探析內在邏輯 強化關鍵能力
——一道高考壓軸題的多視角探析與背景探源

巨小鵬

(陜西省漢中市龍崗學校)

《中國高考評價體系說明》將關鍵能力作為整個“四層”考查內容的重心,是推進新時代高考內容改革的必然選擇,也是教育測量學的規律性要求.2022年全國甲卷理科第21題以考查基礎概念和基本解題技能為核心,考查關鍵能力,以極值點偏移問題為核心問題,極具創新性,問題情境較往年的此類題型更加復雜,更具有綜合性,考查了導數在函數中的應用,體現了“四翼”的要求、高考命題以“能力立意”的命題理念以及穩中求新的特點,有利于對學生思維品質和關鍵能力的考查.

1.試題呈現

(Ⅰ)若f(x)≥0,求a的取值范圍;

(Ⅱ)證明:若f(x)有兩個零點x1,x2,則x1x2<1.

2.試題分析與解答

解析：由題意知f(x)的定義域為(0,+∞).

解法6(必要性探路視角)：

必要性:f(x)的定義域為(0,+∞),要使f(x)≥0,則滿足f(1)≥0,即e+1-a≥0,則a≤e+1.

綜上所述,a的取值范圍為(-∞,e+1].

證法4(同構+構造函數視角2)：根據證法3可得x1-lnx1=x2-lnx2,由題可設0g(-t2).構造函數h(t)=g(t)-g(-t)=et-e-t,則h′(t)=et+e-t>0,所以函數h(t)在(0,+∞)上單調遞增,所以h(t)>h(0)=0,所以g(t1)=g(t2)>g(-t2),即t1+t2<0,所以x1x2<1得證.

評注：本題是極值點偏移問題,其本質是函數值變化快慢的問題,利用導數研究函數問題.關鍵點是通過分析、構造函數解決問題.證法1和證法2直接構造函數;證法3和證法4利用同構化繁為簡,繼續構造使得計算量和思維量大大降低;證法5和證法6借助對數均值不等式使得問題更容易解決;證法7和證法8通過比值和差值換元解決問題.求解極值點偏移問題常用的思考方向是構造對稱函數、比值換元、差值換元和利用對數均值不等式解決問題.滲透數形結合、分類討論和函數與方程的思想,考查學生關鍵能力和綜合核心素養.

3.試題背景探源

3.1 競賽背景

云散月明誰點綴,天容海色本澄清.近幾年高考試題特別是壓軸題以競賽試題為背景,將競賽題逐漸分解分步,使得試題難度下降,考查學生關鍵能力.此類競賽試題很多,選題兩個如下:

(Ⅰ)當m=-2時,求函數f(x)的所有零點;

(Ⅱ)若f(x)有兩個極值點x1,x2(x1e2.

(答案:(Ⅰ)x=1;(Ⅱ)證明略.)

例2.(2018·全國高中數學聯賽福建省預賽)已知f(x)=ex-mx.

(Ⅰ)當x>0時,不等式(x-2)f(x)+mx2+2>0恒成立,求實數m的取值范圍;

(Ⅱ)若x1,x2是函數f(x)的兩個零點,求證:x1+x2>2.

3.2 高考背景

極值點偏移問題?？汲Ｐ?最早追溯到2009年遼寧卷,2010年天津卷,2016年首次在全國卷中出現,直到2022年考查角度依然新奇,題干創新,情境更加綜合,此類往年高考試題選題兩個如下:

例3.(2021·全國新高考Ⅰ卷·22)已知函數f(x)=x(1-lnx).

(Ⅰ)討論f(x)的單調性;

(答案:(Ⅰ)f(x)的單調遞增區間為(0,1),單調遞減區間為(1,+∞);(Ⅱ)證明略.)

(Ⅰ)討論f(x)的單調性;

基金項目:陜西省教育科學“十四五”規劃2021年度課題:“教材‘閱讀材料’在數學學習中的滲透與引領策略研究”(項目編號:SGH21Y1194)