順應學生思維，走向深度學習
——高三數學課堂教學實踐與思考

浙江省溫州市第二外國語學校 潘和鍇 王 博

一、聽課案例

案例1 順應學生思維，進行問題解釋

教師A在授課過程中，隨機叫了幾名學生說了自己的想法，其中一名學生考慮建系，教師順應學生的思路，得到如下解法。

學生A說到這兒，停了下來，表示進行不下去了。旁邊的同學隨即點頭，表示認同。這是大多數同學的思路，卻基本遺憾告終。坐標法也是通法，為什么到了這一道題不行了呢？學生期待老師能夠給出進一步的解答。

教師A并沒有打算沿著學生的思路進行下去，而是中止學生的思路，呈現了多種解法（不再一一列舉），并歸納總結這是典型的矩形大法的模型。

矩形大法：由已知可得，如圖1所示。

圖1

在矩形AEBC中，O是矩形外一點，由矩形的性質可知，OE2+OC2=OA2+OB2，又因為OE=1，OA=2，OB=3，解得OC=2，即點C的軌跡是以點O為圓心，2為 半 徑的圓。而，答案選B。

此解法非常漂亮，并且還得到了動點C的軌跡，揭示了問題的本質。但筆者認為，大多數學生的疑問并沒有得到解決，學生的數學思維沒有得到突破就急于提升，這一課堂便是看似高端實則無效的。

下面筆者就學生的思路完成解答。

教師應該首先順應學生的思路，解決學生最近發展區的疑問，給予學生肯定或否定的答復。在此基礎上再給出后續的優化方法，乃至揭示問題的本質，才能真正培養學生勤于探索、勇于創新的精神，才能真正實現用數學培育人的根本目標。

案例2 深入解析問題，啟發學生思考

從上述分析過程可以看出，函數思想在數列問題中起著舉足輕重的作用，若用特殊法、排除法等考試技巧得到正確答案而不進一步提問、思考、探究，是因小失大、本末倒置的。20世紀中期，世界數學教育界開展了一次大討論，主題是“在數學、數學教育中，什么是關鍵？”（What is the key in the mathematics and mathematical education？）當時，美國數學家哈爾莫斯對這次討論做了總結：“問題是數學的靈魂。”愛因斯坦亦曾說過：“提出一個問題往往比解決一個問題更重要。因為解決問題也許僅是一個數學上或實驗上的技能而已，而提出新的問題，卻需要有創造性的想象力。”

二、教學實踐

（1）求橢圓E的方程；（2）設直線AD、BC的斜率分別為的取值范圍。

兩種方法比較一下，我們會發現直線方程代入消元得到的表達式不對稱，難以直接使用韋達定理，而平方消元化不對稱為對稱，后續計算自然順利許多。這種方法給我們打開了新思路，消元除了需要考慮“消誰”，還需要考慮“誰消（用誰來消）”。就此題而言，平方消元的優勢是明顯的，但是常規方法真的走不通嗎？筆者就（*）式設計了一道思考題：

觀察下式，你有哪些思考？

生1：韋達定理消元

師評：當式子出現不對稱性時，不妨考慮消元，利用韋達定理（誰消）消去x1（消誰），此時式子很快整理成結果的形式。

生2：求根公式解元

師評：由于式子的不對稱性源于x1，x2，因此不妨考慮利用求根公式解元強行代入，這里的運算量較小，式子很快可以整理成結果的形式。

生3：橢圓第三定義轉化斜率之比

不妨設直線AC的斜率為k3，由橢圓第三定義，可知

師評：問題的根源仍然在于如何處理式子的不對稱性，生1、生2利用消元或者解元，是技術層面的突圍，而生3則抓住了問題的根源，轉直線BC斜率為直線AC斜率，轉不對稱為對稱，轉陌生為熟悉，是思想層面的突圍。

生4：構造對稱式

師評：上述思路是想構造出韋達定理的形式，除了和、積形式，常用的還有韋達定理的差的形式，即|x1-x2|=

三、總結反思

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》明確提出：全面落實立德樹人要求，深入挖掘數學學科的育人價值，樹立以發展學生數學學科核心素養為導向的教學意識，將數學學科核心素養的培養貫穿于教學活動的全過程。在教學實踐中，要不斷探索和創新教學方式，不僅重視如何教，更要重視如何學，引導學生會學數學，養成良好的學習習慣，要努力激發學生數學學習的興趣，促使更多的學生熱愛數學。