直三棱柱,在求解時又將其進一步補形為正方體.本題題干簡潔,設計新穎,除提供體積和面積兩個數據外,將其他幾何元素信息都隱藏在垂直關系中,需推理論證方能求得.在理清幾何元素位置關系后,利用補形法求解幾乎沒有運算量.另外也可按照二面角的定義法作出其平面角:如圖2,在△ABD內作AN⊥BD于點N,連接CN,由△ABD與△CBD全等可得CN⊥BD,則∠ANC即為所求二面角平面角;也可利用AM⊥平面A1BC先求出其補角∠ANM;這些幾何作圖操作對于熟悉定理、圖形性質的學生來說是容易做到的.

8.結束語

(本文系莆田市教育科學“十四五”規劃2021年度立項研究課題《基于核心素養的高中數學探究性學習實踐與研究》編號(PTKYKT21169)階段性研究成果)