以問題為核心　促進深度學習

陳晉城

向量是描述客觀世界規律的重要數學模型，它的應用促進了復數、三角函數、幾何等問題的解決，它在高考中可以單獨命題也可以滲透于三角或者立體幾何中，地位不容忽視.本文以筆者在高三復習課中遇到的一道高考模擬題為例，通過多角度、多層次的分析問題，解決問題的深度學習過程，希望能給給讀者帶來一些啟示.

評注：對解法6、7進一步分析發現，若構造與已知向量“垂直的”、“好用（算）的”向量，則可以不受題目條件是否有包含“垂直”這一條件的影響. 我們常說做數學題“有條件要用，沒有條件創造條件也要用”，正是在解法6、7方法的基礎上不斷改進，發現可以“創造”特殊向量作為消元的“催化劑”.這是數形結合、坐標法、方程思維等綜合運用的成果.

4 反思總結

數學解題必須進行有根據的運算和合邏輯的判斷，體現數學的求實精神與懷疑的態度，數學解題常常進行“嘗試、猜想、辨析”等探索步驟，又體現數學的探索性和創造性.這一切都要求學生以充分的論據去評判事物的真偽，把握事物的內在規律，提高發現事實和反駁謬誤的能力，貫穿一種相信自我、理性分析、縝密推理、求實創新的嚴謹態度［1］.

向量的坐標運算、線性運算、數量積運算都是向量的基本運算，是研究三角、立體幾何、復數等的有效方式方法，也是研究物理學、工程學等學科的重要理論工具，因此，我們在教學中必須要能足夠重視它.同時，向量運算要求學生熟悉相應的數學情境，了解運算的對象，能夠分析已有條件與問題之間的聯系，能夠分析問題的特征與呈現的形式，提出運算方案，并形成恰當的思維模式，這是數學抽象、邏輯推理、數學運算等核心素養的本質所在，是當下學生需要提升的能力.因此，向量運算提升核心素養方面的非常好的載體.

本案例中，基于向量的特征，向量運算的學習、研究過程需要學習者在完整而深刻地理解相關數學知識的基礎上，全身心的投入、積極探究與建構、理解與批判，并有效遷移與運用已有學科知識及思維方法.如運用方程思維解答本題時，解法6用解方程的思維解答本題，其復雜程度遠超坐標法等，解法7將解法6進行改進，把坐標法滲透其中，使思維量、轉化過程、計算量都降下來.解法8則創造了“有條件要用”，沒有條件創造條件也要用”的解題思想，通過構造特殊的“好用（算）的”非零向量使向量運算特殊化.縱觀整個學習過程，進行了“嘗試、猜想、辨析、改進”等探索步驟，又體現數學的探索性和創造性.實現深度學習的目的.

參考文獻

［1］羅增儒.解題教學是解題活動的教學［J］.中學數學教學參考（上旬），2020（11）：5.

（本文系廣東省教育科學規劃課題“基于深度學習的高中數學教學案例研究”（課題批準號：2019YQJK500）的階段性研究成果.）