構造函數法證明不等式的若干策略

張園

運用對相關函數求導證明不等式是近年來高考命題的一類熱點題型，由于涉及許多導數問題中的解題技法，降低了解題的成功率，我們有不少同學都望而卻步.此類問題的破題關鍵就是找一個與待證不等式緊密聯系的函數，然后運用導數運算的方法，研究該函數的單調性、極值、值域等性質，進而達到證明不等式的目的.本文以近幾年高考題或模擬題為例，通過探索不同類型不等式的證明，闡述構造函數證明不等式的六種方法，供參考.

點評：通過將待證的結論式變形整理，揭露了待證式的實質，也就是需要證明不等式f（x）

點評：在充分挖掘題目內涵的基礎上，將待證的不等式進行轉化、變形，使之等價變形為另一個大小關系證明的問題，然后再通過建立新函數輕松地解決了問題.

五、挖出同構關系后構造函數

點評：由于待證的不等式比較復雜，在分析、化簡、變形的基礎上，再經過換元處理，成功的找到了同構關系，然后通過設新函數，這樣，成功地解決問題就是很容易了.

六、選擇關鍵部位構造函數

例6 已知函數f（x）=1+lnxex，設g（x）=（x2+x）f′（x）（f′（x）為f（x）的導函數），試證明，對于任意x>0，g（x）<1+1e2.

點評：在解題過程中，根據大小比較的需要，對表達式中的一部分采用構造函數處理，也是一個重要的解題思路，這種求解方法的關鍵是精確替換，以起作用、易解決為替換原則.