例談數形結合在求解三角形最值問題中的妙用

車承梅

解三角形中經常會出現求最值或范圍類的問題，此類問題有時難度相對較大，有一定的運算量，但是我們可以試著從幾何圖形的直觀性入手，借助于平面幾何的知識，將代數問題轉化為幾何問題去解決，這樣可以大大減少計算量，從而達到事半功倍的效果.下面將通過幾個實例去探究數形結合在求解三角形的最值（或范圍）問題中的妙用.

分析：首先根據條件求出B=π3，如圖5所示.取BC中點E，連接DE，則由中位線得性質可知S△ABC=4S△BDE，要想求△ABC面積的最大值，即先求△BDE面積的最大值，由于在△BDE中，我們知道了BD=2，及其對角∠BED=2π3，用例1的方法可求出△BDE面積的最大值為33，故△ABC面積的最大值為433.

評注：此題利用中位線的性質，將△ABC的面積轉化為△BDE的面積，使之成為與實例1的相同的情形.其實，本題還可以進行擴展，當點D在線段AC上任意分點位置，都可以作平行線，從而利用相似性轉化為實例1的情形去解決，這也是我們常說的“解一題而通一類”.

參考文獻

［1］顧乃春.解三角面積最值問題得一般方法［J］.數學教學與研究，2016（04）：60-62.

［2］吳曉明;林清利.解三角形與平面幾何圖形結合的解題策略［J］.中學數學教學，2022（01）：45-48.

［3］倪阿亮.數形結合 比翼雙飛［J］.考試周刊，2021（11），41-43.